Mặt phẳng (q) qua BC vuông góc với mặt phẳng (SAB), cắt SA tại D. b) Xác định vị trí của điểm S trên đường thẳng (d) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.. Gọi H là giao điểm của OP[r]
Trang 11
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KIÊN GIANG 2004-2010
Năm 2004 – 2005, vòng 1
Bài 1) (2điểm) Xác định tính chất tam giác ABC nếu các góc A, B, C thoả :
3
2 2
Bài 2) (3điểm) Cho a, b, c là các số dương và abc = 1 Chứng minh :
Bài 3) (4 điểm) Hãy xác định a để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :
1
2
log 11 loga ax 2x 3 loga ax 2x 1 1 0
Bài 4) (4 điểm) Giải hệ phương trình :
3 2
3 2
3 2
Bài 5) (7 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và mặt cầu (C) nội tiếp hình lập phương đó Mặt phẳng (P)
quay quanh A tiếp xúc với mặt cầu (C) và cắt hai cạnh A' B' , A' D' lần lượt tại M , N Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA' MN
Năm 2004 – 2005, vòng 2
Bài 1) (4điểm) Cho x, y dương, thay đổi, thoả mãn điều kiện x.y = 1 Tìm GTLN của 4 x 2 2 y 4
A
Bài 2) (6 điểm) Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên dương của phương trình : 2(x+y) + xy = x2 + y2
Bài 3) (8 điểm) Cho dãy số {xn} (n = 1,2,3, …) được xác định bởi :
1 2
2
1
x x
Chứng minh rằng dãy số {xn} hội tụ và tìm giới hạn của
nó
Bài 4) (2 điểm) Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai ? " Với mọi m, n nguyên dương đều có
2
1 2
m
"
Năm 2005 – 2006, vòng 1
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
với a ≠ 0 , b ≠ 0
Bài 2 : Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
27
4
x
Bài 3 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn phương trình hàm : f(tg2x) = tg4x + cotg4x
a) Xác định hàm số f
b) Chứng minh rằng : f(sinx) + f(cosx) ≥ 196
Bài 4 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Một điểm M di động trên AA1 , một điểm N di động trên BC1 sao
cho MN luôn cắt B1D Chứng minh rằng :
1 1
2 1
2
BN AA
Trang 22
Năm 2005 – 2006, vòng 2
Bài 1: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :
2
2
x
thực x Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Bài 2 : a) Cho hàm số :
2 2
4 ( )
1 4
x
f x
x
với x > 0 Chứng minh :
( ) 1
f x
x Khi nào đẳng thức xảy ra ?
b) Tìm tất cả nghiệm của hệ phương trình :
2 2 2 2 2 2
4
1 4 4
1 4 4
1 4
x y x y z y z x z
Bài 3 : Cho số thực a 1 Dãy số xn được xác định như sau : x0= a ; xn1 xn log2xn ( n = 0, 1, 2, 3,
….)
Chứng minh rằng dãy số ( xn) có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn của nó
Năm 2006 – 2007, vòng 1 Bài 1 : Giải hệ phương trình :
Bài 2 :
a) Chứng minh bất đẳng thức : cos 2 1 , 0,
x x
b) Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC luôn có :
Bài 3 : Cho hàm số f : Z R thỏa mãn điều kiện :
( )
n khi n
f n
f f n khi n n Z
Chứng minh rằng f(n) = 91 với mọi n ≤ 100
Bài 4 : Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng () không cắt (c) Từ một điểm M thay đổi trên () kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (c) Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên () và E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT, MH Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
Trang 33
Năm 2006 – 2007, vòng 2 Bài 1: Cho các số x, y thuộc R thỏa điều kiện: x2xyy2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3
Px yy x
Bài 2 : Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x;y) của phương trình : (x 2 +y)(x+y 2 ) = (x-y) 3
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A và M là trung điểm của BC Trên đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt
phẳng (ABC) lấy điểm S (S khác M) Mặt phẳng (q) qua BC vuông góc với mặt phẳng (SAB), cắt SA tại D
a) Xác định mặt phẳng (q)
b) Xác định vị trí của điểm S trên đường thẳng (d) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất
Bài 4 : Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1 Chứng minh rằng :
NĂM HỌC 2007 - 2008
