Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

Ph†p bi‚n Œi Fourier tr¶n Rd.. Ph†p bi‚n Œi Hartley tr¶n Rd.. Câ vaitrÆ °c bi»t quan trång trong lþ thuy‚t n y ph£i k” ‚n tr÷îc h‚t l bi‚n ŒiFourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartle

I H¯C QU¨C GIA H N¸I TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

I H¯C QU¨C GIA H N¸I TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

MÖC LÖC

Líi cam oan 2

Líi c£m ìn 3

Danh möc c¡c kþ hi»u 5

Mð ƒu 7

Ch÷ìng 1 Ph†p bi‚n Œi Hartley 13 1.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier 13

1.1.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier tr¶n Rd 13

1.1.2 Ph†p bi‚n Œi Fourier tr¶n o⁄n hœu h⁄n 16

1.2 Ph†p bi‚n Œi Hartley 20

1.2.1 Ph†p bi‚n Œi Hartley tr¶n Rd 20

1.2.2 Ph†p bi‚n Œi Hartley tr¶n o⁄n hœu h⁄n 38

Ch÷ìng 2 Ph†p bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier Łi xøng 49 2.1 ành ngh¾a v t‰nh ch§t 49

2.2 Nguy¶n lþ b§t ành Heisenberg 66

Ch÷ìng 3 Ùng döng gi£i mºt sŁ ph÷ìng tr…nh vi ph¥n v t‰ch ph¥n 74 3.1 Gi£i ph÷ìng tr…nh vi ph¥n 74

3.1.1 Gi£i ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng 74

3.1.2 Gi£i ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng 79

3.2 Gi£i ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n 86

3.2.1 Ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n d⁄ng ch“p vîi nh¥n Hermite 86 3.2.2 Ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n vîi nh¥n Toeplitz - Hankel 92 K‚t lu“n 103

Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n 104

T i li»u tham kh£o 105 Phö löc 110

4

C0(Rd) : khæng gian c¡c h m f li¶n töc tr¶n Rd v tri»t ti¶u t⁄i væ còng

vîi chu'n kfk1 = sup jf(x)j:

x2Rd

l2(Z) : khæng gian c¡c d¢y sŁ a = faX ngn2Z thäa m¢nX

janj2 < +1 vîi chu'n kak = janj2:

c0(Z) : khæng gian c¡c d¢y sŁ bà ch°n a = fangn2Z thäa m

¢n lim an = 0 vîi chu'n kak = sup janj:

H (x) : a thøc Hermite x¡c ành bði

H (x) = ( 1)j jejxj2 D e xj2 :

x(x) : h m Hermite ÷æc x¡c ành bði

(x) = ( 1)j je 1 jxj 2 D x e xj 2 :cas(x) : h m Hartley x¡c ành bði

cas x = cos x + sin x[x] : h m phƒn nguy¶n cıa x:

6

Khi nghi¶n cøu c¡c dao ºng cıa d¥y, m ng mäng, sâng ¥m, sâng t⁄o ra

do thıy tri•u, sâng n hçi, sâng i»n tr÷íng, d¤n ‚n gi£i ph÷ìng tr…nhtruy•n sâng sau (xem [10, 15, 47])

nh k” tr¶n ra íi r§t sîm v li¶n töc ph¡t tri”n cho ‚n t“n ng y nay Câ vaitrÆ °c bi»t quan trång trong lþ thuy‚t n y ph£i k” ‚n tr÷îc h‚t l bi‚n ŒiFourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, ti‚p theo l bi‚n ŒiLaplace, bi‚n Œi Mellin, sau â l c¡c bi‚n Œi Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Còng vîi lþ thuy‚t ph†p bi‚n Œi t‰ch

ph¥n, lþ thuy‚t ch“p li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n công xu§t hi»n v

o kho£ng ƒu th‚ k¿ XX Tuy nhi¶n, cho ‚n tr÷îc nhœng n«m 50 cıa

th‚ k¿ tr÷îc, khæng câ nhi•u ch“p li¶n k‚t vîi c¡c bi‚nŒi t‰ch ph¥n ÷æcx¥y düng Cho ‚n khi nhœng k‚t qu£ cıa Kakichev V.A (1967)

v Kakichev V.A., Thao N X (1998) cæng bŁ (xem [31, 33]) v•ph÷ìng ph¡p ki‚n thi‚t x¥y düng ch“p suy rºng th… mºt lo⁄t c¡c ch“p suy rºngmîi li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n kh¡c nhau ra íi Nhœng n«m gƒn ¥y,

câ kh¡ nhi•u b i b¡o v s¡ch v• c¡c øng döng cıa c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n, ch“pli¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n ÷æc cæng bŁ (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22,

