Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

Tính cấp thiết của đề tài Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với phép toán ngược của nó là vi phân, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực giải tích.. Giả sử, cần tính diện tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THÚY VÂN

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

11 tháng 01 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với phép toán ngược của nó là vi phân, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực giải tích Giả sử, cần tính diện tích của một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn như: tam giác, hình vuông … Nếu hình phức tạp hơn, nó được bao bởi đoạn thẳng lẫn đường cong Tích phân sẽ giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó, và nhiều ứng dụng khác thiện Các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn Thay vào đó, họ nói “ tổng của một số vô cùng lớn những số hạn vô cùng nhỏ” Chẳng hạn, diện tích của hình thanh cong là tổng của một

số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ Hiện nay, một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính tích phân là Mathematica, Maple

Chuyên đề này không thể thiếu trong chương trình toán THPT, và đại học Vì vậy xuất phát từ nhu cầu này.Tôi chọn đề tài với tên:”Tích phân và ứng dụng trong giải toán Trung học phổ thông” để tiến hành nghiên cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo và huy vọng tìm ra những ví

dụ đặc sắc nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại các dạng tích phân, tích phân suy rộng và một số ứng dụng trong giải toán THPT

3 Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân của các hàm đặc biệt và ứng dụng trong giải toán THPT

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Thực hiện nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của Thầy Lê Hoàng Trí, và các chuyên đề về tích phân, tích phân suy rộng, và ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, phân tích các tài liệu và thông tin liên quan đến tích phân và ứng dụng

Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài

5 Bố cục của luận văn

Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:

· Mở đầu

· Chương 1 : Nguyên hàm và tích phân

· Chương 2: Tích phân của các dạng hàm số đặc biệt

· Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

· Kết luận

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f x xác định trên ( ) ( )a b Hàm số ,

( )

F x được gọi là nguyên hàm của f x nếu ( ) F x xác định và khả ( )

vi trên khoảng ( )a b và , F x¢( )= f x( ) với " Îx ( )a b,

Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm số f x xác định trên đoạn ( ) [ ]a b , thì ,

( )

F x sẽ được gọi là nguyên hàm của F x nếu ( ) F x xác định trên ( ) [ ]a b , khả vi trong , ( )a b và , F x¢( )= f x( ) với " Îx ( )a b, , F a+¢( )( )

f a

= và F (b)-¢ = f b( )

Định lý 1.1.1 Nếu hàm số f x có một nguyên hàm ( ) F x thì tập ( )

hợp d ={F C+ ;C RÎ } là họ tất cả các nguyên hàm của f x hay ( )

còn gọi là tích phân bất định của f x Kí hiệu: ( ) òf x dx( ) Trong đó: ( )f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân

1.2 BÀI TOÁN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và không âm trên đoạn [ ] a b , Xét hình thang cong AabB, được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

( )

f x , trục hoành, và hai đường thẳng x a x b = , = Vấn đề cần đặt

ra đi tính diện tích hình thang cong AabB này (Hình 1.1)

Chia đoạn [ ]a b đáy của hình thang, thành một số hữu hạn ,đoạn nhỏ bởi các điểm:

a x x x= á á á á = (1.1) 0 1 2 x n b

Ta gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch, kí hiệu p Trên

mỗi đoạn nhỏ D =k [x k-1,x k] (k=1,n), ta lấy một điểm bất kì x k

Khi hàm số y= f x( ) không đổi trên đoạn D thì trong suốt đoạn knày giá trị của hàm số là ( )f x và lúc đó diện tích của hình thang k

cong con bằng:

( )k k k

f x x -x - Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn D rất nhỏ, ta thấy ( )k f x k

(x k -x k-1) là gí trị gần đúng của diện tích hình thang cong con tức là:

Rõ ràng nếu ta chọn phép phân hoạch p sao cho d( )p =max

(x k -x k-1) càng nhỏ thì mỗi hình thang con càng gần trùng với hình chữ nhật có đáy là D và có chiều cao là ( )k f x k

Vậy, diện tích hình thang cong AabB là:

phân hoạch p P là tập tất cả các phân hoạch của đoạn [ ]a b và ,

= - là đường kính của phép phân hoạch p

Cho hàm f : [ ]a b, ® f khả tích trên R [ ]a b , nếu tồn tại I R, Î

n

k k k k

® f khả tích trên [ ]a b Khi đó f bị chặn trên đoạn , [ ]a b ,

Định lý 1.3.2 Cho ,f g là hai hàm khả tích trên đoạn [ ]a b thì ,

f + cũng khả tích trên đoạn g [ ]a b , và , [ ( ) ( )]

b

a

f x +g x dx=ò

Trởn [ ]a b với a b, õ thớp ={x x0, , ,1 x n}ẽ vỏ P p đ={x x0đ đ, , ,1 x nđ}ẽ P

Phón hoạch p được gọi lỏ mịn hơn p đ nếu tập tất cả cõc điểm chia

của p đ được chứa trong tập cõc điểm chia của p

Bổ đề 1.3.1 Cho f : ,[ ]a b Ẽâ bị chặn, a bõ Cho ,p p đẽ , nếu p P

min hơn p đ thớ:

1 I f( ,p) (êI f,p đ)

2 I f( ,p) (ỂI f,p đ)

Trong đụ, p mịn hơn p đ nếu tất cả cõc điểm chia của p đ được chứa

trong tập điểm chia của p

ẽ

=

phón trởn vỏ tợch phón dưới

Định lý 1.3.4 Cho f : ,[ ]a b Ẽâ bị chặn, a bõ Khi đụ cõc điều kiện sau tương đương

1 f khả tợch trởn [ ]a b ,

2 ( ) * ( )

*

b b

a a

Định lý 1.3.7 Cho f khả tích trên đoạn [ ]a,c (a b c á á thì f khả )

tích trên đoạn [ ]a,b và [ ]b c Ngược lại cho f khả tích trên đoạn ,

[ ]a,b và [ ]b c thì f khả tích trên đoạn, [ ]a,c Khi đó

như hàm của cận trên

Định lý 1.4.1 Nếu f x liên tục trên ( ) [ ]a b thì ( ), F x là một

nguyên hàm của f x , tức là: ( )

F¢( )x = f x x( )" Î[ ]a b, (1.28)

Định lý 1.4.2 Nếu f x khả tích trên ( ) [ ]a b thì (x), F liên tục trên

đoạn [ ]a b ,

Định lý 1.4.3 Giả sử f x liên tục trên ( ) [ ]a b và (x), F là một

nguyên hàm của f x Khi đó: ( )

( ) (b) (a) ( )

b

b a a

f x dx a

i i

i a

f x dx a

ò Trong đó f x liên tục trên ( ) [ ]a b Giả sử ,

thực hiện phép đổi biến x=j( )t thỏa mãn các điều kiện:

a ( )j t liên tục trên đoạn [a b , ]

b ( )j a =a, ( )j b = b

c Khi t biến thiên trong đoạn [a b thì x biến thiên nhưng , ]

không ra ngoài khoảng liên tục của hàm số f x Khi đó: ( )

j j¢

=

ò ò (1.33) Dạng 2: Đổi biến t=j( )x

f x dx g t dt

j j

=

ò ò (1.37) 1.5.4 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u x và ( ) v x là những hàm số có đạo hàm liên tục trên ( ) [ ]a,b Khi đó:

d uv( )=udv vdu+ (1.38) Lấy tích phân hai vế (1.38) trên đoạn [ ]a,b ta được:

udv uv= - vdu

ò ò (1.41) Công thức (1.41) được gọi là tích phân từng phần

1.6 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

1.6.1 Công thức tích phân truy hồi

Cho tích phân : b ( , )

a

n

I = ò f x n dx Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I nvà I k với n k kñ , ÎN+

1.6.2 Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân

Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức tích phân

Dạng 2: Chứng minh một bất đẳng thức tích phân

1.6.3 Giải phương trình, bất phương trình tích phân

Dạng 1: Giải phương trình tích phân

Dạng 2: Bất phương trình tích phân

1.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1.7.1 Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích

phân là vô hạn) Hàm số f x xác định trên ( ) [a,+¥ ( a hữu hạn), )

nghĩa là hàm số f x xác định với mọi x a( ) ³ và khả tích trên mỗi đoạn [ ]a A ( A a, ñ ) Nếu lim ( )

A

A a

+

® +

ò tồn tại và hữu hạn thì ( )

+

® +

e

+

® +

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN CỦA CÁC DẠNG HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

2.1 HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Sử dụng phương pháp chia khoảng

2.3 HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác

Dạng 2: Sử dụng phương pháp phân tích

Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến

Bài toán 1: Tính tích phân I = òR(s inx, cosx)dx , R là hàm

hữu tỉ

Nếu R(-s inx, cosx)= -R(s inx, cosx) thì đặt t=cosx Nếu R(s inx, cosx- )= -R(s inx, cosx) thì đặt t=s inx Nếu R(-s inx, cosx- ) (= R s inx, cosx) thì đặt t=tanx(t=cotx)

