Sau đó giải tiếp theo như đã học... 15 Giải các phương trình sau Đánh giá a.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1) Phương trình nhị thức: n 0( 0, 3)
x ± =a a≠ n≥
Đặt x t a= n ⇒x n =t a n đưa về dạng t n± = ⇔ + = ∨ − =1 0 t n 1 0 t n 1 0
2) Dạng 1: 4 2
0
ax +bx + =c (phương trình trùng phương) HD: Đặt 2
0
t=x ≥
Tổng quát: Phương trình tam thức: 2
n n 0
a x +b x + =c 3) Dạng 2: (x a x b x c x d+ ) ( + ) ( + ) ( + ) =k a b c d; + = + HD: đặt t= +(x a x b) ( + )
4) Dạng 3: ( ) (4 )4
x a+ + +x b =k HD: đặt
2
a b
t= +x +
rồi đưa về phương trình trùng phương
5) ax4+bx3+cx2± +bx a HD: Chia 2 vế pt cho x2 ta được 2
2
0
Đặt t x 1
x
= ±
Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc chẵn
a x +a −x − + +a x a+ = a ≠ a =a −k − i= n−
2 3 2 1 0 1
x − x + x − x+ = k =
2 3 6 8 8 0 2
Đặt t x k
x
= +
Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc lẻ
a +x + +a x + +a x a+ = a + ≠ a =a + −k + − i= n
2x +3x −4x −4x +3x+ =2 0 k =1
2x +3x −4x −8x +24x+64 0= k=2
Có các tính chất sau
- Bao giờ cũng có nghiệm là – k
- Bao giờ cũng đưa về dạng (x k Q x+ ) ( ) =0 Trong đó Q x( ) =0 là một phương trình thuận
nghịch bậc chẵn.
6) Dạng 6: ( )2 ( 2 )2 ( 3 )
A x− +B x + +x +C x − =
Chia hai vế cho ( 2 )2
1
x + +x và đặt 2
1 1
x t
−
= + +
Tổng quát: a A x ( )+bB x( )+c C x ( ) =0 (A x B x( ) ( ) =C x2( ) )
BÀI TẬP 1) Giải các phương trình sau
a (x−1) (x+5) (x−3) (x+ =7) 297 b (x+2) (x−3) (x+1) (x+ = −6) 36
2) Gải các phương trình sau
a 4 3
1 0
2 3 2 1 0
x − x + x − x+ = c 5 4 3 2
5 4 4 5 1 0
x − x + x + x − x+ =
d 4 3 2
6x −35x +62x −35x+ =6 0 e 4 3 2
5 10 10 4 0
x − x + x − x+ =
3) Giải phương trình sauư
a
1 3
+
x + x + x + x− =
Trang 2a ( ) (2 )3
x− + −x = b 4 ( )4
1 97
x + −x = c ( ) (4 )4
Giải các phương trình sau:
3 x x x x
2 x x x x 0 x 0 x 1
1
2
t
t= x+ − ⇒x x x− = −
Cách 3: biến đổi 3 1 3
2 1 3
x x
x
− −
=
− − đặt
3 3 1
2 3
t
t
−
− suy ra
( 1 2) ( 2 4 3) 0 0 1
Cách 4: đặt a= x b, = 1−xta có hệ
2 1 3 1
ab a b
+ =
VP = + x x− = + x x− + x x− ≥ + x x− + x x−
0
2
1 3
Đẳng thức có ⇔ −x x2 = ⇔ = ∨ =0 x 0 x 1
6) x2+5x+ = +1 (x 4) x2+ +x 1Đặt t = x2+ + >x 1 0pt 2 ( )
4 4 0
4
t x
t
=
7) 3 2( + x−2) =2x+ x+6 *( )
- Điều kiện: x≥2
- Ta có: ( )* 2( 3) 8( 3) 3
x x
x
=
−
8) x2− + +3x 3 x2− + =3x 6 3
- Đặt t= x2− + > ⇒3x 3 0 x2− + =3x 3 t2
- Phương trình thành:
( )
2 2
3
3 3
t
≥
+ = −
Suy ra x2− + = ⇔ =3x 2 0 x { }1;2
Cách khác: Đặt
2
2
3 3
3 6
Trang 3- Đặt
( ) ( )
2
4 4
4 2; 0
2 0
2 3
= + ≥ = ≥ ⇒ + = ⇒ − − =
Giải ra ta được 4
3
x= (thỏa mãn)
3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+2
- Điều kiện: x≥ 1
- Khi đó: 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2−5x+2
( )2
3 2 1 1
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x= 1
11) 3 2− = −x 1 x−1
- Điều kiện: x≥ 1
- Đặt u=3 2−x v; = x− ≥1 0 dẫn tới hệ: 3 1 2
1
u v
= −
+ =
Thế u vào phương trình dưới được: v v( −1) (v− =3) 0
- Đáp số: x={1; 2;10}
12) 2x+ −7 5− =x 3x−2
- Điều kiện: 2 5
3 ≤ ≤x
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản Sau
đó giải tiếp theo như đã học
- Đáp số: 1;14
3
x=
13) x+2 7− =x 2 x− + − +1 x2 8x− +7 1
- Điều kiện: 1 ≤ ≤x 7
⇔ x−1( x− −1 7−x) (=2 x− −1 7−x)
1 2 5
4
1 7
x
- Đáp số: x={ }4;5
14)Giải phương trình sau:
a 2x2+6x+ +12 x2+3x+ =2 9
b 2x x− 2+ 6x2−12x+ =7 0
c ( 1+ −x 1)( 1− + =x 1) 2x
d. 2 −x2 = 2 −x
e x2+ x+2006 2006= Cách 1: Đặt x+2006 = y
Trang 4HD cách gải 2:
2
2006
2006
2006
⇔ + ÷ = + − ÷
⇔
+ = − +
f x3+ =1 2 23 x−1 Đặt y=32x−1
g 2x2+2x+ =1 4x+1 Đặt y x= 2+x
h 4x2+6x+ +7 2x2+3x+ =9 15
i 32− +x x− =1 1 Đặt 2 ẩn phụ 32− =x u; x− =1 v
j 3 x− +2 x+ =1 3
k 3( )2 3( )2 3( 2 )
3x+1 + 3x−1 + 9x − =1 0
1
2+ +x 2− =x
m 2(x2+ =2) 5 x3+1 Đặt a= x+1;b= x2− +x 1
2 2
=
⇔ =
n 2(3x+5) x2+ =9 3x2+2x+30HD: 3 2( x+ +3) 1 x2+ =9 3(x2+ +9) 2x+3 Đặt 2x+ =3 a x; 2+ =9 b
o 5 2x3+16 2(= x2+8) HD: 5 2(x+2)(x2−2x+4) 2(= x2+8)
Mối liên hệ x2+ =8 (x2−2x+ +4) (2x+4) Đặt 2(x+2) =a x; 2−2x+ =4 b
p 2(x2−3x+ =2) 3 x3+8
q 2x+ +3 x+ =1 3x+3 2x2+5x+ −3 16
HD: Ta có (2x+3)(x+ =1) 2x2+5x+3 22 23 0; 21 02 2
r 2x2− +1 x2−3x− =2 2x2+2x+ +3 x2− +x 2Quan sát các biểu thức trong căn ta có : (2x2− −1) (x2−3x− =2) (2x2+2x+ −3) (x2− +x 2) đặt
3 2
1
2 2 − = 2 + +
⇒
u
2x − =1 u; x −3x− =2 v; 2x +2x+ =3 z; x − + =x 2 t Ta có hệ
u v z t+ = +
Trang 515) Giải các phương trình sau (Đánh giá)
a x2 + 4x+ 5 = 2 2x+ 3 Hướng dẩn
2
2
1 0
x
x
+ =
+ − =
b 2x2+2x+ =1 4x+1 C1: Đặt y x= 2+1
2 2
= +
⇒
= +
Nhân 2 vế với 2 và đưa về dạng: 4x2+( 4x+ −1 1)2 =0
c x2−6x+26 6 2= x+1
d 5x+2 x+ −1 1− = −x 3
C1: Ta có: 5x+ =3 4(x+ − −1) (1 x) Khi đó
C2: đặt x+ =1 a; 1− =x b
5
x
x+ − x− = +
16) Giải các phương trình sau: (Dùng BĐT)
1
x x
x
x x
−
−
b 3x2+6x+ +7 5x2+10x+14 4 2= − x x− 2
VP= − x x− = − +x ≤
c 3x2+6x+ +7 5x2+10x+14 4 2= − x x− 2
6 11
− +
e x− +4 6− =x x2−10x+27
HD: VP = x2−10x+27 (= −x 5)2+ ≥2 2
VP= x− + −x ≤ + x− + −x = = ⇒ x− + − ≤x