23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50,

51, 53, 54])

¡ng chó þ l bi‚n Œi Fourier r§t hœu döng trong vi»c gi£i ph÷ìng tr…

nh ⁄o h m ri¶ng, ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n v… nhœng lþ do sau (xem[15]): tr÷îc ti¶n, c¡c ph÷ìng tr…nh â ÷æc thay th‚ bði c¡c ph÷ìng tr…nh

⁄i sŁ ìn gi£n, cho ph†p chóng ta t…m nghi»m l c¡c bi‚n Œi Fourier cıa

h m Nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh ban ƒu s‡ thu ÷æc thæng qua bi‚n ŒiFourier ng÷æc Thø hai, bi‚n Œi Fourier l nguçn gŁc ban ƒu ” x¡c ànhnghi»m cì b£n, minh håa cho þ t÷ðng x¥y düng h m Green sau n y.Thø ba, bi‚n Œi Fourier cıa nghi»m k‚t hæp vîi ành lþ ch“p cung c§pmºt c¡ch bi”u di„n nghi»m t÷íng minh cho b i to¡n bi¶n ban ƒu

C¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine tr¶n Rd, Fourier, Fourierng÷æc v c¡c bi‚n Œi Hartley lƒn l÷æt ÷æc ành ngh¾a trong khæng

gian L1(Rd) nh÷ sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):

(H 2 f)(x) := 1 d f(y) cas( xy)dy;

trong â, cas u := cos u + sin u Theo cæng thøc Euler th… c¡c bi‚n ŒiFourier, Fourier ng÷æc v Hartley ÷æc bi”u di„n tuy‚n t‰nh qua hai bi‚n

8

Œi Fourier cosine v Fourier sine tr¶n Rd l

F = Tc iTs; F 1 = Tc + iTs;

H1 = Tc + Ts; H2 = Tc T s :

i•u n y ¢ ÷a ‚n cho chóng tæi þ t÷ðng x†t c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n

Ta;b = aTc + bTs; a; b 2 C;

gåi l c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier Trong sŁ n y, c¡c bi‚n Œi Hartley

câ mºt sŁ ÷u i”m nh§t ành nh÷: Chóng âng vai trÆ quan trång trong xß lþ t

‰n hi»u, xß lþ £nh, xß lþ ¥m thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]) Khi t‰nh to¡n sŁ vîi h m nh“n gi¡ trà thüc th… c¡c bi‚n Œi Hartley nhanh hìn bi‚n Œi Fourier v… bi‚n Œi Hartley cıa mºt h m nh“n gi¡ trà thüc

l mºt h m nh“n gi¡ trà thüc, trong khi bi‚n Œi Fourier cıa mºt h m nh“ngi¡ trà thüc câ th” l mºt h m nh“n gi¡ trà phøc Theo V‰ dö 1.2, th… vîi h mnh“n gi¡ trà thüc

¢ng qu¶n gƒn 40 n«m, nh÷ng nay nâ ¢ ÷æc nghi¶n cøu l⁄i trong th“p kqua bði hai nh to¡n håc Wang v Bracewell - nhœng ng÷íi ¢ t⁄o ra lþthuy‚t h§p d¤n v• • t i n y"

9

Vîi nhœng l‰ do tr¶n, chóng tæi lüa chån • t i "Ph†p bi‚n Œi t‰chph¥n d⁄ng Fourier v øng döng gi£i mºt sŁ ph÷ìng tr…nh vi ph¥n v t

‰ch ph¥n"

