CHUYÊN đề hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HAI ẩn

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng cóhiệu quả thiết bị dạy học, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mớiphương pháp dạy và học Toán nói riêng

778

9910111112

1519

2.3 : Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng cách

đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

2.3.1: Phương pháp khai triển – thu gọn

2.3.2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

2.4 : Dạng 4 – Hệ phương trình chứa tham số

Loại 3: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình

Loại 4: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai

Tài liệu tham khảo, các chuyên đề đã viết gần đây 26

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hìnhthành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thếnếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận vớinền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng cóhiệu quả thiết bị dạy học, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mớiphương pháp dạy và học Toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoáhoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và pháttriển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rènluyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vàothực tiễn

Trong chương trình Đại số 9 – Học kỳ II, xác định kiến thức về hệ hai phươngtrình bậc nhất 2 ẩn là một đơn vị kiến thức quan trọng Bởi lẽ:

Thứ nhất: Trên thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy việc giải quyết các dạng

toán hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đối với học sinh lớp 9: Thuần thục khi ởmức độ nhận biết song lại gặp những khó khăn ở mức độ vận dụng

Thứ hai: Đây cũng là những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong

tài liệu của SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm

Thứ ba: Có thể nhận thấy rằng liên thông kiến thức ở các bậc học thường được

xây dựng theo “hình xoắn ốc” Vì vậy cho thấy giải quyết tốt được vấn đề này là cơ

sở để học sinh có nhiều thuận lơi trong việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệphương trình trong chương trình Toán lớp 10

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ

và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất

lượng bộ môn nên nhóm toán trường THCS Trung Kiên đã chọn chuyên đề: “ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”

là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 9, do lười học, không chú ýnghe giảng, ỷ nại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rènluyện, ý thức học tập yếu

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khigặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, khôngbiết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phùhợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt

để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, xác định dạy học theophương pháp mới còn mơ hồ

Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con

em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà

3 Mục đích của đề tài:

Chỉ ra những phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần

nhuyễn các dạng toán “ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”

Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về “ Hệ hai

) 1 (

c y b x a

c by ax

Phương trình (1), (2) là các phương trình bậc nhất hai

- Số nghiệm của hệ (I) là số giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2)

- Toạ độ giao điểm của (1) và (2) nếu có là nghiệm của hệ (I)

* Minh họa

Vị trí

tương

đối

Đường thẳng (1) và(2) song song

Đường thẳng (1) và(2) trùng nhau

Đường thẳng (1) và(2) cắt nhau tại 1 điểm

* Xét dưới dạng đồ thị hàm số bậc nhất (tạm hiểu trong trường hợp có

thể đưa về được hay nói khác đi là các phép biến đổi sau đây đều có nghĩa ) thì:

b

c x b

Đường thẳng (1) và (2) trùng nhau

Hệ phương trình vô sốnghiệm

' ' ' ' '

' ' '

c c b b a a hay

b b c c b b a a b

c b c b a b a

' ' ' ' '

' ' '

c c b b a a hay

b b c c b b a a b

c b c b a b a

+ Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị khi giải quyết vấn đề về nghiệm của

hệ phương trình là thể hiện trực quan sinh động Bên cạnh đó tích hợp được nhiều

kỹ năng đó là kỹ năng vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, họcsinh có điều kiện tiếp cận với cách giải quyết có tính vận dụng cao và tạo được môitrường để phát huy sáng tạo khi cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu hơn

+ Hạn chế: Thực hiện phương pháp đồ thị để giải quyết các bài tập về hệ hai

phương trình bậc nhất hai ẩn, bên cạnh việc chỉ ra số nghiệm, biện luận số nghiệmcủa hệ phương trình là khá nhanh chóng và thuận tiện thì một trong những vấn đềđặt ra là tìm nghiệm (nếu có) của hệ trên thực tế là phức tạp, thiếu tính chính xác và

đặc biệt là khó khăn khi với hệ phương trình có chứa tham số hoặc ngay cả hệ sốđơn giản nhưng hệ lại có nghiệm không nguyên.

