SKKN vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚCTRƯỜNG THPT XUÂN HÒA BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THU THÙY

Mã sáng kiến : 37.52.04

VĨNH PHÚC, 2020

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo ra một nguồn nhân lực có trình

độ cao để phục vụ đất nước nên các kiến thức học của học sinh ở nhà trường cầnđược gắn liền với thực tế cuộc sống Chính vì vậy, Bộ Giáo Dục và Đào tạođang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánhgiá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực của học sinhtrên tinh thần Nghị quyết 29 – NQ/TƯ về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục vàđào tạo Dạy học theo đinh hướng phát triển năng lực học sinh, đòi hỏi phải tăngcường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn

Trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rènluyện cho học sinh vận dụng kiến thức toán học ở trong nội bộ môn toán là chủyếu còn việc vận dụng kiến thức toán học vào đời sống thực tiễn chưa được chú

ý đúng mức và thường xuyên Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp vớiđời sống lao động sản xuất được trình bày một cách hạn chế trong chương trìnhtoán phổ thông

Nhằm giúp học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán, tôi chọn đề tài : “

Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế ” cho

học sinh lớp 10 Trường THPT Xuân Hòa

Với đề tài này tôi hy vọng phần nào giúp cho học sinh thấy toán học córất nhiều ứng dụng trong cuộc sống xung quanh ta, cũng như các môn khác để từ

đó học sinh lĩnh hội, khắc sâu tri thức một cách dễ dàng hơn

2 Tên sáng kiến: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thu Thùy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa

- Số điện thoại: 0976442776

- Email: thuthuysp2k14@gmail.com

4 Chủ đầu tư tao ra sáng kiến: Nguyễn Thu Thùy.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Đề tài: “ Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế

” Trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ năng biết vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn toán lớp 10 – Trung học phổ thông Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào trong dạy học toán Góp phần nâng cao tính thực tế,chất lượng dạy học môn toán ở trường Trung học phổ thông

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

+Trong giảng dạy chính khóa: tháng 01/ 2020 lớp 10A2, 10A7 trường THPTXuân Hòa

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

Kiến thức cơ bản của bài học này không nhiều Đối với học sinh, việc giải

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là không khó Các em chỉ cần biết cách dựng

đường thẳng ax+ by+c =0 và xác định dấu của mỗi miền theo hướng dẫn trong

sách giáo khoa là giải được Tuy nhiên, học sinh chưa biết cách khai thác kiếnthức cơ bản của bài học để vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng của nó Vìvậy khi gặp bài toán kinh tế các em gặp khó khăn trong việc tìm ra cách giải

Đứng trước một bài toán kinh tế học sinh thường lúng túng không biết

hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán kinh tế, giáo viên cần tạo cho họcsinh thói quen xem xét bài toán dưới cách đặt biến và từ đó tìm ra mối quan hệràng buộc các biến Sau đây là nội dung chi tiết.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm củabất phương trình  1 được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểudiễn miền nghiệm) của bất phương trình ax by c  như sau (tương tự cho bấtphương trình ax by c  )

Bước 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax by c  .

Bước 2 Lấy một điểm M x y0 0 ; 0 không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa

Miền nghiệm của bất phương trình ax0 by0 c bỏ đi đường thẳng

ax by c  là miền nghiệm của bất phương trình ax0 by0 c.

III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

 Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậcnhất hai ẩn x y, mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng Mỗi nghiệm chung

đĩ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta cĩ thể biểu diễn hình học tậpnghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

 Cách giải

- Với mỗi bất phương trình của hệ, ta xác định miền nghiệm của chúng

trên cùng một hệ trục toạ độ

- Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ đã cho.

IV ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN KINH TẾ

Giải một số bài tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng Loại bài tốn này được nghiên cứu trong một ngành tốn học cĩ tên gọi là Quy hoạch tuyến tính

B BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài tốn liên bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1 Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x y 3

Lời giải

Vẽ đường thẳng : 2x y 3.

Lấy gốc tọa độ O0;0 , ta thấy O   và

có 2.0 0 3  nên nửa mặt phẳng bờ 

chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của

bất phương trình đã cho (miền không bị

tô đậm trong hình)

Ví dụ 2 Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 3x y  2 0

Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d : 3 x y  2 0.

Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d không chứa điểm 0 ; 0 

Ví dụ 3 Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

3 2(2 5) 2(1 )

x  y   x

Lời giải

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành

3x 4y 11 0 

Ta vẽ đường thẳng  d : 3x4y11 0.

Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d ) không chứađiểm 0 ; 0 

Ví dụ 4 Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

1  3 x 1  3 y 2

Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d : 1  3 x 1  3 y 2.

Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d không chứa điểm 0 ; 0 

Dạng 2: Các bài toán liên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 5 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

4 0 0

x y

x y x y

: 3 6

: 0 : 0

Ví dụ 6 Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình

 d2 :x 2y 3

 d3 :x y  2

Ta thấy 1 ; 0 là nghiệm của cả ba bất phương trình Điều đó có nghĩađiểm 1 ; 0 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình Sau khigạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm củahệ

Dạng 3: Các bài toán kinh tế, bài toán tối ưu

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x y( , )=ax by+ với(x y; ) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả

thường được miền nghiệm S là đa giác

Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x y; ) là tọa độ của các đỉnh của đagiác

Bước 3: Kết luận:

· Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được

· Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được

Để bắt đầu với các bài toán thực tế Tôi cho học sinh làm ví dụ đơngiản như sau:

Ví dụ 7 : Người ta dự dịnh dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 12kg

chát A và 1kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, cĩ thểchiết xuất 8kg chất A và 0,25kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3triệu đồng, cĩ thể chiết xuất được 4kg chất A và 0,75 kg chất B Hỏi phải dùngbao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu mỗi loại là ítnhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cĩ thể cung cấp khơng quá 4 tấnnguyên liệu loại I và khơng quá 3 tấn nguyên liệu loại II ?

3yx2

3y0

4x0

Sao cho T(x; y) = 4x + 3y cĩ giátrị nhỏ nhất

Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy bài tốn trên dẫn đến hai bài tốn nhỏ

Bài tốn 1 : Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x;y) thỏa mãn :

3y0

4x0

1 2 3 4 5

O

Miền nghiệm (S) của hệ là miền tứ giác ABCD kể cả biên

Bài tốn 2 : Trong tập hợp (S), tìm điểm (x; y) sao cho T(x; y) = 4x +

3y có giá trị nhỏ nhất

Ta cĩ : A(0; 3), B(1; 1), C(4; 0), D(4; 3)Thế tọa độ các điểm trên vào T(x; y) :T(0; 3) = 9

T(1; 1) = 7T(4; 0) = 16T(4; 3) = 25Vậy T(x; y) nhỏ nhất là 7 tại B(1;1)Vậy phải dùng 1 tấn nguyên liệu loại 1 và 1 tấn nguyên liệu loại IIthì chi phí mua nguyên liệu là ít nhất

Ví dụ 8 : Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g

hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít

(Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015)

Giải

Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài yêucầu làm gì và chuyển bài toán đó về những mô hình toán học mà mình đã học?

Ở đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại” Như

vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại Mà mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhận được 60xđiểm thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được 80y điểm thưởng Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được

x, ylít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y Ở đây tính số điểm thưởng ta dùng

quy tắc TAM XUẤT để tính, tương tự với các dữ kiện bài toán khác ta cũngdùng quy tắc này và ta có lời giải bài này như sau:

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế ( ,x y 0)

Khi đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F=60x + 80y

Để pha chế x lít nước cam cần 30x(g) đường ,x lít nước và x(g) hương liệu Để pha chế y lít nước cam cần 10y(g) đường ,y lít nước và 4y(g)

hương liệu

Do đó, ta có:

Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y

Số lít nước cần dùng là: x + y

Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9lít nước

và 210g đường nên x,y thỏa mãn hệ bất phương trình:

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm (xx y0 ; y0 )sao cho

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa

mãn (*) Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD

kể cả miền trong của tam giác (như hình vẽ)

2 4 6

(7,0)

B C

Nhận xét: Bài trên tôi phân tích khá chi tiết, vì vậy những bài sau tôi chỉ

đưa ra lời giải và không phân tích nữa Bởi vì cách giải cũng giống nhau, chỉ cầnbạn hiểu là có thể lập được mô hình Toán học Từ đó có thể giải được bài toángiống như trên

Ví dụ 9 : Một gia đình cần ít nhất 900g chất prôtein và 400g chất lipit trong thức

ăn mỗi ngày Biết rằng thịt bò chứa 80% prôtein và 20% lipit Thịt lợn chứa60% prôtein và 40% lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1600gthịt bò và 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 35

Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn ( ,x y 0) Khi đó

chi phí mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T = 45x + 35y (nghìn đồng)

Theo giả thuyết, x và y thỏa mã điều kiện x1 6, ;y1 1,

Khi đó lượng prôtêin có được là 80% x + 60%y và lượng lipit có được là 20%x + 40%y

Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất prôtêin và 0,4kg chất lipit trong thức

ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 80%x + 60%y0,9

x y

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm (x x y0; y0) saocho

1

x y

D

(1.6,1.1)

(1.6,0.2) (0.6,0.7)

B C

D

O

T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD

Ta có: A( , ; , ), ( , ; , ), ( , ; , ), ( , ; ).1 6 1 1 B 1 6 0 2 C 0 6 0 7 D 0 3 1

Kiểm tra được x=0,6 ; y=0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất

Vậy gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất Cụ thể

là phải chi phí 51,5 nghìn đồng

Ví dụ 10 : Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và

vitamin B đối với cơ thể con người Kết quả như sau: Một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không

ít hơn

1

2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin

A Giá của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.Tìm phương án dùng 2 loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để sốtiền phải trả là ít nhất

Giải

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B dùng mỗi ngày ( ,x y 0)

Vì giá của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng nên

x y

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa

mãn (*)

100 200 300 400 500

(500,500) (500/3,500)

A

B

C E

Biểu thức C9x7 5, y đạt giá trị nhỏ nhất nhất tại một trong các đỉnh A, D, E,

F của ngũ giác ABCDE

Khi đó, ta thấy C đạt giá trị lớn nhất tại x = 100, y = 300.Khi đó C = 3150

Vậy phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B.Chi phí mỗi ngày là 3150 đồng

Ví dụ 11 : Có 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản suất ra hai loại sản phẩm I và II.

Để sản suất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộccác nhóm khác nhau Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cầnthiết để sản suất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho tương ứngbảng sau:

Nhóm

Số máy trongmỗi nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản suất

Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản suất hai sản phẩm trên có lãi cao nhất

Giải

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị sản phẩm thuộc loại I và II ( ,x y 0) Khi đó tổng

số tiền lãi của x đơn vị sản phẩm loại I và y đơn vị sản phẩm loại II là

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm (x x y0; y0)sao

cho L = 3000x + 5000y lớn nhất

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa

mãn (*) Miền nghiệm của hệ (*) là miền bên trong của ngũ giác lồi OABCD

và cả biên (như hình vẽ)

0.5 1 1.5 2

x y

D

(5,0)

(2,2)

(4,1) (0,2)

A B

C D

O

L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD Ta có

Vậy kế hoạch tốt nhất là sản suất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩmloại II thì tổng số tiền lời là lớn nhất cụ thể là 17000 đồng.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần Trong đó phần

thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai

tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v=10km/ h thì phần thứ hai bằng 30ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1km

là nhỏ nhất?

Bài 2 Từ một khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là

hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ Hãy xác định kích thước của các miếngphụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là nhỏ nhất?

Bài 3 Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8a Nếu trồng đậu thì

cần 20 công và thu 3000000 đồng trên mỗi diện tích a, nếu trồng cà thì cần 30công và thu 4000000 đồng trên mỗi diện tích a Hỏi cần trồng mỗi loại cây trênmỗi diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá180?

Bài 4 Một xưởng sản suất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg

nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần

4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kgnguyên liệu và 1200 giờ làm việc Nên sản suất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu đểmức lời lớn nhất?