Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian banach 62 46 15 01002

2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thức Ito 272.1 Tích phân ngẫu nhiên của hμm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss.. Một hướng mở rộng khác

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 12

1.2 Độ đo véc tơ vμ tích phân của hμm nhận giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ 14

1.2.1 Độ đo véc tơ 14

1.2.2 Tích phân Bochner 16

1.2.3 Tích phân của một hμm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc tơ 16

1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18

1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 24

1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach 25

3

2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thức Ito 27

2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hμm ngẫu nhiên nhận giá trị toán

tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 27

2.2 Biến phân bình phương của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 41

2.3 Quá trình Ito vμ công thức Ito 46

3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach 58 3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ vμ các tính chất tổng quát 58

3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn 65

3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71

3.4 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn 75

Về các nghiên cứu tiếp theo 83

Kết luận 93

Tμi liệu tham khảo 96

Phụ lục 100

4

Mở đầu

Trong hơn ba thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ cácnhμ toán học, giải tích toán học đã trở thμnh một lĩnh vực toán học lớn vớinhững chuyên ngμnh như: phép tính vi tích phân, phương trình vi

phân, phương trình đạo hμm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính, .

Nó cung cấp cho nhiều ngμnh khoa học vμ kỹ thuật một công cụ hết sức

đắc lực để xử lý vμ tính toán các mô hình tất định

Tuy nhiên, chúng ta đang sống trong một thế giới chịu nhiều tác độngcủa nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tựnhiên lμ các hệ động lực ngẫu nhiên vμ quá trình ngẫu nhiên Thμnh thử đểphản ánh thực tế đúng đắn hơn, ngoμi việc nghiên cứu các mô hình tất

định, việc nghiên cứu các mô hình ngẫu nhiên lμ một tất yếu vμ cần thiết

Trong vμi chục năm gần đây, một mặt do nhu cầu phát triển nội tại củatoán học, mặt khác nhằm cung cấp một ngôn ngữ, một công cụ cho phép mô tả,phân tích, dự báo vμ điều khiển các mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫunhiên (giải tích trong môi trường ngẫu nhiên) đã ra đời với các lý thuyết về độ

đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên, toán

tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên

Trong các hướng nghiên cứu của giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tíchngẫu nhiên vô hạn chiều cũng được nhiều tác giả quan tâm do sự phát triển nộitại của giải tích ngẫu nhiên cũng như do sự xuất hiện của nhiều bμi toán thựctiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần chú ý rằng để nghiên cứu giảitích ngẫu nhiên trên không gian vô hạn chiều, người ta cần phải có nhữngphương pháp mới vμ dụng cụ mới khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫunhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ rằng những phương pháp vμ dụng cụ cơ bản của xácsuất trên không gian hữu hạn chiều khi mở rộng sang không gian vô hạn chiềuthì không còn hiệu lực nữa (xem [21, 22, 43] vμ các thư mục ở đó)

5

Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên đầu tiên trong lý thuyết xác suất lμtích phân của một hμm tất định đối với chuyển động Brown do Wiener đưa

ra [44] vμo năm 1923 Tích phân nμy được gọi lμ tích phân Wiener Tíchphân Wiener có thể nhìn nhận như lμ tích phân của một hμm tất định thực

đối với độ đo ngẫu nhiên Wiener - một độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bởichuyển động Brown Tư tưởng về độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần đầu tiênxuất hiện trong công trình của Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên của hμmtất định đối với độ đo ngẫu nhiên giá trị thực được nghiên cứu bởi Urbanik vμWoyczynski [42] Sự mở rộng cho trường hợp vô hạn chiều được thực hiện bởiHoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Một hướng mở rộng kháccủa tích phân Wiener được Đ.H.Thắng đề cập trong [36, 41]: Đó lμ xét tíchphân của các hμm tất định thực đối với các độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ

độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều

Chương 1 của luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμtích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chương nμy sẽ trình bμy mộtcách tóm lược nhất để lμm quen với định nghĩa, các kết quả cơ bản về độ

đo véc tơ ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trịtrong không gian Banach vô hạn chiều vμ tích phân của hμm tất định thực

đối với chúng, trong đó tập trung vμo các tính chất các độ đo véc tơ ngẫunhiên Gauss đối xứng Các kết quả nμy sẽ được sử dụng đến ở chương 2

Nhu cầu của toán học cũng như thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện quá trình lấy tích phân không chỉ cho các hμm tất định mμ cả cho các hμm ngẫu nhiên Năm

1942 nhμ toán học Ito [18] đã xây dựng quá trình tích phân cho một hμm ngẫu nhiên phù hợp đối với chuyển động Brown Tích phân nμy được gọi lμ tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito vμ công thức Ito đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên tương tự như tích phân Riemann vμ công thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân trong không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên

6

cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác nhau cơ bản giữa giải tích

cổ điển vμ giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm ở sự khác nhau của côngthức đạo hμm hμm số hợp, trong môi trường ngẫu nhiên công thức nμy mangtên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngμy cμng đóng vai trò quan trọng, môtả ngμy cμng đúng vμ sát nhiều mô hình trong thực tế vμ có nhiều ứngdụng thiết thực Một trong những ứng dụng đáng chú ý của nó gần đây cóthể kể đến đó lμ nó trở thμnh công cụ quan trọng trong nghiên cứu toán tμichính (xem [15, 31] vμ các thư mục ở đó), ví dụ như việc định nghĩa vμnghiên cứu các mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White,

Có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốnxây dựng loại tích phân ngẫu nhiên mμ không cần giả thiết phù hợp, nhưtích phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod (xem[3, 24, 29] vμ các thư mục ở đó) Một hướng mở rộng khác lμ xây dựngtích phân của hμm ngẫu nhiên đối với các quá trình ngẫu nhiên tổng quáthơn Chẳng hạn lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên của các hμm ngẫunhiên khả đoán đối với một semimartingale đã được nhiều tác giả ở Mỹ vμPháp quan tâm (xem [5, 20] vμ các thư mục ở đó); lý thuyết về tíchphân ngẫu nhiên đối với các quá trình Brown phân thứ được một số tác giảquan tâm vì những dụng mới của nó trong toán tμi chính (xem [31])

Chương 2 có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ côngthức Ito" Chương nμy dμnh cho việc xây dựng tích phân Ito của hμmngẫu nhiên giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây

dựng một quá trình ngẫu nhiên vô hạn chiều X t, kiểu Ito rất tổng quát vμthiết lập công thức Ito tương ứng

Giả sử X, Y lμ các không gian Banach Cho trước Z lμ độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị với độ đo covariance Q (được định nghĩa bởi

Đ.H.Thắng trong [41]) Chúng tôi định nghĩa quá trình ngẫu nhiên X t Y -giá

7

vμ gọi đó lμ quá trình Ito Y -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên Z Để định

nghĩa được quá trình nμy chúng tôi đã phải xây dựng khái niệm tích phân

ngẫu nhiên của một hμm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị đối với độ đo Z Kết quả quan trọng trong chương nμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức nμy, luận án đã sử

dụng công cụ tích tensor để lμm rõ tác động của một toán tử song tuyến tính

lên một toán tử hạch vμ nghiên cứu biến phân toμn phương của độ đo Z Công

thức biến phân toμn phương nμy viết một cách hình thức có dạng

dZ ⊗ dZ = dQ.

Trong trường hợp Z lμ độ đo Wiener X -giá trị vμ các không gian X, Y lμ

hữu hạn chiều ta thu được công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ quả 2.3.4).Chú ý rằng công thức nμy cũng lμ mới vì cho tới nay người ta mới xéttrường hợp công thức Ito hữu hạn chiều với quá trình Wiener nhiều chiềuvới các thμnh phần độc lập (tức lμ với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo

covariance Q dạng dQ = R dt, trong đó R lμ ma trận đơn vị).

Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đã biết tích phân lμ một loại toán tử tuyến tính đặc biệt vμ rất quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính (tất

định) đã được phát triển thμnh một lý thuyết đồ sộ trong giải tích hμm vμ đã

được áp dụng rất hiệu quả để nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân

vμ phương trình đạo hμm riêng Tương tự như vậy, tích phân ngẫu nhiên lμ một

loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt vμ rất quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vμo Y lμ một phép tương ứng mỗi x ∈ X một biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị

trong Y Phép tương ứng nμy thoả mãn điều kiện tuyến tính vμ liên tục theo

một nghĩa xác suất nμo đó Như vậy khái niệm toán tử ngẫu

8

nhiên lμ một sự mở rộng "ngẫu nhiên" (hay sự ngẫu nhiên hoá) một cách rất tựnhiên của khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên giữacác không gian Hilbert được nghiên cứu hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod

[30] vμ được phát triển bởi Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì lý thuyết về toán tử ngẫu nhiên mới đang ở giai đoạn đầu của sự phát triển vμ còn nhiều vấn đề bỏ ngỏ Nếu như lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định)

đã trở thμnh một lâu đμi đồ sộ, hoμnh tráng trong giải tích, có rất nhiều ứng dụng trong toán học cũng như thực tiễn thì có cơ sở để hy vọng vμ tin tưởng rằng trong tương lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có một hình hμi, vị trí xứng đáng vμ tầm quan trọng lớn lao trong giải tích ngẫu nhiên.

Chương 3 có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach" Trong chương nμy chúng tôi dμnh sự quan tâm cho lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn.

Đó lμ một lớp con của lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhưng lại lμ sự mở rộng rất gần gũi các toán tử tuyến tính tất định Chúng tôi đã thiết lập các điều kiện

để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn Một trong những kết quả chính khá thú vị trong chương nμy lμ chỉ ra rằng nguyên lý bị chặn đều (Định lý Banach- Steinhaus) cho họ các toán tử tuyến tính tất định vẫn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhưng đã không còn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 của luận án) Nếu nhìn tích phân Wiener như một toán tử ngẫu nhiên thì tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich vμ tích phân Skorokhod đều có thể xem như lμ một cố gắng để thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hμm tất định bình phương khả tích lên một lớp nμo đó các hμm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phương khả tích Chúng tôi đưa ra một kiểu thác triển vμ chứng minh được

rằng một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chỉ có nó) mới có thể thác triển miền xác định của nó lên toμn bộ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X

đồng thời bảo toμn các tính chất tuyến tính vμ liên tục của nó (Định lý 3.4.5) Một hệ quả thú vị của định lý nμy lμ: không thể

9

thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hμm tất địnhbình phương khả tích lên tất cả các hμm ngẫu nhiên có quỹ đạo bìnhphương khả tích.

Lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn lμ một lớp đặc biệt của lớp toán tửngẫu nhiên, nó được nghiên cứu trong Chương 3 khá hệ thống Một vấn

đề được đặt ra một cách tự nhiên lμ nghiên cứu các loại toán tử ngẫu nhiêntổng quát hơn Trong quá trình nghiên cứu hoμn thμnh luận án, ngoμinhững kết quả đã công bố, chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vịkhác về toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không nhất thiết bị chặn) Nhưngnhững kết quả đó nói chung khá rời rạc, chưa thμnh một hệ thống hoμnchỉnh vμ mạch lạc nên chúng tôi chỉ mới trình bμy ở những buổi seminarnhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về các nghiên cứu tiếptheo" Trong phần nμy, chúng tôi nêu ra một số vấn đề mμ chúng tôi chưagiải quyết hoμn chỉnh vμ kèm theo một số kết quả đã đạt được Chúngtôi sẽ dμnh những vấn đề đó cho nghiên cứu sau luận án

Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo trong các hội nghị:

1 Hội nghị Khoa học của trường Đông về Xác suất-Thống kê, Vinh (2003),

(2004),

Vμ đã được công bố trong các tạp chí

Anal-ysis World Scientific (2004),

10

Chương 1

Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích

phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều

Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hμm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị trong không gian Banach mμ chúng tôi đề cập đến trong chương 2 có thể xem như lμ sự mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, do đó nó cần sự hỗ trợ từ rất nhiều các kết quả khá trừu tượng trong không gian Banach Mặt khác đây cũng lμ việc mở rộng việc lấy tích phân hμm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô hạn chiều) được xét trong [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích phân cho các hμm ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss Như lμ một sự chuẩn bị, chương nμy nhằm mục đích tóm tắt sơ lược các kiến thức vμ các kết quả liên quan mμ chúng sẽ được sử dụng sau nμy, như lμ: độ đo véc tơ, tích phân đối với độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt chúng tôi trình bμy kỹ về độ đo ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân Wiener vô hạn chiều (tích phân của hμm tất

định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức về toán tử hạch, tích tensor của 2 không gian Banach, hình học trong không gian Banach, độ đo véc tơ Gauss trên không gian Banach sẽ được giới thiệu

11

trong phần phụ lục sau luận án.

Các kiến thức trong phần nμy người đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong

[43] Giả sử T lμ một không gian khác rỗng bất kỳ Họ các tập con Σ của T

được gọi lμ một trường (hay đại số) các tập con của T nếu nó chứa tập rỗng,

đóng đối với phép lấy hợp vμ giao hữu hạn vμ đóng đối với phép lấy phần

bù Σ được gọi lμ một σ-trường (hay σ-đại số) các tập con của T nếu nó lμ

một trường vμ đóng đối với phép lấy hợp vμ giao đếm được vμ phép lấy

phần bù Trong trường hợp nμy cặp (T , Σ) được gọi lμ không gian đo được Cho (T , Σ) vμ (X, B) lμ các không gian đo được Một ánh xạ ξ : T → X

được gọi lμ (Σ, B)-đo được hay đơn giản lμ đo được nếu nghịch ảnh

nhất chứa tất cả các tập mở của X được gọi lμ σ-trường Borel vμ được ký

ξ : T → X lμ (Σ, B(X ))-đo được thì ta còn gọi lμ ξ lμ đo được Borel hay

đơn giản lμ đo được

Cho (T , Σ) lμ một không gian đo được, X lμ một không gian metric Một hμm

ξ : T → X được gọi lμ đơn giản (tương ứng bậc thang) nếu ξ(T ) lμ hữu hạn (tương ứng đếm được) vμ ξ ư1 (x) ∈ Σ với mọi x ∈ X Rõ rμng hμm đơn giản

vμ hμm bậc thang thì đo được ξ : T → X được gọi lμ đo được mạnh nếu nó lμ giới hạn điểm của một dãy hμm đơn giản vμ ξ được gọi lμ đo được yếu nếu với mọi x ∗ ∈ X thì x ∗ (ξ) : T → R lμ hμm đo được mạnh Mệnh đề sau đây

cho ta mối liên hệ giữa đo được, đo được mạnh, đo được yếu

Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ ξ : T → X , những phát biểu sau tương đương

12

1 ξ đo được mạnh.

2 ξ đo được vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều miền giá trị của nó khả lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuy.