Bên cạnh đó khi nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc nhất như cách giải quyết trên đây vẫn còn có nhiều vấn đề tồn tại đó là điều kiện xác định các phép chia trong từng phép biến đổi nêu trên

Dù vậy, sau này chương trình Toán 10 sẽ giải quyết trọn vẹn vấn đề trênthông qua việc thiết lập định thức để đưa ra mối liên hệ giữa các hệ số tương ứngvới từng trường hợp nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1.2.2 Phương pháp thể

*Cách thực hiện

+ Từ một phương trình của hệ đã cho, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia

+ Thế vào phương trình còn lại được phương trình mới chỉ có 1 ẩn

+ Giải phương trình 1 ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

(Tr18 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)

*Nhận xét

Điểm chung trong hai phương pháp 1.2.2 và 1.2.3 trên là nguyên tắc quy từ

việc giải hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn về việc giải phương trình một ẩn dạng:

Ax+B = 0 (hoặc Ay+B =0) (3) Ở đây, số nghiệm phương trình (3) quyết định số

nghiệm của hệ (I)

+ Nếu A≠0  pt (3) có nghiệm duy nhất  Hệ (I) có nghiệm duy nhất

+ Nếu A=0; B=0  pt (3) vô số nghiệm  Hệ (I) vô số nghiệm

+ Nếu A=0; B≠0  pt (3) vô nghiệm  Hệ (I) vô nghiệm

Trên cơ sở này, nó sẽ giúp giải quyết tốt các bài tập về hệ phương trình (I)

+ Xác định số nghiệm của hệ

+ Tìm nghiệm của hệ - giải hệ.

+ Giải và biện luận số nghiệm của hệ theo tham số

+ Các bài toán về nghiệm của hệ

Đây chính là ưu điểm hơn hẳn nếu nói về phương pháp vận dụng để giảiquyết các bài tập về nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong 3 phươngpháp đã nêu ở trên

2 GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

2.1 Dạng 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình

Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau đây có bao nhiêu nghiệm?

PP

Cộng

đại số

4 0 0

2 2 4

2 2 4 2 2 4 1 2

y x y x y x y x

(vô nghiệm)

0 0 0

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

y x y x y x x

2

y x y x

=> 3x = -1(nghiệm duy nhất)

) 1 ( 1 2

y x y x

) 1 ( 1

y x y x

Từ (1) <=> y =x-1 thế vào (2) ta có:

-2x+2(x-1)=-2

<=>0x=0 (vô số nghiệm)

) 1 ( 2

y x y x

Từ (1) <=> x=y+2thế vào (2) ta có: 2(y+2) +y = -3

<=> 3y = -7(nghiệm duy nhất)

y x

y x

) 1 ( 4 2

y x y x

) 1 ( 1

y x y x

(vô số nghiệm)

c) Từ (1) <=>x=y+1(1’)

Thay vào (2) ta có:

-2(y+1) +2y=2 <=> 0y = 4

1

1 2

4 3

y x

y x

, 1 5 , 2

1 25 , 0 5 , 0

y x

y x

1 3

1

1 2

1 3

2

y x

y x

(Gợi ý biến đổi tương đương đưa về hệ pt có hệ số nguyên rồi tiến hành giải )

) 1 ( 4 8

3

y x y x

10

) 1 ( 4 2

y x y x

4

) 1 ( 6 3

4

y x

y x

PP thế

(2)<=> x= 2y-4 (2’)thế (2’) vào (1) ta có: 3(2y-4)-8y=4

<=>-2y=16<=>y=-8Thay vào (2’) ta có

x=-20

(1) <=> y = 4-2x (1’)

Thế (1’) vào (2) ta có:

10x+5(4-2x)=20 <=>0x=0 (vô số nghiệm)

(2) <=> y=1234x(2’) Thay (2’ vào (1)

ta có: -4x-3.1234x

=6 <=>0x =18 (vn)

20 20

4

22016 8

4 8 43

4 2 4 8 3

y y x y x y

x y x x y x

x y y x y x y x y x x y x

2 4 4 2 4 2 0 0 0 4 2 4 2 20 5 10 4 2

12 3 4 12 3 4

6 3 4

vl y

x y x y x y x

KL

Vậy hệ phươngtrình

có nghiệm duy nhất (x=-20;y=-8)

