(SKKN 2022) giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp 9 trường THCS ái thượng, huyện bá thước, tỉnh thanh hóa

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN BÁ THƯỚCSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁI THƯ

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁI THƯỢNG,

HUYỆN BÁ THƯỚC, TỈNH THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Văn Cảnh Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THCS Ái Thượng SKKN thuộc môn: Toán

Ái Thượng, năm 2022

Mục Nội dung Trang

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) 02

2.2 Trực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 032.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 05

2.3.2 Một số bài tập - dạng toán liên quan đến hệ phương trìnhbậc nhất 2 ẩn 12

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Cùng với kiến thức của các môn học khác, những kiến thức Toán học phổthông nói chung và những kiến thức Toán 9 nói riêng có vai trò rất cần thiết đốivới học sinh trong cuộc sống, cụ thể như: việc đo lường, tính toán các bài toánthực tế; phục vụ việc học nghề, học các môn học khác, học các cấp học caohơn.v.v

Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 9 một số năm học tại Trường THCS

Ái Thượng tôi nhận thấy kết quả học tập môn toán chưa cao, còn nhiều học sinh

có điểm toán xếp loại yếu và kém Qua tìm hiểu, tôi thấy trong quá trình học tậpthấy đa số học sinh hổng kiến thức và chưa có sự hứng thú, chưa có được nhữngniềm vui trong học tập bộ môn Toán

Kiến thức về phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán củabậc phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng của tư duy và suyluận cũng như giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trìnhtoán học, vật lý, hóa học, sinh học của bậc học này và các cấp học sau

Trong chương trình toán học của bậc phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học sinh

đã được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cácphương pháp giải, các bài toán áp dụng

Với thực trạng ấy, yêu cầu đặt ra với giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 9 làphải làm thế nào, phải tổ chức, hướng dẫn học sinh học tập ra sao để tạo được chohọc sinh có một kiến thức căn bản nhất về toán học thông qua bài học giải hệphương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó tạo cho các em có sự hứng thú, yêu thích họctập bộ môn Toán và đặc biệt là phát huy được tính tích cực cho các em học sinhtrong quá trình học tập môn Toán 9, nhất là với đối tượng học sinh yếu kém, giúpcác em học tập bộ môn đạt được kết quả cao hơn Mục đích cuối cùng cũng là đểnâng cao được chất lượng dạy - học nói chung

Với bản thân mỗi giáo viên việc tự học, tự bồi dưỡng, tự nghiên cứu, họchỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi về phương pháp dạy học v.v là hết sức cầnthiết để nâng cao dần chất lượng mỗi giờ dạy và kết quả giảng dạy môn Toán 9

Từ những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp

9 trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa” để giúp học

sinh trường THCS Ái Thượng có kết quả học tập tốt hơn trong việc học tập, lĩnhhội, chiếm lĩnh kiến thức Toán học, giúp các em học sinh cuối cấp có nền tảngvững vàng chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10 Đề tài, giúp bản thân và đồng nghiệpđược trao đổi kinh nghiệm, phương pháp

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Tôi viết đề tài này với mục đích:

- Giúp học sinh lớp 9 trường THCS Ái Thượng hình thành những kỹ nănggiải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Giúp giáo viên THCS Ái Thượng nói riêng, giáo viên THCS nói chung cóthêm nguồn tài liệu tham khảo khi dạy bài giải hệ phương trình bằng phương phápcộng đại số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phươngpháp cộng đại số cho học sinh lớp 9 trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước,tỉnh Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

* Về lí thuyết:

- Tham khảo các tài liệu tin cậy, các công trình nghiên cứu của các tác giả

có uy tín, sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp

- Sử dụng các phương pháp khoa học như: khảo sát, thống kê, phân tích sốliệu, so sánh đối chiếu, tổng h ợp…để nhận thức, triển khai và đánh giá vấn đềnghiên cứu

* Về thực tiễn:

- Dự giờ đồng nghiệp, góp ý, thảo luận với tổ chuyên môn.

- Thực nghiệm sư phạm: Áp dụng đề tài ở mỗi năm học chọn ra các lớpthực nghiệm và lớp đối chứng để có cơ sở so sánh, đối chiếu Qua đó, kiểm chứngcác biện pháp đã nêu ra trong đề tài, đưa ra những kết luận khoa học và khẳngđịnh tính khả thi của đề tài

- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh

- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong sách giáo khoa Đại số 9, tập II, nhà xuất bản giáo dục năm 2011 đã nêuđịnh nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, và cách giải hệ phương trình bậc nhấthai ẩn như sau:

2.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình tương đương.

Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’  R: a, b; a’, b’ không đồng thời bằng 0

b Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0; y0) thỏa mãn:

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của hệ phương trình đó

c Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm Dùng kí hiệu “ ” để chỉ hai hệ phương trình tương đương

2.1.2 Quy tắc giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ta đã biết, muốn giải một hệ phương trình hai ẩn, ta tìm cách quy về việcgiải phương trình một ẩn Mục đích đó cũng có thể đạt được bằng cánh áp dụngquy tắc sau, gọi là quy tắc cộng đại số

a Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

Bước 1 (khử một ẩn): Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ

phương trình đã cho để được một phương trình mới

Bước 2 (Tìm tập nghiệm của hệ): Dùng phương trình mới ấy thay thế một

trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

b Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1 (khử một ẩn): Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích

hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệbằng nhau hoặc đối nhau

Bước 2 (thực hiện phương pháp cộng đại số): Áp dụng quy tắc cộng đại số

để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của mộttrong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)

Bước 3 Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

- Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em đượclĩnh hội nhiều kiến thức Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trongsuốt quá trình học tập là phương trình, rồi đến hệ phương trình Ngay từ nhữngngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải phương trình đơn giản dướidạng điền số thích hợp, tìm x … Đến lớp 8, lớp 9 các đề toán trong chương trìnhđại số về phương trình rồi đến hệ phương trình Các em căn cứ vào các phươngpháp đã học để giải phương trình, hệ phương trình Kết quả tìm được không chỉphụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình mà các em còn phảibiết áp dụng vào các dạng toán khác trong chương trình toán THCS Đó là dạng

toán “Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số”

Dạng toán này không phải là dạng khó, nhưng đòi hỏi học sinh phải có cáckiến thức về số học, đại số để liên hệ được vào các môn học khác như hình học,vật lí, hóa học và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho vớithực tiễn đời sống Nhưng thực tế cho thấy phần nhiều học sinh tại trường THCS

Ái Thượng cũng như học sinh huyện Bá Thước không đáp ứng được những khảnăng trên nên không giải được các dạng của bài toán áp dụng hệ phương trình Từnhững lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này Mặt khác, cũng có thể

trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho họcsinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loạitoán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng

2.2.2 Thực trạng ở trường THCS Ái Thượng

* Về phía học sinh:

- Do dịch bệnh nguy hiểm và kéo dài nên việc đến trường của các emthường xuyên bị dán đoạn nên ảnh hưởng rất nhiều đến hứng thú học tập của họcsinh

- Việc giải các bài toán về hệ phương trình đối với học sinh THCS ÁiThượng là một việc làm mới mẻ và khó khăn cho giáo viên Đề bài cho khôngphải là những phương trình, hệ phương trình đơn giản bằng các phương phápthông thường mà đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học

để có được các cách biến đổi hợp lý đối với từng hệ phương trình đã cho, điều nàyđánh giá được trình độ kiến thức của học sinh

- Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, mối liên hệ giữa các dữliệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăntrong vấn đề giải loại toán này Đối với việc giải hệ phương trình các em mớiđược học nên chưa quen với dạng toán về hệ phương trình Xuất phát từ thực tế

đó nên kết quả học tập của các em chưa cao Nhiều em nắm được lý thuyết rấtchắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được Do vậy việchướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các

em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạohứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập

- Do điều kiện kinh tế và hoàn cảnh gia đình của các em cũng còn nhiềuhạn chế, như không được sự quan tâm chăm sóc của bố, mẹ bên cạnh đó có nhiềuhọc sinh còn mồ côi cả cha lẫn mẹ

- Do sự lôi kéo từ các tệ nạn xã hội (đặc biệt là điện thoại thông minh do bố

mẹ đi làm ăn xa nên mua cho các em để liên lạc) dẫn đến các em ham chơi gamekhông quan tâm đến việc học tập của mình

*Về phía giáo viên:

- Do tình hình dịch bệnh nguy hiểm và kéo dài nên giáo viên không thường

xuyên trực tiếp dạy và kiểm tra các em một cách chi tiết mà hướng dẫn các em

học và làm bài tập ở nhà

- Giáo viên một phần chưa tâm quan tâm đến tâm lý lứa tuổi của học sinh,chưa đánh giá được năng lực học sinh để phân lượng kiến thức cho từng bài học ,cũng như chưa sử dụng phương pháp hợp lý cho từng đối tượng học sinh mà chủyếu phần khi đứng lớp do nhiều yếu tố khách quan nên dạy học theo tinh thần chủquan, lối mòn kiến thức hàn lâm chưa phát hiện được những tinh hoa của bàigiảng, hoặc chưa mạnh dạn trải nghiệm những hiểu biết của mình trong bàigiảng…

Từ thực trạng trên, năm học 2021 - 2022 trước khi vào giảng dạy bài “Giải

hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số tôi đã khảo sát học sinh ở hai lớp9A và 9B, với bài làm thời gian 45 phút như sau:

Giải các hệ phương trình sau:

K t qu kh o sát ết quả khảo sát ả khảo sát ả khảo sát.

Sỹ số 9-10 7-9 Điểm số5-7 Dưới 5 Đối tượng

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Khi thực hiện đề tài sau khi tóm tắt nội dung kiến thức cơ bản tôi đã chia nhỏlượng kiến thức bài học dưới các dạng toán - bài toán nhỏ khác nhau, mỗi dạngtôi đều thực hiện theo các bước:

Bước 1 Lấy ví dụ minh hoạ cho dạng toán – bài toán

Bước 2 Cho học sinh nhận dạng bài toán, sau đó hướng dẫn giải chi tiết cuốicùng nhận xét, và chỉ ra những lỗi học sinh thường gặp phải từ đó chỉ ra những ưuđiểm và nhược điểm (nếu cần) của mỗi cách giải bài toán

Bước 3 Bài tập luyện tập

Bước 4 Bài tập tự giải – Phần bài tập này học sinh tự trình bày nhằm rènluyện kỹ năng thực hiện giải quyết bài toán

2.3.1 Các dạng toán cơ bản thường gặp:

Sau khi giới thiệu xong phần kiến thức cơ bản của phương pháp “giải hệphương trình bằng phương pháp cộng đại” số tôi chia kiến thức bài giảng thànhnhững dạng toán cơ bản sau, cụ thể:

Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình

Ở dạng toán này giúp học sinh khi xem xong hệ phương trình thì nhận diệnđược hệ phương trình vô nghiệm hay vô số nghiệm hay chỉ có nghiệm duy nhất

mà không cần phải sử dụng đến giải hệ phương trình hay vẽ hình học, bằng cách

sử dụng các tỷ lệ thức đã được học (nội dung phần 2.3.1.c)

Ví dụ 1: Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau:

Giáo viên gợi ý:

- Cho học sinh liệt kê các hệ số của x; y là: a; a’; b; b’; c; c’

c) Ta có 2 1

1 3 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Sau khi học sinh đã được làm ví dụ giáo viên nhắc lại kiến thức một lần nữa vàyêu cầu học sinh làm các bài tập:

Bài tập tự giải: Yêu cầu học sinh giải các bài tập SGK vào vở, sau đó có kiểm

tra và đánh giá vở bài tập của các em

Các bài tập 8, 9, 10 SGK toán 9 tập 2 trang 12/ NXBGDVN năm 2011Khi các em nhận diện được số nghiệm của hệ phương trình, bước tiếp theo

sẽ hướng dẫn các em giải từng dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằngphương pháp cộng đại số, cụ thể:

Dạng 2: Giải hệ phương trình có hệ số một ẩn của hai phương trình bằng nhau.

Cách thức thực hiện:

- Cho học sinh nhận xét hệ số của ẩn ở cả hai phương trình

- Cho học sinh thực hiện phép tính trừ vế với vế của hai phương trình (khử ẩn)

- Giải hệ phương trình

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 1 (1)

2 (2)

x y I

- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm

- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?

Giải quyết vấn đề:

- Học sinh phát hiện được hệ số của y ở cả hai phương trình là bằng nhau

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Để giải được hệ phương trình trên ta lấy vế trừ vế phương trình (1) cho phươngtrình (2)

Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)

Tương tự các em giải hệ (I”)

Nhận xét: Ở hệ phương trình trên ta thấy hệ số của y ở cả hai phương trình là

bằng nhau nên ta thực hiện phép toán lấy vế trừ vế ta được phương trình thứ (3),sau đó thay phương trình (3) vào một trong hai phương trình và giải hệ phươngtrình mới (chỉ cần giải một hệ phương trình (I’) hoặc hệ (I”) ) ta được nghiệm của

hệ phương trình đã cho Ngoài ra các em có thể thực hiện lấy vế trừ vế phươngtrình (2) cho phương trình (1), nhưng tại sao ta lại thực hiện cách giải thứ nhất vì

hệ số của x ở phương trình (1) lớn hơn ở phương trình (2)

Cách khác, sau khi thực hiện bước 1 (khử ẩn) ta được phương trình (3).Giải phương trình (3) tìm được giá trị của x, rồi thay giá trị của x vào phươngtrình (1) hoặc phương trình (2) ta tìm được giá trị của y Cặp giá trị (x; y) tìmđược là nghiệm của hệ phương trình

Cụ thể ta thực hiện như sau:

Bước 1: (Khử ẩn) Lấy vế trừ vế hai phương trình của hệ (I) ta được:

(2x - y) + (x + y) = 3 hay 3x = 3 (3)

Bước 2: giải phương trình (3): 3x = 3  x = 1

Bước 3: thay x = 1 vào phương trình (2), ta được: 1 + y = 2 y = 1

Bước 4: Kết luận

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)

Qua 2 cách thực hiện bài toán trên, đến đây phụ thuộc vào năng lực tư duy củahọc sinh mà các em thực hiện một trong hai cách để giải toán đều được chấpnhận

Để hình thành kỹ năng giải toán tôi yêu cầu học sinh giải các bài tập sau, cónhận xét đánh giá và sửa lỗi bài làm cho các em

Bài tập luyện tập: Giải các hệ phương trình sau:

- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm

- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?

Giải quyết vấn đề:

- Học sinh phát hiện được hệ số của y ở cả hai phương trình là đối nhau

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Để giải được hệ phương trình trên ta lấy vế cộng vế phương trình (1) với phươngtrình (2)

Cụ thể:

Bước 1(khử ẩn): Vì hệ số của y trong hai phương trình là đối nhau, nên ta không

cần phải nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp nữa mà ta sẽcộng ngay từng vế của hai phương trình để khử ẩn y.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3;-3)

Để hình thành kỹ năng giải toán tôi yêu cầu học sinh giải các bài tập sau, cónhận xét đánh giá và sửa lỗi bài làm cho các em

Bài tập luyện tập: Giải các hệ phương trình sau:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) 3 2 8 (1)

2 3 1 (2)

x y III

- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?

- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?

Giải quyết vấn đề:

- Học sinh phát hiện được hệ số của x, y ở cả hai phương trình là không bằngnhau

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Vì hệ số của x, y trong hai phương trình là không bằng nhau, nên ta cần phảinhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để khử ẩn x hoặc ẩn y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1)

Sau khi học sinh giải xong bài toán, giáo viên cho các em cũng giải hệphương trình trên nhưng bằng cách thực hiện như sau để rèn luyện kỹ năng cho

a Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3

b Nhân hai vế phương trình (1) với - 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3

c Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với -3

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) 3 2 7

2 3 3

x y IV

- Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?

- Em giải hệ phương trình trên như thế nào?

Giải quyết vấn đề:

- Học sinh phát hiện được hệ số của x, y ở cả hai phương trình là không bằngnhau

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Vì hệ số của x, y trong hai phương trình là không bằng nhau, nên ta cần phảinhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để khử ẩn x hoặc ẩn y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 1) 

Sau khi học sinh giải xong bài toán, giáo viên cho các em cũng giải hệphương trình trên nhưng bằng cách thực hiện như sau để rèn luyện kỹ năng chocác em:

Bài tập luyện tập:

1.Giải hệ phương trình ( ) 3 2 7 (1)

2 3 3 (2)

x y IV

a Nhân hai vế phương trình (1) với 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3

b Nhân hai vế phương trình (1) với - 2 và nhân hai vế phương trình (2) với 3

c Nhân hai vế phương trình (1) với 3 và nhân hai vế phương trình (2) với -2

d Nhân hai vế phương trình (1) với -3 và nhân hai vế phương trình (2) với 2

4 2

3

y x y x

; c)

Dạng 5: Một số hệ phương trình có thể biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Sau khi các em đã cơ bản giải được hệ hai phương trình hai ẩn bằngphương pháp cộng giáo viên giới thiệu thêm những bài toán đưa về hệ hai phươngtrình hai ẩn cơ bản

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau ( ) 5 x + 3 ( x - y ) = 2

- Hệ đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nhưng chưa phải là dạng



 



8x - 3y = 2 -x - 3y = 1



 

Đến đây hệ trở về hệ phương trình cơ bản và học sinh tự giải tiếp

Theo các em hệ phương trình trên được giải như thế nào?

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải hệ phương trình này:

- Bước 1: Phải khử mẫu số ở mỗi phương trình

- Bước 2: Đưa hệ phương trình đã cho về dạng hệ phương trình cơ bản

- Bước 3: Giải hệ phương trình cơ bản và kết luận nghiệm của hệ phươngtrình