Tích phân và ứng dụng 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp... Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM 4

1.1 Định nghĩa nguyên hàm 4

1.2 Các tính chất của nguyên hàm 4

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số 5

1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 5

1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp 5

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ 6

1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần 13

1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức 16

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác 22

1.5 Bài tập tự luyện 34

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 35

2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35

2.2 Điều kiện khả tích 35

2.3 Tính chất của tích phân xác định 35

2.4 Công thức Newton – Leipnitz 36

2.5 Ứng dụng 36

2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz 36

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 39

2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay 50

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng 55

2.6 Bài tập tự luyện 58

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN KHÁC 60

3.1 Tìm giới hạn bằng tích phân 60

3.1.1 Đặt vấn đề 60

3.1.2 Một số ví dụ minh họa 60

3

3.2 Bất đẳng thức tích phân 63

3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân 63

3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng 66

3.2.3 Định lý về giá trị trung bình 74

3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 76

3.2.5 Tìm cực trị bằng phương pháp tích phân 80

3.3 Tính tổng 84

3.3.1 Lý thuyết 84

3.3.2 Một số ví dụ minh họa 85

3.4 Bài tập tự luyện 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

4

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy

cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi

có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này.

Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là

PGS TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về

nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình.

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Sinh

1

MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình

và số." Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Môn Toán

được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về

các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng.

Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…

Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân.

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Nguyên hàm

Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2.

Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng

Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong 2

việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy.

Chương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

3

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

a. Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) Khi đó hàm số y=F(x) được

gọi là một nguyên hàm của hàm số y=f(x) khi và chỉ khi

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số

I =∫ ( e cosx+ sin x )sin x.dx =∫ e cosx sin x.dx +∫sin 2 x.dx

−∫ e cosx d (cos x )+∫1−cos 2x dx = −e cosx+1 x −1 sin 2x + c

các hệ số thực.

• Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ

6

 Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:

A

(x − a)

x − a

 Định lý tổng quát về phân tích đa thức

Mọi đa thức Q (x) ≠ 0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích

thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị

thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 , tức là ta có

+ I m = ∫

 Nguyên hàm hàm phân thức Q P(

(x x) ) với degP(x)<degQ(x) và

Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt)

Thay x= 0 vào (*) suy ra: 2A= 3 ⇒A = 3 / 2

Thay x= 1 vào (*) suy ra: 3B= − 6 ⇒B= − 2

Thay x= − 2 vào (*) suy ra: 6C= 15 ⇒C= 5 / 2

Thay x= 1 vào (*) suy ra: − 6A= 3 ⇒A= − 1/ 2 Thay x=

2 vào (*) suy ra: 12 B= 10 ⇒B= 5 / 6 Thay x= − 1

vào (*) suy ra: 6C= 1 ⇒C= 1/ 6 Thay x= − 2 vào

Thay x= 1 vào (*) suy ra: 3A= 9 ⇒A= 3

Thay x= − 2 vào (*) suy ra: 9C= 9 ⇒C= 1

Thay x= 0 vào (*) suy ra: 3 =2A −2B+C ⇒B= 2

⇒I=∫

Ví dụ 1.2.4 ([4])

Tính I=∫

ụ 1 2 7.

([4])

Giả sử

12

d (uv )= udv + vdu ⇔∫ d (uv )=∫ udv +∫ vdu ⇔ uv =∫ udv +

∫vdu ⇒∫ udv = uv −∫vdu

13

Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác

nhau

Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong

nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm)

Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên

hàm ∫vdu đơn giản hơn nguyên hàm ∫udv

Cách làm chậm: Đặt

14

A1= x 3 s inx −3∫ x 2 sin xdx Đặt

A1= x 3 s inx+3x 2 cos x − 6 (x sin x −∫ sin xdx )= x 3 s inx+3x 2 cos x − 6 (x sin x

+ cos x )+ c Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ∫P(x)L(x)dx=∫udv

A1 =∫ x 3 cosxdx =∫ x 3 d (s inx )= x 3 s inx −∫ sin xd (x 3)= x 3 s inx − 3∫ x 2 sin

xdx

 x 3 s inx + 3∫ x 2 d (cos x )= x 3 s inx + 3  x 2 cos x −∫cos xd (x2)

x 3 s inx + 3x 2 cos x − 6∫ x cos xdx =x 3 s inx + 3x 2 cos x − 6∫ xd (s inx )

= x 3 s inx + 3x 2 cos x − 6 (x sin x −∫ sin xdx )= x3 s inx+3x 2 cos x − 6 (x sin x + cos x )+

6 ∫ t 2 d (sin t )= 6t 2 sin t − 6 ∫ sin td (t 2)= 6t 2 sin t − 12 ∫ t sin tdt =6t 2 sin t + 12 ∫td (cos t )

6t 2 sin t + 12t cos t − 12 ∫cos tdt =6t 2 sin t + 12t cos t − 12 sin t + c

 A3 = −2t 3 cos t + 6t 2 sin t + 12t cos t − 12sin t + c

−2 ( x )3 cos x + 6t 2 sin x + 12t cos x − 12sin x + c

a. Nguyên hàm dạng I=∫x m(a+bx n)p dx với m, n, p hữu tỉ.