Bài 4 Giải hệ phương trình sau

) 1 ( 2 2 3

5

y x

) 1 ( 3 5 2 3 ) 3 2 (

y x

y x

Phương

pháp thế

3 5 2 2 )

1 ( y  x (1’)

Thế (1’) vào (2) có:

) 3 5 2 2 ( 2

3 5 2 ) 4 3 2 4 ( 3 ) 3 2

2 2 3 5 6 6 6 2 2 6

4 2 6 5

y

y x y

x y x

2 4 4

3 14 ) 3 14 (

3 6 12 3 12

3 5 2 3 ) 3 2 (

y x y

x x y x

y x

KL

Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất (x= 1/ 6 ;

2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn

Bài 5: Giải các hệ phương trình

2 ) (

3

0 3

) 2 ( 2

y x y

x

y x y x

4 3 1 3 2

y x

y x y x

) 1 ( 0

y x y x

) 1 ( 4 15

5

y x

y x

ĐK: x≠y

PP thế

(1) <=> y = x (1’) thay (1’)vào (2) có : 6x =6 <=>

(x = 1; y = 1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x = 13/40; y = -3/8)

5 3 2

y x

y x

5 3

2

v u

v u

.Giải hệ pt này ta được

u y

1

; 2 1

3

3 2 6

v u v u

.Giải hệ ta được

9 7 2

y x

y x

Giải hệ trên ta được

2 2

v u v u

.Giải hệ pt ta được(u=2;v=0)-thoả mãn ĐK.Suy ra 

y x

.Giải hệ trên ta có(x=1;y=-1)Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất(x=1;y=-1)

2.4 Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số

Loại 1, Loại 2: Đã có trong bài giảng minh họa

Loại 3: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình

Bài 7 Giải và biện luận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau theo tham số

) 1 ( 1 2

y mx

x

m(1) - 10 4y mx

* Sơ lược cách giải

a) Ta có (1) <=> x=1 my2 (1’)

Thay (1’) vào (2) ta có:

b) Ta có (2) <=> x = 4-my (2’)Thay (2’) vào (1) ta có:

) 3 ( 2 ) 2

)(

2

(

2 )

4

(

2 4 1

m m

m y

m

y y m m y

)

*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vô

nghiệm)

 Hệ phương trình vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2 thì pt (3) có nghiệm duy

yÎR)

*) Nếu m = -2, pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm) => Hệ pt vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2 thì pt (3) có nghiệm duynhất y = m

 2

5

Thay vào (2’) có x= m m



 2 8

1

, y = m

 2

Nghiệm TQ: (x=4-my; yÎR)

*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x= m m



 2

8

,y = m

 2

5

)

(Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên, bắt buộc phải nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót nếu như không phân trường hợp m=0 hay m≠0.)

Loại 4: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Thường là gặp những bài toán này, học sinh phải thực hiện được 3 bước cơbản sau đây:

- Hệ phương trình có nghiệm khi nào?

- Khi ấy nghiệm là gì?

- Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà bài toán đặt ra?

Bài 8: Cho hệ phương trình: 

y mx my x

Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) duynhất thoả mãn (x>0;y<0)

) 1 ( 2

y mx my x

*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m (2-my)-2y=1

=> (m2+2)y = 2m-1 (3)

Do m2+2> 0 "m => (3) luôn có nghiệm duy nhất

 hệ luôn có nghiệm (x,y) duy nhất

*) Khi đó y =

2

1 2

*) Để (x>0;y<0) thì : 2

1 4 2 1 4 0 2 0 0 2 0 4

Vậy với  4 m12 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn(x>0;y<0)

Bài 9: Cho hệ phương trình: 

1 2

y m x

m my mx

Tìm m để hệ có nghiệm (x, y)duy nhất thoả mãn điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất

) 1 ( 1 2

y m x

m my mx

*) Từ (2) <=> x = 2 – (m+1)y (2’)

Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)

Hệ có nghiệm duy nhất <=> pt(3) có nghiệm duy nhất <=> m≠0 và m≠1 (*)

