Bài soạn TL ôn thi 2011 - tích phân và ứng dụng

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ... Các phương pháp tính tích phân a... DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG a.. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ... Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi C và cỏc trục Ox; Oy và đường

Phần I: NGUYÊN HÀM A) TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Bảng các nguyên hàm cơ bản:

Nguyên hàm của

những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản

C x

dx 

 1 1

1















dx x C

1

1















du u C

1





















C b

ax a dx b ax

 0



dx x x C x du u lnu C u0 1ln    0



ax dx b a ax b C x

C e dx

e x x









 e axb dxa1e axb C

0 1



a dx a a C a

x



a dx a a C a

u

ln

mx n

m a

+

ò

C x xdx 

a dx b

cos 1sin

C x xdx  

a dx b

C x dx

cos12 tan cos2ax1 bdxa1tanaxbC

C x dx

sin12 cot sin2ax1 bdx a1cotaxbC

tanxdx ln cosx c



cotxdx ln sinx c



2) Các tính chất nguyên hàm:

Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm Khi đó

 k f x dx  ( ) k f x dx ( ) ( k là hằng số)

 [ ( )f x g x dx( )] f x dx( ) g x dx( )

3) Các phương pháp tìm nguyên hàm:

a) Nguyên hàm từng phần

b) Phương pháp đổi biến

B MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1) Các công thức lượng giác:

a) Công thức nhân đôi:

* sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a

= 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a

b) Công thức hạ bậc:

* cos2a = 1 cos 2

2

a



* sin2a = 1 cos 2

2

a



c) Công thức biến đổi tích thành tổng:

2

2

2

2) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:

Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :

* n a a1n và n a m a m n * n a b.n n a b. ; n n

n

b

* a0 = 1; a1 = a ; a-n = a1n * a a  a  

a



 







* a b.  a b. 





*  a  a 



3) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

* a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) * a b 2 a2  2ab b 2

* a3 b3  (a b a )( 2 a b b  2 ) * a b 3 a3  3a b2  3ab2 b3

C LUYỆN TẬP:

1 Nguyên hàm của các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ:

1.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) (3x 2)(x 1)dx b) (2x 3)5dx c) (x 2)3xdx

d) 3x 2dx

x



2

2x 1

dx x



2 2

dx x



GIẢI

a) (3x 2)(x 1)dx b) (2x3)5dx

c) (x 2)3xdx d) 3x 2dx

x





2

2x 1

dx x



2 2

dx x



1.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) (x 2) (2 x 1)dx b) (5x 2)5dx c) (2 x) (3 x1)dx

x dx x





2

5

x

dx x



2 2

dx x



2 Nguyên hàm các hàm số lượng giác:

2.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:

sin cos

x dx

2

tan xdx



g) sin3xcosxdx h) sin 2 cosx 2xdx i)  3 2sin cos  x xdx

GIẢI

e) cos 22 2

sin cos

x dx

2

tan xdx



i)  3 2sin cos  x xdx

2.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:

sin cosx x dx



cos

x dx x



sin 2

1 cos

x dx x



(sinx 3 cos )x dx



3 Nguyên hàm của hàm số mũ, logarit:

3.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) e3x2dx

e





c) lnx 1dx

x



x





GIẢI

a) e3x2dx

e





c) 3lnx 2dx

x



3.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) (e2x5 e3x)dx



1

e 

e e





d) 4lnx 3dx

x



2

dx x



 f)  2lnx x3dx

4 Phương pháp nguyên hàm từng phần:

4.1 Ví dụ: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) (3 2) x

x e dx

d) (x 2)lnxdx e) ln x2 dx

x

cos

x dx x



GIẢI

a) (3 2) x

x e dx

e) ln x2 dx

x

x dx x



4.2 Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau:

a) (3x 2)e dx6x b) (5x 2)sin10xdx c) (3 2 )cos  x 2xdx

d)

 2

ln 1

x dx

x 

 e) (2x3)lnxdx f) 2

3 sin

x dx x





5 Tìm nguyên hàm có điều kiện:

5.1: Ví dụ: Cho hàm số f(x)= 5

(2x 1) (x 3) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết rằng F(0) = 0.

5.2 Bài tập:

1) Cho hàm số f(x)= sin 2x2 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết rằng F(0) = 0 2) Cho hàm số f(x)= x

e Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết rằng F(0) = 1

( )

3

x

f x





  Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết rằng F(0) = 1

4) Cho hàm số f x( ) (2  x 1) 3 x2  x 5 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết rằng

F(0) = 1

Phần II: TÍCH PHÂN A) TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa :

b

a f x dx F b  F a

2 Tính chất : Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có:

a f x dx =

b f x dx=- a f x dx

3) a b f x dx( ) b c f x dx( ) a c f x dx ( ) 4) b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )

a f x ±g x dx= a f x dx± a g x dx

a k f x dx k= a f x dx

3 Các phương pháp tính tích phân

a Phương pháp đổi biến:  

( )

( )

u b b

a

u a

b Phương pháp tích phân từng phần: ( ) '( )  ( ) ( ) | ( ) '( )

b a

u x v x dx u x v x  v x u x dx

B) LUYỆN TẬP

1) Tính tích phân bằng định nghĩa:

1.1 Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

1

3

(  1)

2

2

(2 - 3)(x x -x 1)dx

1 (3 -1)

x x

e e dx



- (2sin - cos )

2 0

1

cos



0 cos (1 2 tan ) 

1.2 Bài tập: Tính các tích phân sau:

d)

2

2

2 1

3 

2 3 1

4



8 3

1 ( x e dx- )x

g)

3 4

2 6

1- sin

sin

 x x dx



0

cos 2

 x x x dx



0 cos 2

 x dx



.

0 tan



2 2

6 cos sin

 dx x x



2) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:

2.1 Ví dụ:

Bài 1: Tính các tích phân sau:

0



b)

3 2 2 6

cos sin

 x x dx





c)

1 2

3

0

2



 

3 2 0

 x x dx

Bài 2: Tính các tích phân:

a)

1

2 1

1 x dx

1

2 0

1

1 +x dx

ò

2.2 Bài tập: Tính các tích phân sau

0 (1 sin ) cos 



2 6

1

sin





1

2 -1

-  6

x x x dx

1



2





3

1

x dx

2

3 3

3 1

0 2

x dx x

f)

2

x dx

x

1

1

2

0 2 1

1

4dx

x

ò

i)

0

2

1

1

ò

3) Phương pháp tích phân từng phần

3.1 Ví dụ: Tính các tích phân sau

a)

0 sin

3.2 Bài tập: Tính các tích phân sau

a)

0 cos

0 (  1)sin 3



0 sin

x xdx

0 cos

4 sin

 xdx x



2

0 cos

 xdx x



0 cos



0 sin



1 ln

e xdx

4) Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

4.1 Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

1

1

x dx

3 2 0

4

x - dx

ò

4.2 Bài tập: Tính các tích phân sau:

a)

0

3

2

x dx

-+

2 2 2

1

2

2

ị

d)

3 2 0

x - x+ dx

0

1 sin2xdx

p

ln

e

e

x dx

ị

5) Bài tập tổng hợp: Tính các tích phân sau:

a)

2

x

x

=

0

1 2sin

1 sin2

x

x

p

-=

+

ị

c)

1

1 3ln ln

e

x x

x

+

4

2 0

1

p

=

+

ị

0

1 3cos

x

p

+

=

+

2 3

2

dx I

x x

=

+

ị

0

tan cos2

x

x

p

0

4

x

=

ị

i)

1

2 0

(x- 2)e dx x

3 2 2

ln(x - x dx)

ị

k) I =

2 3 1

ln x dx x

0

(e x cos )cosx xdx

p

-ị

m) I =

2 2 1

(x 1)e dx x x

0

sin

x

p

=

+

ị

Phần III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

a Hàm số yf x( )liên tục trên đoạna b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hồnh và đường thẳng x a x b ,  là

| ( ) |

b a

S  f x dx

b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số yf x( ),y g x ( )liên tục trên đoạna b;  và hai đường thẳng x a x b ,  là:

| ( ) ( ) |

b a

S  f x  g x dx

2 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ

a Hàm số yf x( )liờn tục, khụng õm trờn đoạna b;  Hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số yf x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  , quay quanh trục hoành tạo nờn một khối trũn xoay cú thể tớch là:

2 ( )

b a

V  f x dx

b Hàm số x g y ( )liờn tục, khụng õm trờn đoạnc d;  Hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số x g y ( ), trục tung và hai đường thẳng y c y d ,  , quay quanh trục tung tạo nờn một khối trũn xoay cú thể tớch là:

2 ( )

b a

V  g x dy

B LUYỆN TẬP

1 Diện tớch hỡnh phẳng:

1.1 Vớ dụ:

Bài 1 Tớnh diện tớch hỡnh

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = x3 – 2x, trục Ox,

đường thẳng x = -1, x = 1

GIẢI

Bài 2 Tớnh diện tớch hỡnh

phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)

của hàm số y = 2 - x2 với

đường thẳng (d): y = x

GIẢI

1.2 Bài tập:

Bài 1: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = 1 + sin2x, trục Ox,

trục Oy và đường thẳng x =

2



Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng : 2

y x  x y x 

Bài 5 Cho hàm số y = 3x 5

2x 2



 (C) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (C) và cỏc trục Ox; Oy và đường thẳng x = 2

Bài 6 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường (C): y x và cỏc đường thẳng (d): x + y - 2 = 0 ; y = 0

Bài 7 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiếp tuyến (d) của nú tại điểm M(3;5) và Oy

Bài 8 Cho hàm số y = 3 5

1

x x



 (C) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm cận của nú và x = 2 ; x= 3

2 Thể tớch khối trũn xoay

2.1 Vớ dụ

Bài 1 Tớnh thể tớch vật thể

trũn xoay tạo nờn bởi hỡnh

phẳng giới hạn bởi cỏc

đường y = 2x - x2 , y = 0 khi

ta quay quanh trục Ox

Bài 2 Tớnh thể tớch vật trũn

xoay tạo nờn bởi hỡnh phẳng

giới hạn bởi cỏc đường

y = cos2x , y = 0, x = 0,

x = 3

2



khi quay quanh trục

Ox

2.2 Bài tập Bài 1 Tính thể tích các vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau

đây quay quanh Ox:

1) y = x3, y = 0, x = 0, x = 1

2) y = -3x2 + 3x + 6, y = 0

Bài 2 Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay được tạo thành do hỡnh phẳng (D) giới hạn bởi :

y = x-1, y = 0, x = 4 khi ta quay quanh (D) quanh Ox

Bài 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình

phẳng giới hạn bởi trục Ox và đờng y 2 sin ,x x 0, x

Bài 4 Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay được tạo thành do hỡnh phẳng (D) giới hạn bởi :

x

y xe , trục Oy, đường thẳng x = 1 và y = 0 ( 0 x 1  ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox

Bài 5 Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay được tạo thành do hỡnh phẳng (D) giới hạn bởi

ln

y x, x = 2 và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Ox