2 Möc ‰ch, Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu

Möc ‰ch cıa lu“n ¡n l i nghi¶n cøu nhœng t‰nh ch§t to¡n tß, x¥ydüng ch“p suy rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley còng vîi h m trångHermite v khæng câ h m trång Sß döng chóng ” gi£i mºt sŁ ph÷ìng tr…

nh vi ph¥n v t‰ch ph¥n tr¶n mi•n væ h⁄n Song song vîi c¡c ph÷ìng tr…

nh x¡c ành tr¶n mi•n væ h⁄n l c¡c ph÷ìng tr…nh x¡c ành tr¶n mi•n hœuh⁄n Do â, lu“n ¡n ÷a ra hai bi‚n Œi Hartley hœu h⁄n v x¥y düng ch“p li¶nk‚t vîi c¡c bi‚n Œi n y ” gi£i c¡c ph÷ìng tr…nh tr¶n mi•n hœu h⁄n Ngo i ra,lu“n ¡n cÆn x†t mºt bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier mîi

Z(T f)(x) = p1

f(y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy; 2 R

nghi¶n cøu c¡c °c tr÷ng ⁄i sŁ, x¥y düng ch“p li¶n k‚t vîi bi‚n Œi n y

Nghi¶n cøu c¡c °c tr÷ng ⁄i sŁ cıa c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n Tł â, t…m

ra bi‚n Œi ng÷æc v i ng÷æc tł flng thøc nh¥n tß hâa ” x¥y düng ch“p,ch“p suy rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n Łi vîi mØi bi‚n Œi t

‰ch ph¥n chóng tæi x¥y düng bº bŁn ch“p m nh¥n cıa chóng câ d⁄ng

•u bi”u di„n ÷æc qua c¡c ch“p tr¶n Nhí v“y, chóng tæi ¢ ÷a ph÷ìngtr…nh t‰ch ph¥n vîi nh¥n Toeplitz-Hankel v• h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t

‰nh Tł k‚t qu£ cıa ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh v bi‚n Œi ng÷æc, chóng tæi ÷a rai•u ki»n cƒn v ı ” ph÷ìng tr…nh câ nghi»m v cæng thøc nghi»m t÷íngminh

4 C§u tróc lu“n ¡n v c¡c k‚t qu£

Lu“n ¡n gçm phƒn mð ƒu, ba ch÷ìng, k‚t lu“n v phö löc:

Ch÷ìng 1 tr…nh b y mºt sŁ t‰ch ch§t cì b£n cıa bi‚nŒi Fourier tr¶n Rd

v bi‚n Œi Fourier tr¶n o⁄n hœu h⁄n X¥y düng ch“p, ch“p suy rºng li¶n

k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley còng vîi h m trång Hermite v khæng câ h m trång

ành ngh¾a c¡c bi‚n Œi Hartley tr¶n o⁄n hœu h⁄n v x¥y düng ch“p, ch“p suy

rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n n y

Ch÷ìng 2 ÷a ra mºt bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier mîi T Chøng

minh mºt sŁ °c tr÷ng ⁄i sŁ cıa nâ nh÷:

+ T l bi‚n Œi Łi xøng v khæng unita

+ T câ a thøc °c tr÷ng l PT (t) = t4 5t2 + 4:

+ T bi‚n mºt h m nh“n gi¡ trà thüc th nh mºt h m nh“n gi¡ trà thüc

+ T l to¡n tß kh£ nghàch vîi to¡n tß ng÷æc

tr…nh truy•n sâng, ph÷ìng tr…nh khu‚ch t¡n, ph÷ìng tr…nh Schrodinger,

ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n d⁄ng ch“p vîi nh¥n Toeplitz - Hankel, nh¥n

chøa c¡c h m Hermite B¶n c⁄nh â, chóng tæi cÆn sß döng phƒn m•m

Maple ” gi£i nghi»m t÷íng minh cho mºt sŁ ph÷ìng tr…nh ¢ x†t °c bi»t,

vîi cæng cö l ch“p suy rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley hœu h⁄n m mºt

lîp ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n Toeplitz-Hankel sau (xem [48])

’(x) + Z

1

câ th” gi£i v thu ÷æc nghi»m ð d⁄ng chuØi Ph÷ìng tr…nh n y câ r§t

nhi•u øng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ lþ thuy‚t t¡n x⁄, lþ

11

thuy‚t ºng lüc håc ch§t läng, lþ thuy‚t låc tuy‚n t‰nh, trong nghi¶n cøuc¡c va ch⁄m n hçi, t¡n x⁄ kh‰ quy”n, ºng lüc håc kh‰ lo¢ng, (xem[1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]) Ngo⁄i trł mºt sŁ tr÷íng hæp °c bi»t