*) Khi đó, (3) => y = m1 thay vào (2’) ta có x = m 1 m

*) Điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi (x>0, y>0)

<=> 1

0 1 0

0 0

m

m

m

m

Vậy với m>1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện điểm

M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất

Bài 10 : Tìm giá trị của tham số m để cho hệ phương trình 

2

my x y mx

cónghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-

3

2 2



m m

) 1 ( 2

my x y mx



m

m

<=> m = 74 Vậy với m = 74 thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-

3

2 2



m m

Bài 11: Cho hệ phương trình x (a 1 )y  2

a) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a

b) Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất, lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với a Từ

đó chứng tỏ M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định

c) Tìm giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x, y nguyên

d) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình(x a(1)a x y a1) y 2(2)1(1)

a) Từ (1) => y= (a+1).x- (a +1) Thay vào (2) ta có: a2.x= a2+1 (3)

+) a = 0 hệ phương trình vô nghiệm

b) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x= 2 2 1

a

a  ; y= 2 2 1

a

a  )

=> x- y = 0 hay y =x (hệ thức độc lập với a)

=> Khi hệ có nghiệm (x; y) duy nhất thì điểm M(x; y) nằm trên đường thẳng y =x

Khi đó nếu a nguyên, để x, y nguyên thì a2+1 chia hết cho a2

=> 1 chia hết cho a2 => a2 = 1 => a = ±1 (thoả mãn a≠0).

Vậy: a = ±1 thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x, y nguyên

d) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x= 2 2 1

7 ) 4

1 1 ( 2 2 1 1

2 2

a a

a a y

x

Dấu “=” xảy ra khi a = - 4 (thoả mãn a ≠ 0)

=> Min(x+y) = 87 khi a = - 4

C BÀI GIẢNG MINH HỌA

I Hoạt động khởi động:

1 Mục đích

- Tạo sự tò mò gây hứng thú cho học sinh

- Hình dung được những đối tượng sẽ nghiên cứu áp dụng các dạng toán về hệphương trình

2 Nội dung

- Giáo viên kiểm tra các kiến thức cơ bản về hệ phương trình

3 Cách thức

GV: Chiếu câu hỏi HS quan sát và trả lời câu hỏi

GV: Hỏi HS, đưa ra bảng kiến thức về hệ phương trình

HS nêu câu trả lời.

Câu hỏi 1: Hệ phương trình 2x -y = -m -4x + 2y = 4

Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’ Î R: a, b; a’, b’ không đồng thời bằng 0

Em hãy nối cột A với cột B để được khẳng định đúng

a) Hệ (I) vô nghiệm khi ?

b) Hệ (I) vô số nghiệm khi ?

c) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi ?

II Hoạt động luyện tập:

LUYỆN TẬP MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Đặt vấn đề: Trong chương trình toán lớp 9, đặc biệt trong các đề thi vào THPT rất hay gặp loại toán về hệ phương trình chứa tham số Bài học hôm nay sẽ nêu phương pháp và cách giải cụ thể với một số loại toán của hệ phương trình chứa tham số.

1 Mục tiêu

- Thành thạo việc giải hệ phương trình với giá trị của tham số cho trước

- Xác định giá trị nguyên của tham số để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm

a Giải hệ phương trình với m = 5

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + 1

Cách 2:

Thay m = 5 ta có:

Vậy với m = 5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

b Hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả mãn:

x = 3y + 1  m = 3(m + 1) +1  m = 3m + 4  m = - 2

Vậy với m = -2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y)

thoả mãn x = 3y + 1

Khai thác thêm bài toán trên:

* Sau khi đã tìm được x, y theo m bằng vốn kiến thức đã có các em có thểgiải các loại bài tập sau:

Loại 1: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn một trong các điều kiện ( K) sau:

ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x 2 +2.y đạt giá trị nhỏ nhất; x,y là các số nguyên; ; ….

* Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m

Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K

Bước 3: Giải điều kiện K tìm m

Bước 4: Trả lời yêu cầu bài toán

Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm (x, y) sao cho

K = x2 + 2.y có giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó ?