[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định
1
(5,0 điểm)
a ( 3,0 điểm )
2
t= x + +x t≥ Khi đó phương trình trở thành:
4t= − +t 7t − ⇔ −5 t 6t + −9 t − + =4t 4 0 0,5
(*)
2
2
1 0
5 0
t t
t t
− − =
⇔
+ − =
0,5
Với 3
2
t≥ thì t2− − =t 1 0 có một nghiệm là 1 5
2
t= +
Với 3
2
t≥ thì t2+ − =t 5 0 có một nghiệm là 1 21
2
t= − +
0,5
Khi 1 5
2
t= +
thì
2
2
x + + =x + ⇔ x + x− − =
2
2
x=− + +
0,5
Khi
1 21 2
t= − +
thì
2
2
x + + =x − + ⇔ x + x− + =
1 19 2 21 2
2
x= − + −
0,5
b ( 2,0 điểm )
Phương trình đã cho được viết lại:
3sin x+2 3 sin cosx x+cos x=3 3 sinx+cosx
0,5
3 sinx cosx 3 3 sinx cosx 0
0,5
3 sin x cos x 0
Trang 23 sin cos 0 tan 1
6 3
x+ x= ⇔ x= − ⇔ = − +x π kπ
, k∈Z
3 sinx+cosx=3 phương trình vô nghiệm 0,5
2
(5,0 điểm)
a (2,0 điểm )
Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia
Byqua C Ta có: B( )0; 0 , A( )2; 0 , C( )0; 2 Giả sử M x y( ); 0,5
MA2 + MB2 = MC2
x +y − x+ y=
0,5
Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm
(2; 2)
I − , bán kính R=2 2
0,5
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I(2; 2− ), bán kính
2 2
0,5
b ( 3,0 điểm )
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Xét trường hợp: BGC=1200
Ta có: BC2 =GB2+GC2−2GB GC .cos1200 =76
2
4
AC
Vậy AC2 = 112
0,5
2
4
AB
0,5
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
+
2 2 2
0,5
Xét trường hợp: BGC=600
Ta có : BC2=GB2+GC2−2GB GC .cos600 =28
2
4
AC
Vậy AC2 = 208
0,5
2
4
AB
Vậy AB2 = 148
0,5
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
+
2 2 2
0,5
Trang 3Câu Đáp án Thang điểm
3
(4,0 điểm)
a 2,0 điểm
Dễ thấy u n > ∀ ∈0, n N*
Từ u n+1= 3u n2+ ⇔2 u n2+1 =3u2n +2 0,5 Đặt v n =u n2 thì có: v n+1=3v n+ ⇔2 v n+1+ =1 3(v n+1) 0,5 Đặt x n = +v n 1 thì ta có:
1 3
n n
x+ = x Từ đây suy ra ( )x n là cấp số nhân với x1=2, công bội
là 3
0,5
Nên: x n =2.3n−1⇒v n =2.3n−1−1⇒u n = 2.3n−1−1
0,5
b 2,0 điểm
2.3 2.3 2.3 2.3 2011
( 0 1 2 2010)
( 2011 )
2011
3 1
−
4
(3,0 điểm)
Chứng minh được: ( )2 ( 2 2 2)
Suy ra: a b c+ + ≤ 3 và ( )3 ( )
3
a b c
0,5 + 0,5
Vậy GTLN của M là 8 3
3
0,5
Giá trị này đạt được khi 1
3
5
(3,0 điểm) Viết lại hệ: ( 2 ) ( )
2
2
Đặt 2
2 ,
u=x + x v= +x y Dễ có: u≥ −1
Hệ trở thành: u v. 2m 3
u v m
= − −
+ =
0,5
Trang 4Suy ra: ( ) 2 ( ) 2 3
2
u
u
−
Xét hàm ( ) 2 3
2
u
f u
u
−
= + với u≥ −1
( )
2 /
2
2
u
Bảng biến thiên:
u −1 +∞
( ) /
f u +
( )
f u +∞
2