3 ξ lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều giới hạn đều của một dãy hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum bậc thang.

4 ξ lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều giới hạn điểm của một dãy hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum đơn giản.

Giả sử (Ω, F) lμ một không gian đo được Một hμm cộng tính đếm được

μ : F → [0, +∞) được gọi lμ độ đo (không âm) trên F (nhiều lúc ta nói μ lμ

độ đo trên (Ω, F), hay đơn giản lμ độ đo trên Ω) μ được gọi lμ độ đo xác suất nếu μ(Ω) = 1, được gọi lμ độ đo hữu hạn nếu μ(Ω) < ∞ vμ được gọi lμ

độ đo σ-hữu hạn nếu Ω có phân hoạch Ω = ∪ ∞ n=1 A n , A n ∈ F, thoả mãn

μ(A n ) < ∞ với mọi n ∈ N.

Nếu μ lμ độ đo trên (Ω, F) thì bộ ba (Ω, F, μ) được gọi lμ một không gian đo Nếu μ lμ độ đo xác suất thì bộ ba (Ω, F, μ) được gọi lμ một

không gian xác suất Độ đo xác suất trên không gian xác suất ta thường kýhiệu lμ P Từ nay trở đi nếu không có gì thay đổi ta sẽ luôn ngầm định

không gian xác suất cơ sở lμ (Ω, F, P).

Giả sử X lμ một không gian Banach Một ánh xạ ξ : Ω → X được gọi lμ biến ngẫu nhiên X -giá trị (hay véc tơ ngẫu nhiên) nếu ξ lμ đo được mạnh (σ-trường trên X lμ B(X )).

Giả sử (ξ n ), ξ lμ các biến ngẫu nhiên X -giá trị ξ n được gọi lμ hội tụ theo xác

hay ξ n → ξ (h.c.c) nếu tồn tại một tập A ∈ F sao cho P(A) = 1 vμ với mọi

13

Hai biến ngẫu nhiên ξ vμ η được gọi lμ bằng nhau h.c.c vμ ký hiệu lμ ξ = η h.c.c nếu P{ξξ = η} = 1 Quan hệ bằng nhau h.c.c trong không gian các biến ngẫu nhiên X -giá trị lμ một quan hệ tương đương, tập các lớp tương đương

được ký hiệu lμ L X0 (Ω, F, P) hay đơn giản lμ L X0 (Ω) L X0 (Ω) lμ một

không gian Frechet với chuẩn Frechet của ξ ∈ L X0 (Ω) được xác định lμ

Ký hiệu L X p (Ω, F, P) (hay L X p (Ω)) (p ≥ 1) lμ tập tất cả các biến ngẫu nhiên

ξ ∈ L X0 (Ω) sao cho ξ(ω) p dP(ω) < ∞, lúc đó L X p (Ω) lμ không gian

Banach với chuẩn lμ

1/p

đối với độ đo véc tơ

Các kiến thức trong phần nμy người đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong[9, 10]

1.2.1 Độ đo véc tơ

Giả sử Σ lμ một trường các tập con của tập T

14

Định nghĩa 1.2.1 Một hμm F từ Σ vμo một không gian Banach X được

gọi lμ độ đo véc tơ cộng tính hữu hạn hay đơn giản lμ độ đo véc tơ

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử F : Σ → X lμ một độ đo véc tơ Biến phân của

F lμ một hμm không âm |F | xác định trên Σ sao cho với mỗi E ∈ Σ thì

Nếu |F |(T ) < ∞ thì F được gọi lμ độ đo với biến phân giới nội

Mệnh đề 1.2.3 Một độ đo véc tơ với biến phân giới nội lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều cộng tính

đếm được khi vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều chỉ khi biến phân của nó lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều cộng tính đếm được

Định lý 1.2.4 (Pettis).

Giả sử Σ lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một σ-trường, trường, F : Σ → X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một độ đo véc tơ cộng tính đếm

được vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều μ lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều độ đo không âm hữu hạn trên Σ Lúc đó F lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều μ-trường, lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục, tức lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều

lim F(E) = 0

μ(E)→0

khi vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều chỉ khi giá trị của F trên những tập có độ đo μ bằng 0 thì bằng 0.

15

Định nghĩa 1.2.5 Một hμm μ-đo được f : T → X được gọi lμ khả tích

Bochner nếu tồn tại một dãy hμm đơn giản (f n) sao cho

n ư

n T

Trong trường hợp nμy, với mọi E ∈ Σ sẽ tồn tại giới hạn lim n E f n dμ, giới

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của hμm khả tích Bochner

Định lý 1.2.6 Một hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum f : Σ → X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều khả tích Bochner nếu vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều chỉ nếu

f dμ < ∞.

1.2.3 Tích phân của một hμm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc

tơ

Giả sử (T , Σ) lμ một không gian đo, F : Σ → X lμ một độ đo véc tơ cộng tính

đếm được với biến phân |F | hữu hạn, do đó theo Mệnh đề 1.2.3 ta nhận

16

được không gian đo hữu hạn (T , Σ, |F |).

Định nghĩa 1.2.7 Một hμm |F |đo được f : T → L(X, Y ) được gọi lμ F

-khả tích nếu tồn tại một dãy hμm đơn giản L(X, Y )-giá trị (f n ) sao cho

n T

với mọi E ∈ Σ thì sẽ tồn tại giới hạn lim n E f n dF vμ giới hạn nμy không phụ thuộc vμo cách chọn dãy đơn giản (f n) (thoả mãn điều kiện (1.3)) Lúc đó

ta đặt giới hạn nμy lμ E f dF

Định lý 1.2.8 Giả sử F : Σ → X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một độ đo véc tơ vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều f : T → L(X, Y ) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều

một hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum |F |-trường, đo được Lúc đó ta có 3 mệnh đề sau đây tương đương.

1 f lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều F khả tích.

2 f lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều |F | khả tích (theo nghĩa Bochner).

3 |f | lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều |F | khả tích.

17

1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của

hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1.

đối xứng X -giá trị nếu

• Độ đo không âm μ trên Σ đ−ợc gọi lμ độ đo điều khiển của F nếu thoả

chúng ta chỉ xét đến độ đo véc tơ ngẫu nhiên đối xứng có độ đo

điều khiển

nếu mỗi dãy (A n) các tập rời nhau của Σ thì

•Một hμm thực f xác định trên T được gọi lμ khả tích đối với F nếu

tồn tại dãy hμm đơn giản (f n) sao cho

Để chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa trên ta cần phải chứng

minh rằng tích phân f dF không phụ thuộc vμo cách chọn dãy xấp xỉ

(f n) Để chứng minh điều nμy ta sử dụng định lý quan trọng sau

Định lý 1.3.2 (Ngẫu nhiên hoá của định lý Vitaly-Hahn-Saks).

Cho (F n ) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một dãy độ đo ngẫu nhiên X -trường, giá trị vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều chúng có cùng một độ

đo điều khiển μ Ngoμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềui ra với mỗi A ∈ Σ thì tồn tại p ư lim F n (A) Khi

đó ta có các khẳng định sau.

1 (F n ) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều μ-trường, lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục đều.

2 Hμm μy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum F : Σ → L X0 (Ω) xác định bởi

F (A) = p ư lim F n (A)

n

lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều độ đo ngẫu nhiên đối xứng X -trường, giá trị với độ đo điều khiển μ.

Nhận xét Hoμn toμn tương tự ta cũng định nghĩa được tích phân của

một hμm đo được X -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên đối xứng thực.

Các tính chất của tích phân loại nμy người đọc có thể tìm xem trong [41]

19

1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss

Một độ đo ngẫu nhiên đối xứng X -giá trị Z được gọi lμ Gauss nếu với mỗi

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử Z lμ độ đo ngẫu nhiên đối xứng Gauss X -giá

trị Hμm tập Q xác định trên Σ được gọi lμ độ đo đặc trưng (độ đo

covariance) của Z nếu Q(A) lμ toán tử covariance của Z(A).

Trước khi đưa ra các tính chất đặc trưng của độ đo Q, ta sẽ lμm

quen với các khái niệm vμ tính chất cơ bản của một loại tích vô hướng của

2 biến ngẫu nhiên thuộc L X2 (Ω), toán tử hạch vμ toán tử covariance

Trong Chương 1 ta đã nêu định nghĩa của không gian hạch N (X, Y ), bây

giờ ta quan tâm đến không gian hạch N (X , X ) Ta nhắc lại rằng toán tử

{ξy n } ∈ X sao cho

gian Banach vμ ta kÝ hiÖu lμ N (X , X ).

T ∈ L(X , X ) ®−îc gäi lμ kh«ng ©m nÕu T a, a ≥ 0 víi mäi a ∈ X vμ

tËp c¸c to¸n tö thuéc L(X , X ) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ L+(X , X ) TËp

3 [ξ, ξ] ∈ L+(X , X ) vμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu [ξ, ξ] nuc ξ L2 2.

4 NÕu X lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒuμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu kh«ng gian Banach lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒuo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C chØ phô

thuéc vμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒuo kh«ng gian X sao cho

ξ 2L2 C [ξ, ξ] nuc ,

víi ξ lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒuμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu biÕn ngÉu nhiªn Gauss.

5 NÕu lim n ξ n = ξ vμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu lim n η n = η trong L2X (Ω) th×

lim[ξ n , η n ] = [ξ, η] trong N (X , X ).

n

21

Ta gọi [ξ, ξ] lμ toán tử covariance của biến ngẫu nhiên X -giá trị ξ ∈ L2 (Ω).

X

Do đó nếu Q lμ độ đo covariance của độ đo ngẫu nhiên Gaussian đối xứng

Q(A) = [Z(A), Z(A)].

Từ Định lý 1.4.2 ta có ngay định lý sau

Định lý 1.4.3 Nếu X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều không gian Banach lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 thì tồn tại một hằng số

C chỉ phụ thuộc vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuo không gian X sao cho với mỗi độ đo ngẫu nhiên

Gauss đối xứng X -trường, giá trị Z ta có

trong đó Q lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều độ đo covariance vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều |Q| lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều biến phân của độ đo véc tơ Q.

Đặt G(X ) lμ tập tất cả các toán tử covariance của biến ngẫu nhiên đối xứng Gauss X -giá trị Theo định lý 1.4.2 thì G(X ) ⊆ N +(X , X ) Hơn

gian loại 2

Định lý 1.4.4 Độ đo đặc trưng Q của độ đo ngẫu nhiên đối xứng Gauss Z có các tính chất sau đây:

2 Q lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều σ-trường, cộng tính trong chuẩn hạch ,

3 Q lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều không âm theo nghĩa : với mọi dãy (A k)n k=1 ∈ Σ vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (a k)n k=1 ∈ X

Ta biết rằng một độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss X -giá trị sẽ xác

định một độ đo đặc trưng nhận giá trị trong tập G(X ) lμ tập con của không gian N (X , X ), ngược lại định lý sau đây cho ta biết điều kiện cần vμ đủ để hμm tập từ Σ vμo G(X ) lμ một độ đo đặc trưng của một

độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị.

Định lý 1.4.5 Cho Q lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum từ Σ vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuo G(X ) ⊆ N (X , X ) Các mệnh

đề sau đây lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều tương đương.

1 Q lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều độ đo đặc trưng của một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng

X -trường, giá trị.

2 Q xác định không âm vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều σ-trường, cộng tính trong chuẩn hạch.

3 Q xác định không âm vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều σ-trường, cộng tính yếu theo nghĩa sau: Với mỗi

a ∈ X vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều mỗi dãy (A n ) các tập rời nhau của Σ thì ta có

Ví dụ 1.4.6 Cho H : T → L+(X , X ) lμ một hμm số trên T với giá trị trên

trên (T , Σ) theo nghĩa sau: với mỗi A ∈ Σ, tồn tại một toán tử H A ∈ L+(X ,

X ) sao cho

A

âm vμ σ-cộng tính yếu nên theo Định lý 1.4.5, tồn tại độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị Z nhận Q lμm độ đo đặc trưng.

Ví dụ 1.4.7 (Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener).

Cho trước một toán tử R ∈ G(X ) Ta xác định hμm H bởi H(t) = R, ∀t ∈

T

23

Rõ rμng H lμ khả tích yếu vμ H A = μ(A)R ∈ G(X ) Do đó theo Ví dụ 1.4.6 tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị W sao cho mỗi

ngẫu nhiên Wiener X -giá trị với tham số (μ, R).

nhiên Gauss đối xứng

Cho Z lμ độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị với độ đo đặc trưng Q Nếu f lμ hμm thực thì tích phân f dZ được gọi lμ tích phân Wiener X -giá trị hay tích phân Wiener vô hạn chiều.

Hệ quả 1.5.2 Giả sử X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều không gian lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 Lúc đó

1 Một hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum f lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều Z-trường, khả tích khi vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều chỉ khi |f |2 lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều Q-trường, khả tích.

2 Ta có bao hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum thức L2(T , Σ, |Q|) ⊂ L X (Z) (L X (Z) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều ký hiệu tập các hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum thực Z-trường, khả tích) Hμm ơn nữa, tồn tại một hằng số K sao cho

với mọi f ∈ L2 (T , Σ, |Q|) vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều |Q| lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều biến phân của độ đo véc tơ Q.

24

1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach

(Ω, F, P) lμ một không gian xác suất Xét lọc F = (F t)t∈R+ lμ một họ

tăng dần các σ-đại số con của F Một quá trình ngẫu nhiên thực X = (X t)t∈R+ được gọi lμ phù hợp với lọc F nếu với mỗi t ∈ R+ thì X t ∈ F t

Quá trình (X t) phù hợp với lọc F được gọi lμ

1 Một submartingale nếu với mỗi t, h ∈ R+ thì

Định lý 1.6.1 (Kolmogorov) Giả sử (X n ) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều submartingalμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềue (giá trị thực),

Tương tự ta định nghĩa martingale với giá trị trong không gian

phù hợp với lọc F được gọi lμ martingale nếu với mỗi t, h ∈ R+ thì

E X t < ∞ vμ E(X t+h |F t ) = X t

25

Nhận xét rằng nếu (X t) lμ martingale nhận giá trị trong không gian

mãn Chú ý rằng nếu X = (X t) lμ quá trình cad-lag (liên tục bên phải vμ cógiới hạn bên trái) thì sups t X t = sups t,s∈Q X t Do đó ta cũng có định lýtương tự như trong trường hợp thực như sau

Định lý 1.6.2 Cho X = (X t ) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một quá trình cad-trường, lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuag martingalμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềue giá trị

trong không gian Banach, λ > 0 vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều p > 1 Ký hiệu X t ∗ = sup s t X s Lúc

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều

vμ công thức Ito

toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss

Đặt S lμ khoảng thực [0, T ], Σ lμ σ-đại số các tập Borel của S Trong suốt luận án nμy, ta luôn giả sử rằng Z lμ một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị trên S với độ đo covariance Q vμ độ đo Q có biến phân

|Q| giới nội Đặt L(X, Y ) lμ không gian các hμm tuyến tính liên tục từ X vμo Y Ta sẽ xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito dạng f ã dZ, với f lμ một hμm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị phù hợp.

Từ độ đo Z ta xác định một họ tăng dần các σ-đại số F t ⊂ F như sau: F t

lμ σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên X -giá trị Z(A) với A ∈ F ∩ [0, t] Giả sử E lμ một không gian Banach nμo đó Đặt M1(S, Z, E) lμ tập các hμm ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f (t, ω) thoả mãn:

được với mỗi t ∈ S.

27

2 E f (t, ω) 2 d|Q|(t) < ∞.

S

Đặt M2(S, Z, E) lμ tập các hμm ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f (t, ω)

sao cho f (t, ω) phù hợp đối với Z vμ P ω : S f (t, ω) 2 d|Q|(t) < ∞ =1

được Trong chương nμy ta chủ yếu nghiên cứu các không gian hμm ngẫu

nhiên L(X, Y )-giá trị, để cho thuận tiện ta ký hiệu M0 := M0(S, Z, L(X,

28

Chứng minh: Để tiện cho việc chứng minh ta ký hiệu lại các không gian

M0, M1, M2 bởi M0(S, F, |Q|, L(X, Y )), M1(S, F, |Q|, L(X, Y )),

M2(S, F, |Q|, L(X, Y )) một cách tương ứng.

Ký hiệu λ lμ độ đo Lebesgue Ta chứng minh bổ đề qua 3 trường hợp:

Trường hợp 1: |Q| = λ thì chứng minh bổ đề hoμn toμn tương tự như trong

trường hợp thực, chú ý lμ trong trường hợp thực thì ta lấy tích phân theo nghĩaLebesgue còn trong chứng minh nμy thì ta lấy tích phân theo nghĩa Bochner

Trường hợp 2: |Q| λ Ta sẽ tìm cách "co giãn" đối với μ để biến nó thμnh độ

đo Lebesgue để đưa bμi toán về trường hợp 1 đã được chứng minh Dùng

phương pháp như trong chứng minh Bổ đề 2.1.7, đặt α(t) = |Q|[0, t], 0

t T Lúc đó α lμ ánh xạ đo được từ (T , Σ) ư→ ([0, α(T )], B([0, α(T )])) vμ

độ đo cảm sinh của μ qua α chính lμ độ đo Lebesgue λ trên đoạn [0, α(T )].

Ta cũng dễ thấy ngay α toμn ánh vμ bảo toμn độ đo giữa 2 không gian:

Bây giờ ta chứng minh α lμ một đơn ánh h.c.c theo nghĩa: với hầu hết

Thật vậy, giả sử x lμ một số sao cho tập {ξ t : α(t) = x } nhiều hơn 1 điểm.

Do α liên tục nên α ư1 (x) lμ một khoảng [a, b] nμo đó trong ⊆ [0, T ] vμ a thực sự nhỏ hơn b.

Ta biết rằng trên đoạn [0, T ] chỉ có thể có đếm được các khoảng rời nhau [a, b] với a < b nên tập các điểm x sao cho α ư1 (x) nhiều hơn 1 điểm lμ đếm được, do

đó chúng có độ đo λ bằng 0 Vì α bảo toμn độ đo nên tập các đoạn [a, b] tương ứng với các điểm x như vậy trên [0, T ] cũng có độ đo μ bằng không.

Nếu {ξ t : α(t) = x } = [a, b] thì ta đặt α ư1 (x) := a.

Vậy α lμ một song ánh (theo nghĩa h.c.c.) vμ bảo toμn độ đo giữa 2 không

29

M0(S, F, |Q|, L(X, Y

M1(S, F, |Q|, L(X, Y

M2(S, F, |Q|, L(X, Y

)) ←→ M0([0, α(T )], G, λ, L(X, Y )) )) ←→ M1([0, α(T )], G, λ, L(X, Y )) )) ←→ M2([0, α(T )], G, λ, L(X, Y ))

hơn nữa phép tương ứng nμy bảo toμn chuẩn giữa các không gian vμ tínhphù hợp (chú ý lμ trong các không gian nμy ta đồng nhất các hμm ngẫunhiên bằng nhau h.c.c.)

Trường hợp 3: |Q| lμ độ đo hữu hạn bất kỳ Rõ rμng |Q| chỉ có nhiều nhất lμ

đếm được các nguyên tử Không lμm mất tính tổng quát giả sử Λ = {ξt1, t2, } lμ

tập hợp các nguyên tử thuộc [0, T ] của độ đo |Q| Với mỗi A ∈ Σ, đặt

30

|Q|(0)(A) = |Q|(A) ư t ∈Λ∩ A |Q|(t) vμ |Q|(1)(A) = t ∈Λ∩ A |Q|(t) Lúc đó

|Q|(0) lμ độ đo λ-liên tục tuyệt đối (không có nguyên tử), |Q|(1) lμ độ đo rời rạc trên Λ vμ |Q| = |Q|(0) + |Q|(1)

Xét f bất kỳ thuộc M1 Vì |Q|(0) λ nên theo chứng minh trường hợp 2 thì tồn tại dãy (g n) ∈ M0 sao cho E S g n ư f 2 d|Q|(0) → 0 Cố định n, với

2 d|Q|(t) → 0 Nghĩa lμ M1 trù mật trong M2 theo chuẩn Frechet

M0 trù mật trong M2, điều phải chứng minh

thay vì viết f (x).

Đối với hμm ngẫu nhiên đơn giản thì ta định nghĩa tích phân một cách

Bổ đề 2.1.2 Giả sử X, Y lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều các không gian Banach lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 Lúc đó tồn tại

một hằng số K > 0 chỉ phụ thuộc vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuo không gian X sao cho với mọi f ∈

M0, N, C > 0 thì những khẳng định sau lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều đúng.

Giả sử f có dạng (2.1) Đặt Z i = Z(A i), Fi = Ft iư1

Vì Y lμ không gian Banach loại 2, nên theo Định lý 1.4.2 Chương 1, tồn tại

Vì Z j lμ biến ngẫu nhiên độc lập với σ-trường F j nên E(Z j |F j ) = EZ j = 0

34

Định lý 2.1.3 Giả sử X, Y lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều các không gian Banach lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 Lúc đó tồn tại

duy nhất một ánh xạ tuyến tính lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục f → S f ã dZ = 0T f (t, ω) ã dZ(t) từ

M1 vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuo L2Y (Ω) sao cho với mỗi hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum ngẫu nhiên đơn giản f ∈ M0 có dạng

(2.1) thì

i=1

35

vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều do đó tồn tại một hằng số C sao cho với mọi f ∈ M1 thì

Định lý 2.1.5 Giả sử X, Y lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều các không gian Banach lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 Lúc đó tồn tại

duy nhất một ánh xạ tuyến tính lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục f → S f ã dZ = 0 T f (t, ω) ã dZ(t)

36

từ M2 vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuo L0Y (Ω) sao cho với mỗi hμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềum ngẫu nhiên đơn giản f ∈ S có dạng (2.1) thì

Bổ đề 2.1.6 Q t lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều quá trình cad-trường, lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuag, hơn nữa Q t sẽ lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục tại những

điểm không phải lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều nguyên tử của |Q|.

Nếu độ đo |Q| không có nguyên tử thì Q t lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều quá trình lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục.

Xét quá trình ngẫu nhiên Z t := Z[0, t].

Bổ đề 2.1.7 Nếu X lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều một không gian lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuoại 2 vμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều |Q| không có nguyên tử thì quá trình ngẫu nhiên Z t có một bản sao lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục.

Từ nay nếu có giả thiết |Q| không có nguyên tử thì ta luôn ngầm coi quá trình ngẫu nhiên Z t lμ quá trình liên tục

Chứng minh: Theo Định lý 1.4.3 thì tồn tại một hằng số C sao cho

Đặt α(t) = |Q|[0, t], 0 ≤ t ≤ T Do 0 ≤ |Q| m vμ |Q| lμ độ đo không âm nên α(t) lμ hμm không giảm vμ liên tục, do đó α lμ ánh xạ đo được từ (T , Σ) ư→ ([0, α(T )], B([0, α(T )])) vμ dễ thấy độ đo cảm sinh của |Q| qua

37

α chính lμ độ đo Lebesgue λ trên đoạn [0, α(T )].

Ta cũng dễ thấy dễ thấy ngay α toμn ánh vμ bảo toμn độ đo giữa 2 không gian:

Theo Mệnh đề 2.8 trong [40] thì quá trình ngẫu nhiên Gauss ξ t có một

bản sao liên tục Không mất tính tổng quát ta giả sử luôn lμ ξ t liên tục

Với mỗi 0 ≤ t ≤ T đặt η t = ξ α(t) thì η t = Z([0, t]) h.c.c Vì α liên tục nên η t

cũng lμ quá trình liên tục Vậy η t lμ bản sao liên tục của Z t Với 0 ≤

t ≤ T , ta định nghĩa 0t f (s) ã dZ(s) = 0T f (s)1 {ξs≤t} ã dZ(s).

Định lý 2.1.8 Giả sử |Q| không có nguyên tử Nếu f ∈ M0 thì quá trình I

(t) = 0t f (s) ã dZ(s) lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều quá trình lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuiên tục.

Hμm ơn nữa tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi C, N > 0 thì các khẳng

định sau lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiềuμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều đúng.

Chứng minh: Vì Z t lμ quá trình liên tục nên dễ thấy ngay I (t) cũng lμ quá

trình liên tục Hơn nữa dễ kiểm tra đ−ợc (I (t)) lμ Martingale đối với (F t), do