Łi vîi nh¥n Toeplitz p v nh¥n Hankel q, b i to¡n t…m nghi»m âng choph÷ìng tr…nh (0.5) tŒng qu¡t cho ‚n nay v¤n l b i to¡n mð

5 Þ ngh¾a cıa c¡c k‚t qu£

Lu“n ¡n ÷a ra mºt c¡ch ti‚p c“n kh¡c trong vi»c nghi¶n cøu c¡c bi‚n

Œi t‰ch ph¥n â l düa v o c¡c °c tr÷ng ⁄i sŁ cıa c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n.Theo c¡ch ti‚p c“n n y th… c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n ÷æc ph¥n lo⁄i düatheo °c tr÷ng ⁄i sŁ cıa nâ Nhí â, lu“n ¡n ¢ ÷a ra mºt bi‚n Œi t‰ch ph¥nmîi T câ mºt sŁ °c tr÷ng ⁄i sŁ kh¡c vîi c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n ¢ bi‚t Hyvång, chóng ta s‡ t…m ÷æc c¡c øng döng mîi cho bi‚n Œi n y Vîich“p li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley hœu h⁄n, lu“n ¡n ¢ tr£ líi ÷æc mºtphƒn cıa b i to¡n mð (0.5) C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n gâp phƒn l m phongphó th¶m l‰ thuy‚t v• ph†p bi‚n Œi t‰ch ph¥n v ph÷ìng tr…nh t‰chph¥n

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n düa tr¶n c¡c cæng tr…nh khoa håc ¢cæng bŁ, li»t k¶ ð möc "Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£li¶n quan ‚n lu“n ¡n", c¡c k‚t qu£ n y ¢ ÷æc b¡o c¡o t⁄i:

+ Seminar Gi£i t‰ch- ⁄i sŁ, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi

+ Seminar bº mæn Gi£i t‰ch, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi

+ Seminar bº mæn To¡n håc t‰nh to¡n, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi

Ch֓ng 1

1.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier

Trong möc n y, lu“n ¡n tr…nh b y l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ li¶n quan cıa bi‚n

Œi Fourier C¡c k‚t qu£ n y ¢ ÷æc chøng minh chi ti‚t trong c¡c t i li»utr‰ch d¤n Bði v“y, lu“n ¡n ch¿ n¶u k‚t qu£ m khæng tr…nh b y chøngminh

1.1.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier tr¶n Rd

ành ngh¾a 1.1 ([41, 47]) Bi‚n Œi Fourier cıa h m f

(F f) v ÷æc x¡c ành nh÷ sau: Z

R d

(2 )2(F f)(x) =

trong â, f l h m thüc ho°c phøc x¡c ành tr¶n Rd.

i•u ki»n ı ” t‰ch ph¥n (1.1) tçn t⁄i l h m f thuºc L1(Rd) v khi

â £nh Fourier cıa h m f ÷æc mi¶u t£ thæng qua ành lþ sau

13

rª r ng f thuºc L1(R), nh÷ng £nh Fourier cıa h m f

l h m khæng thuºc khæng gian L1(R) m ch¿ thuºc khæng gian C0(R)

Khi x†t bi‚n Œi Fourier trong khæng gian S th… nâ l ¡nh x⁄ li¶n töc

tł S v o S v câ ¡nh x⁄ ng÷æc ÷æc ch¿ ra trong ành lþ d÷îi ¥y

(ii) Bi‚n Œi Fourier l ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh, li¶n töc, 1 1 tł S l¶n S,

F 4 = I v ¡nh x⁄ ng÷æc cıa nâ công li¶n töc

Trong khæng gian L1(Rd), khæng ph£i bi‚n Œi Fourier cıa h m f n o

công tçn t⁄i bi‚n Œi ng÷æc ành lþ 1.3 d÷îi ¥y s‡ ÷a ra i•u ki»n tçn t⁄i

bi‚n Œi ng÷æc Łi vîi bi‚n Œi Fourier cıa mºt h m trong L1(Rd)

Rdgåi l bi‚n Œi Fourier ng÷æc cıa h m g.

ành lþ 1.4 ([41, 47]) N‚u f; g 2 L1(Rd) th… bi‚n Œi t‰ch ph¥n (1.2)

x¡c ành ch“p li¶n k‚t vîi bi‚n Œi Fourier v thäa m¢n flng thøc nh¥n tß

hâa (1.3)

1 Z

(2 )d2 R d

F (f g)(x) = (F f)(x)(F g)(x):

Nh“n x†t 1.1 Ta bi‚t t“p c¡c h m Hermite f g l cì sð trüc giao cıa L2(Rd),

v S trò m“t trong L2(Rd) Nhœng i•u n y v ành lþ 1.2 gæi þ cho vi»c

mð rºng bi‚n Œi Fourier l¶n L2(Rd), v v§n • ÷æc thüc hi»n ð ành lþ 1.5sau ¥y

ành lþ 1.5 ([41, 47]) Tçn t⁄i duy nh§t mºt flng cü tuy‚n t‰nh F :

L2(Rd) ! L2(Rd) thäa m¢n (F f) = (F f) vîi måi f 2 S

Ph†p mð rºng F ÷æc gåi l bi‚n Œi Fourier cıa f 2 L2(Rd) v kþ hi»u(F f) v¤n ÷æc dòng ” thay th‚ cho (F f) Nhí t‰nh duy nh§t cıa to¡n tß

mð rºng F n¶n ta câ th” ph¡t bi”u l⁄i ành lþ Plancherel mºt c¡ch rª r nghìn nh÷ sau:

H» qu£ 1.1 ([47]) Gi£ sß f l h m thüc ho°c phøc thuºc khæng gian

hºi tö theo chu'n tîi f(x)

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa bi‚n Œi Fourier.

T‰nh ch§t 1.1 ([41, 47]) Bi‚n Œi Fourier cıa c¡c h m Hermite (x) l ( i)j

f(t)g(t)dt = F (x)G(x)dx:

Nh“n x†t 1.2 Tł flng thøc Parseval suy ra F l to¡n tß unita F câ tràri¶ng £o (theo T‰nh ch§t 1.1) n¶n F l to¡n tß khæng Łi xøng trongkhæng gian Hilbert L2(Rd).

1.1.2 Ph†p bi‚n Œi Fourier tr¶n o⁄n hœu h⁄n

Möc n y s‡ tr…nh b y kh¡i ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t li¶n quan cıabi‚n Œi Fourier tr¶n o⁄n hœu h⁄n ¥y l mºt cæng cö ” t…m nghi»m cıac¡c b i to¡n bi¶n ban ƒu x¡c ành tr¶n mi•n hœu h⁄n Bi‚n Œi Fouriersine hœu h⁄n ÷æc ÷a ra bði Doetsch (1935) Sau â, mºt sŁ t¡c gi£ ¢quan t¥m v tr…nh b y mºt c¡ch tŒng qu¡t hìn nh÷ Kneitz (1938),Koschmieder (1941), Brown (1944) v Roettinger (1947) (xem [15]).ành ngh¾a 1.2 (bi‚n Œi Fourier hœu h⁄n, [3, 15, 43]) Bi‚n ŒiFourier hœu h⁄n cıa h m f(x) ÷æc kþ hi»u Fff(x)g v x¡c ành bði

20 + X

[an cos(nx) + bn sin(nx)]:

n=1i•u ki»n ı ” t‰ch ph¥n (1.4) tçn t⁄i l f 2 L1[ ; ] Theo bŒ •Lebesgue - Riemann th… £nh Fourier hœu h⁄n cıa h m f ÷æc mæ t£thæng qua ành lþ sau ¥y

ành lþ 1.6 (bŒ • Lebesgue - Riemann, [3, 15, 43]) N‚u f 2 L1[ ; ]th… f^

(n) 2 c0(Z)

16

Ta bi‚t c¡c h m

n

p1 e inx : n 2 Zo;

2

l cì sð trüc chu'n cıa L2[ ; ] n¶n n‚u f 2 L2[ ; ] th… chuØi Fourier cıa h

m f hºi tö v• h m f trong L2[ : ] ([3, 15, 43]) Nh÷ng khi

f 2 L1[ ; ] th… khæng ph£i lóc n o chuØi Fourier cıa h m f công hºi tö

v khi hºi tö công ch÷a hfln hºi tö v• h m f

ành lþ 1.7 ([3, trang 88]) Cho f 2 L1[ ; ] v n(f) l tŒng Ces ro cıa

chuØi Fourier cıa h m f Khi â

lim kf n(f)k1 = 0;

n!1trong â

n(f) = n Sk(f) vîi Sn(f) = f^(k)eikx:

H» qu£ sau suy trüc ti‚p tł ành lþ 1.7

H» qu£ 1.2 (t‰nh duy nh§t) N‚u f 2 L1[ ; ] v f^

(n) = 0 vîi måi

n 2 Z th… f = 0 trong L1[ ; ].

Khi f l h m trìn tłng khóc th… ành lþ Dirichlet d÷îi ¥y cho ta mŁi li¶n h» giœa h m f v chuØi Fourier cıa nâ

ành lþ 1.8 ([3, ành lþ Dirichlet]) Gi£ sß f l h m tuƒn ho n vîi chu ký 2

v trìn tłng khóc tr¶n o⁄n [ ; ] th… chuØi Fourier cıa h m f hºi tö ‚n

1

2[f(x+) + f(x )]:

ành lþ 1.9 (ch“p Fourier hœu h⁄n, [3]) Gi£ sß h m f; g x¡c ành tr¶n

R v tuƒn ho n vîi chu ký 2 N‚u f; g kh£ t‰ch Lebesgue tr¶n [ ; ]th… bi‚n Œi t‰ch ph¥n (1.5) l ch“p li¶n k‚t vîi bi‚n Œi Fourier hœu h⁄ncòng vîi b§t flng thøc chu'n v flng thøc nh¥n tß hâa

Fk

gk

1; Ff (f gF

f 1

F g)(x) (n) = f

^ (n)^g(n):

17

1(Ff )(x) = 2 X f^(n) sin(nx);

n=1trong â

(ii) TŒng væ h⁄n

11

ành ngh¾a 1.4 ([15, trang 408]) Cho f l h m kh£ t‰ch Lebesgue

18

M»nh • 1.1 ([15, trang 410]) Cho h m f câ ⁄o h m ‚n c§p hai kh£ t‰ch

Lebesgue tr¶n o⁄n [0; ] Khi â

Fsff0(x)g(n) = nf^

c(n);

2nF

2 Do â, ta ÷a ra hai mð rºng tuƒn ho n vîi chu ký 2 cho mºt h m x¡c

ành tr¶n 0 < x < nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.5 ([15, trang 411]) H m f1(x) gåi l mð rºng tuƒn ho n l·

cıa h m f(x) vîi chu ký 2 n‚u

ành lþ 1.10 ([15, trang 413]) N‚u f1; g1 l hai mð rºng tuƒn ho n l·

v f2; g2 l mð rºng tuƒn ho n chfin cıa f; g tr¶n 0 < x < th…

Fc f2 g2)(x) (n) = fc(n)^gc(n);

F

1 2f^c (n)^g s (n):

Nh“n x†t 1.3 H» sŁ Fourier cıa mºt h m nh“n gi¡ trà thüc câ th” l d¢y

sŁ phøc trong khi h» sŁ Fourier cosine, Fourier sine cıa mºt h m nh“ngi¡ trà thüc l mºt d¢y sŁ thüc Do â, khi cƒn t‰nh to¡n sŁ th… ta sßdöng chuØi Fourier cosine, Fourier sine s‡ thu“n læi hìn Tuy nhi¶n,khi sß döng ch“p hœu h⁄n th… c¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sineph£i düa tr¶n c¡c h m mð rºng tuƒn ho n N¶n vi»c sß döng bi‚n ŒiFourier hœu h⁄n ho°c c¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine hœu h⁄n

l tòy v o tłng b i to¡n

1.2 Ph†p bi‚n Œi Hartley

1.2.1 Ph†p bi‚n Œi Hartley tr¶n Rd

ành ngh¾a 1.6 ([6, 28]) C¡c bi‚n Œi Hartley cıa h m f ÷æc kþ hi»u(H1f); (H2f) v ÷æc x¡c ành t÷ìng øng bði

(H1f)(x) =(H2f)(x) =

1

d

(2 )21

Rª r ng

(H1f)(x) = (H2f)( x) v (H1f( y))(x) = (H2f(y))(x): (1.8)V‰ dö 1.2 X†t h m

x (H1f)(x) (H2f)(x)