 Nếu p∈Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản

biểu thị bởi m, n Khi đó đặt x=t k

Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các số

c. Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa Các

dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường

20

 (1 + cot 2 x )dx =∫sindx2x= −∫ d (cot x )= − cot x + c

 tan xdx =∫sinx dx = −∫d(cosx)= − ln cos x + c

cos xcos x

 cot xdx =∫cosx dx =∫d(sinx)= ln sin x + c

sin xsin x

sin2 x = 1

 cos mx )(cos nx )=1 cos (m − n ) x + cos (m + n ) x

2 (sin mx )(sin nx )=1 cos (m − n ) x − cos (m + n )x

2 (sin mx )(cos nx )=1 sin (m + n ) x + sin (m − n )x

2 

 cos mx )(sin nx )=1 sin (m + n ) x − sin (m − n ) x

2 

22

c Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lƣợng

giác Dạng 1 A1=∫ (s inx)n dx ; A2=∫ (cosx)n dx

Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo ý dưới đây.Nếu 3 ≤ n , n lẻ (n = 2p+1) thì thực hiện biến đổi:

A1 =∫( sin x )n dx =∫( sin x )2p+ 1 dx =∫( s inx )2p sin xdx = −∫ (1 − cos 2 x )p d (cos x)

A2 =∫( cos x )n dx =∫( cos x )2p+ 1 dx =∫( cosx )2p cosxdx =∫ (1 −sin 2 x )p d (sin x)

Dạng 2 B = ∫sinm x cos n x.dx (m, n ∈ N )

Trường hợp 1: m, n là các số nguyên

+ Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng

+ Nếu m chẵn, n lẻ (n=2p+1) thì biến đổi:

B=∫ ( s inx )m(cos x )2p+ 1 dx =∫ (sin x )m(cos x )2p cos x.dx

∫ (sin x )m(1− sin2 x )p d (s inx )+ Nếu m lẻ (m=2p+1), n chẵn thì biến đổi:

B=∫ ( sinx )2p+ 1(cos x )n dx =∫ (1− cos2 x )p(cos x )n sin x.dx

∫(1− cos2 x )p(cosx )n d (cosx )

+ Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn

Trường hợp 2: m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có

23

 tan xdx =∫sinx dx = −∫d(cosx)= − ln cos x + c

I =∫ ( s inx )2(cos x )4 dx =14∫ (sin 2 x )2(cos x )2 dx

161∫(1 − cos 4 x )(1 + cos 2 x )dx =161∫(1 + cos 2 x − cos 4 x − cos 2 x cos 4 x )dx

161∫ (2 + cos 2 x − 2 cos 4 x − cos 6x )dx

I =∫ ( s in2x )7(cos 2 x )100 dx =∫ (cos 2 x )100(sin 2 x )6 sin 2 x.dx

−12∫ (cos 2 x )100(1 − cos 2 2 x )3 d (cos 2x)

−12∫ (cos 2 x )100(1 − 3cos 2 2 x + 3cos 4 2 x − cos 6 2 x )d (cos 2x)

I =∫ ( s in5x )9(cos 5 x )111 dx =∫ (cos 5 x )111(sin 5 x )8 sin 5 x.dx

−15∫ (cos 5 x )111(1 − cos 2 5 x )4 d (cos 5x)

 −15∫ (cos 5 x )111(1 − 4 cos 2 5 x + 6 cos 4 5 x − 4 cos 6 5 x + cos 8 5 x )d (cos 5x)

I =∫ cot3 2x (1+ cot2 2x )− cot 2x (1+ cot2 2x )+ cot 2x .dx

−1∫ cot 3 2x − cot 2x  d (cot 2x )+∫cot 2x.dx

tan 7 3x I=∫

∫

1

3∫tan 7 3 x (1 + 2 tan 2 3 x + tan 4 3 x ).d (tan 3 x )

 1  tan 8 3 x + tan 10 3 x + tan 12 3x  +

Tính I=∫cos 2x.cos 5 x cos 9 x dx

1

4∫ [cos16 x + cos12 x + cos 6 x + cos 2 x]dx

 1  sin16 x + sin12 x + sin 6 x + sin 2x  +c

Ví dụ 1.5.12 ([3])

Tính I=∫sin2x sin 3 x cos10 x.dx

I =∫ sin 2 x sin 3 x cos10 x.dx =18∫ (1 − cos 2 x )(sin13

x + sin 7x )dx

− R (sin x,cos x) thì cần

biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t

=cosx

cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t= sinx

cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t= tanx

28

I =∫ cos 9 x dx =∫ cos 8 x cos x.dx =∫ ( 1 −sin2x) 4 d (sin x )=∫ ( 1 − t2) 4 dt

sin 20 xsin 20 xsin20 x t 20

= ∫

1 − 4t 2

ta sẽ tìm đượcα , β

Khi đó ta có,

x + n cos x + c m sin x + n cos x

Ví dụ 1.5.21 ([4])