Bài 1: (2 điểm) Chứng minh phương trình sau có 2 nghiệm duy nhất : 2007x2008 2008x2007 1
Bài 2 : (2 điểm) Giải hệ phương trình :
2
2
2
y y x z z y x x z
Bài 3 : (3 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức : ln(1+x) < x với mọi x > 0 (kí hiệu ln chỉ logarith cơ số e)
b) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có :
3 3 2 (1 sin )(1 sin )(1 sin ) A B C e
Bài 4 : (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : 4 42
2
Bài 5 : (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (CA = CB) và điểm Q di động trên cạnh BC Kẻ QP song song với AB (P
AC ) Gọi H là giao điểm của OP với AQ (O là trung điểm của AB) Tìm tập hợp của điểm H khi Q di động Bài 6 : (6 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 đơn vị Các điểm M, N lần lượt thuộc các
đoạn A'B' và A'D' sao cho nhị diện [M,AC',N] là nhị diện vuông
a) Gọi E, O, F lần lượt là giao điểm của các cặp C’M với B’D’, C’A’ với B’D’, C’N với B’D’ H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến C’A Chứng minh số đo góc 0
90
EHF và tính OH
b) Tính OE theo x=B’M, OF theo y=D’N
c) Xác định vị trí các điểm M và N để hình chóp A.A'MC'N có thể tích nhỏ nhất
NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu 1: Xác định tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
m( 1x2 1x2 2) 2 1x4 1x2 1x2
Câu 2: Gọi ha , hb lần lượt là các đường cao tương ứng với các cạnh a,b của tam giác ABC và p là nửa chu vi của tam giác đó Chứng minh rằng nếu ha + hb = p p a ( ) + p p b ( ) thì tam giác ABC là tam gíac đều
Câu 3: Tìm các cặp số nguyên dương (x ; y) thỏa 3x +1 = y2
Câu 4: Cho 3 góc ,, thỏa mãn điều kiện
2
Trang 44
Chứng minh rằng sin = sin = sin = 2sin
10
Câu 5: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:
tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC = 0
Câu 6: 1 Cho p là một số nguyên dương Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m ta đều có
2 Tìm
1
lim
p
n
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Biết cạnh SD có độ dài lớn hơn 1, các cạnh còn
lại có độ dài không vượt quá 1 Chứng minh thể tích của hình chóp S.ABCD không vượt quá 1
4
NĂM HỌC 2009 – 2010
Bài 1: (4 điểm) Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình :
4 y 4 x y 4 xy x y 5 x 4 y 4 xy 8 x 0
Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
Bài 3: (4 điểm) Cho x, y l hai số thực thoả mn : 2 2
2 x y xy 1 Chứng minh rằng :
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam gic ABC, D l trung điểm AB,
E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vuông góc CD
Bài 5: (4 điểm) Cho dãy số (un) được xác định như sau: 1
2
1
2009 2010
u
Tìm lim n
Trang 55
NĂM HỌC 2010 – 2011
Bài 1
Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số y x3 3 x2
1) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của ( ) C mà nó tiếp xúc với ( ) C tại hai điểm phân biệt 2) Tìm tham số m sao cho ( ) C và ( ) : ( 1) 35
1
m
m x m
H y
x
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 2
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4
f x x x 2) Giải hệ phương trình
2 2
Bài 3
Cho hình chóp S ABC có các mặt phẳng (SAB), (SBC) và (SCA) cùng tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 0
60 ; hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H, nằm khác phía với A đối với đường thẳng BC
Chứng minh rằng H cách đều các đường thẳng AB BC CA, , Tính thể tích khối chóp S ABC , theo a
, biết rằng AB4 ,a BC5 ,a CA7a
Bài 4
Cho a là số thực lớn hơn e , x là số thực thay đổi mà x1 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số thực a0(1; )e sao cho 0
0
a a và chứng minh rằng x a
a x khi và chỉ khi x(1;a0)( ;a )
Lưu ý : Trong bài này, lim (1 1)n
n
e
n
, ln a là logarít cơ số e của a Và cho biết rằng lim ln 0
x
x x
Bài 5
Trong mặt phẳng cho hình tròn tâm O, bán kính R1. Các điểm A A1, 2, ,A7 là 7 điểm, thay đổi, thuộc hình tròn đó Đặt d min{ A Ai j |1 i j 7} Hãy tìm giá trị lớn nhất của d khi A A1, 2, ,A7
thay đổi