H…nh 1.2: (H1f)(x); (H2f)(x)

Nh“n x†t 1.4 Khi f l h m nh“n gi¡ trà thüc th… £nh Hartley cıa nâ l

h m nh“n gi¡ trà thüc Trong khi, £nh Fourier cıa f câ th” l h m nh“n

; suy ra vîi måi f 2 L1(Rd)2

j(Hif)(x)j kfk1; ( vîi måi x 2 Rd): (1.9)M°t kh¡c, do S trò m“t trong L1(Rd) n¶n vîi mØi f 2 L1(Rd) tçn t⁄i d¢y fn

2 S sao cho kfn fk1 ! 0: Tł (Hifn) 2 S C0(Rd) v (1.9) suy ra (Hifn) hºi tö

Chøng minh Khi c¡c bi‚n Œi F; F 1; H1 v H2 còng x†t tr¶n khæng gian

d

(2 )2

Z(H1f)(y) cas(xy)dy;

Rd

Z

(H 2 f)(y) cas( xy)dy;

Rdth… fi(x) = f(x) hƒu kh›p nìi tr¶n Rd; (i = 1; 2):

Chøng minh Cho g 2 S, vîi gi£ thi‚t f; (H1f) 2 L1(Rd) n¶n ¡p döng ành

lþ Fubini cho t‰ch ph¥n sau

R d

22

Tł ành lþ 1.12, ta câ

Z(f1(x) f(x)) (x)dx = 0; vîi måi 2 S:

Rd

M S trò m“t trong L1(Rd) n¶n f1(x) = f(x) hƒu kh›p nìi tr¶n Rd Chøng

minh ho n to n t÷ìng tü cho H2 ành lþ ¢ ÷æc chøng minh

H» qu£ 1.3 (t‰nh duy nh§t) N‚u f 2 L1(Rd) v (H1f) = 0 ho°c (H2f) = 0

trong L1(Rd) th… f = 0 trong L1(Rd)

ành lþ 1.14 N‚u f; g 2 L1(Rd) th… mØi bi‚n Œi t‰ch ph¥n (1.13),

(1.14), (1.15), (1.16) l ch“p, ch“p suy rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley

H 1 (f

;H g)(x) = (H1f)(x)(H2g)(x):H

;H

Chøng minh Tr÷îc ti¶n, tai chøng minh ch“p (1.13) Ta ch¿ ra

(f g)(x) 2 L1(Rd):

H 1Th“t v“y

ph†p chøng minh ch“p (1.13) Ta ch¿ cƒn chøng minh flng thøc nh¥n

tß hâa

Chøng minh ch“p (1.14) Ta câ

(H2f)(x)(H2g)(x)

= 2(2 )d Rd Rd cas x(u + v) + cas x(u v)

= 2(2 )d Rd Rd cas x(u + v) cas x(u v)+ cas x( u + v) + cas x( u v)i

= 2(2 1 )d Z

< 3(f

H» qu£ 1.4 N‚u f; g 2 L1(Rd) th… mØi bi‚n Œi t‰ch ph¥n (1.17), (1.18),

(1.19), (1.20) l ch“p, ch“p suy rºng li¶n k‚t vîi c¡c bi‚n Œi Hartley v

26

H1(f g)(x) = (H1f)(x)(H1g)(x):

H 1Thay x bði x v sß döng (1.8), ta thu ÷æc (1.17) T÷ìng tü cho c¡c ch“p

(1.18), (1.19), (1.20) H» qu£ ¢ ÷æc chøng minh

Nh“n x†t 1.5 C¡c ch“p trong ành lþ 1.14 v H» qu£ 1.4 ÷æc ph¥n lo⁄i

düa theo flng thøc nh¥n tß hâa Tuy nhi¶n, n‚u ph¥n lo⁄i düa theo

nh¥n ch“p th… c¡c c°p ch“p (1.13-1.17), (1.14-1.18), (1.15-1.19),(1.16-1.20) l mºt Nh÷ v“y, ta công câ th” xem ¥y l mºt ch“p nh÷ngthäa m¢n hai flng thøc nh¥n tß hâa kh¡c nhau.