Bài toán 4: Tính tích phân 2

Dạng 2: Sử dụng phép biến bổi vô tỉ

Dạng 3: Sử dụng tích phương pháp đổi biến

Bài toán 1: I =òR x a( , 2-x dx a2) , 0ñ

CHƯƠNG 3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

( )

b

a

S= -òf x dx (3.2)

mà trị tuyệt đối của số này là kết quả diện tích cần t́ìm

Nếu hàm số y= f x( ) đổi dấu trên đoạn [ ]a b , thì , ( )

b

a

S =òf x dx là tổng đại số các diện tích giới hạn bởi đường cong, trục hoành, và hai đường thẳng x a x b= , =

Vậy công thức tính diện tích dùng cho cả 3 trường hợp trên là: ( )

b

a

S=ò f x dx (3.3)

3.1.2 Nếu một hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có hàm số

lần lượt là f x , 1( ) f x liên tục trên đoạn 2( ) [ ]a b , và hai đường ,thẳng x a x b= , = thì:

1( ) 2( )

b

a

S=ò f x - f x dx (3.4) Nếu đường cong có dạng x=j( )y , ( )j y liên tục trên đoạn

[ ]c d , thì diện tích giới hạn bởi các đường , x=j( )y , y c y d= , = và 0

x= được tính theo công thức:

=ò (3.5)

3.1.4 Giả sử đường cong giới hạn hình phẳng cho trong hệ tọa độ

cực, người ta gọi hình quạt cong là một hình giới hạn bởi hai tia đi

qua cực và đường cong, mà mọi tia đi qua cực cắt đường cong không

quá một điểm Diện tích của hình quạt cong giới hạn bởi hai tia

3.2 TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG

Định nghĩa 3.2.1 Đường cong AB được gọi là cầu trường (nắn

thẳng) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của các đường gấp khúc mô tả

đường cong AB khi l ® Giới hạn trên được gọi là độ dài cung 0

AB của đường cong và kí hiệu là L Như vậy: AB

Định lý 3.2.1 Nếu đường cong AB cho bởi đồ thị hàm số y= f x( )

, tromg đó f x và ( ) f x¢( ) liên tục trên [ ]a b , khi đó AB là cầu ,

trường và:

[ ]2

b AB a

L =ò + f x¢ dx (3.7)

Hệ quả 3.2.1 Nếu như AB được cho dưới dạng tham số:

( ) ( )

x x t

y y t

ì =ïí

=ïî

ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt phẳng

vuông góc với trục OX là S =S x( ), trong đó x là hoành độ giao điểm của mặt phẳng cắt trục OX , giả sử S x là hàm liên tục trên ( )

đoạn [ ]a b Thì thể tích của hình nói trên được tính theo công thức: , ( )

( )

f x

( )

x=j y , yÎ[ ]c d, , ( )j y liên tục trên đoạn [ ]c d , trục OY ,

Thể tích vật thể tròn xoay, tạo bởi hình thang đó khi quay nó quanh

trục OY được tính theo công thức:

( )2

AB được cho dưới dạng tham số:

( ) ( )

j y

ì =ïí

=ïîTrong đó: a £ £t b y, ( )t ³0,a£j( )t £ b

x y y

2 2 2

0 0

Vậy, giá trị nhỏ nhất của f x bằng 2( ) - khi x=0;x = 2

3.6 GIẢI PHUƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Các định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Định lý 3.6.1 Cho hai số thực ,a b trái dấu và f x là một hàm ( )

liên tục, không âm (có thể bằng không tại một số hữu hạn điểm) trên đoạn [ ]a b Khi đó, trong , [ ]a b , phương trình ,

tồn tại các số thực x x1, 2Î[ ]a b, với x x1á , sao cho 2 F x( )1 =F x( )2

thì phương trình f x( )= có nghiệm trong 0 [x x 1, 2]

21

x t dt t

=+

Ta thấy, hàm số

2 2

2( )

1

t

f t t

=+ liên tục và không âm với mọi t, theo định lý 3.6.1, phương trình F x( )= có nghiệm duy nhất 0 x= 0

1

f x

x

=+ trên đoạn [ ]0,1 Ta phân hoạch đoạn

[ ]0,1 thành n đoạn , bởi các điểm chia:

++

1

n n

- Tích phân của các hàm đặc biệt

- Xác định diện tích của hình phẳng trong hệ tọa độ Đề- các và

- Giải phương trình đại số

- Tính giới hạn của dãy

- Giải toán tổ hợp

Trong qua trình thực hiện đề tài mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do hạn chế về chuyên môn cũng như đây là bước khởi đầu để tác giả làm quen với công việc nghiêm cứu khoa học và mặt hạn chế

về thời gian nên trong luận trong thể tránh khỏi thiếu sót Vì thế, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn nữa