31

B=∫ 4 sin 2 x − 7 cos 2 x dx= 1 ∫ 4 sin 2 x − 7 cos 2 x d(2x)= 1 ∫ 4 sin u − 7 cos u du

5sin 2 x + 3cos 2 x2 5sin 2 x + 3cos 2 x2 5sin u + 3cos u

 − 1 ∫ 5sin u + 3cos u du − 47 ∫ 5 cos u − 3sin u du =− 1 ∫ du − 47 ∫ d (5sin u + 3cos u )

68−1(u + 47 ln 5sin u + 3cos u )+ c =68−1(2 x + 47 ln 5sin 2 x + 3cos 2 x )+ c

Vậy

33

27. I =∫ sin x + sin 3x dx cos 2x

28. I=∫ 3sin x − 2cos x dx 3cos x + 2sin x

29. I=∫ cos 3 x + cos 5 x dx sin 2 x + sin 4 x

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử hàm số

bất kì của đoạn [a;b], tức là chia đoạn [a;b]

a = x0 < x1< < x n = b Trên mỗi đoạn [x k− 1; x k]lấy bất kì điểm ξk∈[x k− 1; x k]

trên đoạn [a;b] Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch π , số khoảng chia n

và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξk

Tính I=∫1x2dx

0

Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau

36Xét hàm số

Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng có thể dễ dàng phân hoạch và chọn

được x k Vì vậy ta có thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của f (x) sau đó dùng

công thức Newton – Leipnitz.

Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện ứng dụng ưu

việt của công thức trong việc tính tích phân xác định

Ví dụ 2.1.2 ([1])

Tính

Tính I=∫2

1

Cũng như cách tính nguyên hàm ở chương I ta có những cách tính tích phân

tương ứng trong đó phương pháp sử dụng nhiều đó là phương pháp tính tích

phân từng phần và phương pháp đổi biến số

Ngoài ra xét tính chất đặc biệt của các hàm số tính tích phân ta còn có một số

phương pháp khác để tính tích phân như phương pháp sử dụng tích phân liên

Ta có:I+I * =π∫/2

Mặt khác: I−I* =∫

Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số đó

(Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của

tích phân cần tìm

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(x)

Lý thuyết

Ox : y= 0

- Công thức tổng quát S=∫b

a

- Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

- Bài toán 1 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

 Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính

Ví dụ 2.2.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2002, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x 2− 4 x + 3 , y = x + 3

41

Ví dụ 2.2.5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

 dv = e x

1

0

42

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiy 2− 2 y + x = 0, x + y =

0 + Tung độ giao điểm là nghiện của phương

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2,y=x2,y=8

S

2=∫ 4 − x 2

• Nếu đường cong (C)có phương trình tham số

đường kín trơn từng phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ và giới hạn

diện

tích S ở phía trái thì

Phương trình tham số của

c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ Lý thuyết Hệ tọa độ cực

/ 2

góc cực và r được gọi là bán kính cực Góc ϕ là một góc định hướng lấy giá trị

giá trị âm nếu cùng kim đồng hồ Nếu 0 ≤ ϕ ≤ 2 π , r≥ 0 thì cặp số có thứ tự

mặt phẳng tọa độ Cực, tức là: Mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp

số thứ tự (r,ϕ) (riêng điểm O thì r= 0 , còn ϕ tùy ý; và mỗi cặp số thứ tự (r,ϕ) ứng với một điểm M của mặt phẳng

Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia ϕ=π

2 47

Gọi (x,y) và (r,ϕ) lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ

r sin ϕNgược lại ta có: r2 =x2 + y2 ; tan ϕ =x y (trong công thức này có 2 góc ϕ

tương ứng thỏa mãn tan ϕ =x y; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π nên ta sẽ lấy góc ϕ cùng dấu với y

vì y= rsin ϕ )

Cho hàm số r=f(ϕ), 0≤ϕ≤2π,r≥0 , đồ thị hàm số này trong hệ tọa độCực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và phương trình

Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: ϕ = α , ϕ = β

48

Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường

cong r = a sin 3ϕ(Hoa hồng 3 cánh)

Ví dụ 2.4.5 ([4])

Tính diện tích S của hình giới hạn bởi các đường cong

 V x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox

+ Bước 1: Giải phương trình f(

53

a.Tính V x khi S quay quanh Ox.

b.Tính V y khi S quay quanh Oy

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng

• Độ dài của đường cong có phương trình y=f(x) trong hệ tọa độ Đềcác

Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y=f(x),a≤x≤b là

L =

 Độ dài của đường cong có phương trình tham số trong hệ tọa độ Đềcác.Nếu đường cong có phương trình tham số

 Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ Cực

Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực