Chuyên đề tích phân và ứng dụng tài liệu lý thuyết và bài tập 2015

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 1 Cung cấp bởicbook.vn Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 2 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 3 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ........................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ....................................................... 10 I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. ...................................................................................... 10 I.2 TÍCH PHÂN................................................................................................................... 13 VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .................................. 14 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ ............................... 17 Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) ..................................................................... 18 Một số trường hợp thường gặp ............................................................................................ 18 Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) ..................................................................... 24 Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến ................................................................. 33 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP................................................ 36 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN.......................................................................................... 36 VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ .............................................................................. 49 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN............................................................ 49 VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ......................................................................... 50 PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ ............................................................... 50 VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ ........................................................... 52 VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ .............................................................. 73 VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC ...................................................... 92 VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT........................................................... 111 VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX....................... 116 VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ....................................................................... 117 VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ......................... 120 VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN .............................................................. 123 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN .............................................................. 126 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 4 Cung cấp bởicbook.vn CƠ SỞ LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. .................................................................................................... 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN....................................................................................................... 129 BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: .................................................................... 132 TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ........................... 134 KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 214 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 5 Cung cấp bởicbook.vn KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số… A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau sin sin cos cos            cot cot tan tan           2. Cung bù nhau sin sin cos cos          cot cot tan tan           3. Cung phụ nhau sin cos 2        cos sin      2     tan cot 2        cot tan   2          4. Cung hơn kém 2 sin cos 2        cos sin      2      tan cot 2         cot tan   2            5. Cung hơn kém sin sin cos cos             cot cot tan tan           cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 6 Cung cấp bởicbook.vn II. Công thức lượng giác 1. Các hệ thức cơ bản 2 2 sin cos 1 tan .cot 1      sin tan cos     cos cot sin     2 2 1 1 tan cos     2 2 1 1 cot sin     2. Công thức cộng cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin   a b a b a b a b a b a b       sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin   a b a b a b a b a b a b       tan   tan tan 1 tan tan a b a b a b     tan   tan tan 1 tan tan a b a b a b     3. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 4 4 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin         sin2 2sin cos    2 2tan tan2 1 tan      4. Công thức nhân ba 3 3 3sin sin3 sin3 3sin 4sin sin 4            3 3 3cos cos3 cos3 4cos 3cos cos 4            5. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2     2 1 cos2 cos 2     2 1 cos2 tan 1 cos2       sin ,cos ,tan   tan 6. Công thức tính theo 2 t   cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 7 Cung cấp bởicbook.vn 2 2 sin 1 tt    2 2 cos 1 tt    2 2 tan 1 tt    7. Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos cos cos1     2 a b a b a b      sin sin cos cos1     2 a b a b a b      sin cos sin sin1     2 a b a b a b      8. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b    cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b     sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b    sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b    sin  tan tan cos cos a b a b a b    sin  tan tan cos cos a b a b a b    9. Các công thức thường dùng khác sin cos 2sin 2 cos 4 4                      sin cos 2sin 2 cos 4 4                       B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 8 Cung cấp bởicbook.vn y y u u u x u x x y  . Cho là hàm số theo và là hàm số theo thì ta có: u u x v v x    2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây ; ) u v u v   u v u v   u v u v u v. . .    2 u u v uv v v         u u x   3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây ) c c 0 ( là hằng số)  x  1   x x     .  1   2 1 1 , 0x x x            x x    2 0 1 x  , k u k u. .   u u u   . . 1   2 1 u , 0u u u           u u  2u u , 0  4. Đạo hàm của hàm lượng giác sin cosx x  cos sinx x    tan  12 cos x x  cot  12 sin x x   sin .cosu u u  cos .sinu u u    tan  2 cos u u u  cot  2 sin u u u   5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít

Trang 2

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015

LỜI NÓI ĐẦU

Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng

dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường

phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông

Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những

vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương

Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương

pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình

làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn

Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị

Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà

giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình

phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với

bộ tài liệu này

Các tác giả

Trang 3

ấp b

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

MỤC LỤC 3

KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5

CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 10

I NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 10

I.2 TÍCH PHÂN 13

VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 14

VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ 17

Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) 18

Một số trường hợp thường gặp 18

Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) 24

Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến 33

VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 36

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 36

VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ 49

VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49

VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG 50

PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ 50

VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ 52

VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 73

VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 92

VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT 111

VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX 116

VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 117

VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 120

VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 123

Trang 4

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 126

BÀI TẬP VẬN DỤNG 127

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 129

BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 132

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 134

KẾT LUẬN 214

Trang 5

Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng

giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số…

A CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

I Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1 Cung đối nhau

Trang 6

cos2   cos   sin   2cos     1 1 2sin   cos   sin 

sin 2   2sin cos  

2

2 tan tan 2

Trang 7

t t

 



2

2 cos

1

t t

 



2

2 tan

1

t t

8 Công thức biến đổi tổng thành tích

Trang 8

Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có: y'x  y uu'. 'x

2 Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u  u x  ; v  v x  )

Trang 10

Ghi nhớ : Nếu F x  là nguyên hàm của f x   thì mọi hàm số có dạng F x    C

(Clà hằng số) cũng là nguyên hàm của f x   và chỉ những hàm số có dạng F x    Cmới

là nguyên hàm của f x   Ta gọi F x    Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định của

Trang 12

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích

(thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần

 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một

tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm

NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12

Các công thức có mặt trong II mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại

bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản

nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm

Trang 13

f x dx 



f TC6: Nếu f x      g x ,   x a b   ; thì b f x dx    bg x dx  

Trang 14

 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân

thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng

bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét

dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những

đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng

Trang 16

Trang 17

VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ

* Lý thuyết và phương pháp giải

Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích phân có

dạng tích của f      x   (hàm số theo biến là    x ) với đạo hàm của hàm    x Áp dụng

công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:

a) Trường hợp 1:  f  sin cos x  xdx

Trang 18

Trang 19

t a x

cossin

t

a x

cossin

tgt a x



,  dx= acostdt Với x = 0 thì t=0

0 6

tdt a

Bài 2: Tính tích phân(với a >0) I=a a dxx

0

2 2



,  dx = a(tg2t + 1)dt

Với x = 0 thì t=0

Trang 20

a

dt t

tg

a

dt t

tg

a

4)04(1)

1

0 4

0

2 2

21

Lời giải: Đặt x = sint, dx = costdt

4 2

2 2

4

2

)1sin

1(sin

sin1sin

dt t

t dt

sin2

12)

cos21(2sin

2

sin2.cos

2 3

dt t t

tdt t

Bài 5: Tính tích phân:I = 2 

0

2 2

Trang 21

0

2 2

)4cos1(22sin4cos

sin16



dt t tdt

tdt t

=2      0)

2(24

sin4

0

t t

4

0 3 3

)(cos)cos1(sin

.sinsin

t dt

t

t t

2

4

182

sin2

12

1)2cos1(2

1sin

cos

cos.sin

 

t t

dt t tdt

t

tdt t

Bài 8: Tính tích phân I = 2 2 

1

x x dx

Trang 22

6 4

sincos1cossin

1cos

1cos1cos

t

t t

t

t dt

t t

Bài 9: Tính tích phân I = 1 

0

2 2

3

4 x dx x

2

)4cos1(33

22

sin33

4cos

3

2.sin44sin

3

4

dt t tdt

tdt t

t

8

33

(33

24

sin4

Trang 23

2

cos2sin2.2sin2

cossin

.2sin2

cossin

.2sin22cos2sin

.cos

t tdt

t

t tdt

t

t tdt

t t

)6ln(

)2

(lnsincos

4 2 3

t tg t

dt t

dt tgt

1cos

0 3

0 2 3

0

2

132

1)

2cos1(32

1cos

3

11

dt

4

33

(

3

2

1  

Trang 24

229

dx x

tg x

cos

1.31

2 3 2

2

sin)

sin1(

sin2

sin.cos

2

cos22

9

cos

1.3.cos

t

dt t

tg t

dt dt

t tg

t t

2

2 1 2

2

2 1

2 2

2 1

2 2

11

1ln2

12)

1

11(2)1(

2        v v v

dv v v

v v dv

sin2

12

1)2cos1(2

1

6 2

dt t tdt

Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x)

Một số trường hợp thường gặp:

Trang 25

)3

13

2(

)13

1(

du u u u

du u u

15

4615

3115

1.3

12

.3

1 5 2

Lời giải:

Đặt t = 31 x 2 ,  t3 = 1+x2  3t2dt = 2xdxxdx = t2dt

23

3

)(2

3)

1(2

3

dt t t t

dt t t

=

20

141)

25

Lời giải:

Đặt t = 2

1 x  t2 = 1- x2  2tdt = -2xdx-xdx = tdt Khi x = 0 thì t = 1

Khi x = 2 thì t = 2

Trang 26

1

2 2

1

3 2

2

)3()1())(

1(

t

t dt t

t

tdt t

=

12

253

2(3

2)2)(

1(

22

2

dt t t

t t

tdt t

t tdt

4

5ln2(3

2)1ln2ln2(

(Đề thi ĐH Ngoại Thương 1996)

Lời giải:

Đặt t = 2

1 x  t2 = 1 – x2 xdx = -tdt Khi x = 0 thì t=1

2 0

1

2

15

25

13

1)53()(

))(

2 0

1

2

15

4)5

13

1(2)53(2)(

2)2)(

1

t

Trang 27

(Đại học Cần Thơ khối D 1998)

1

2 2

)22(22.1)1(

dt t

t tdt t

t

=2(

15

53)23

25

2

1 3 5

1 x dx x

(Đại học Quốc gia Hà Nội – khối B - 1998)

Lời giải:

Đặt t = 2

1 x  t2 = 1 + x2 xdx = tdt Khi x = 0 thì t=1

4 2

1

2

15

)12(2)3

15

1(3

225

24)35()(

.)1(t t tdt t t dt t t

2

3

1)3

(2

1)1(21

.2

)1(

t

t dt t

t

tdt t

Bài 10: Tính tích phân I = ln3 dx

Trang 28

1(1

2)1(

2

dt t t t

dt t

12ln3

1ln1

1 2 2

)3)(

3()9

dt t

13

1(6

1

dt t t

=

4

7ln6

13

3ln

2

)1

11(

21

2

dt t t t t

dt t t

tdt t

Trang 29

1

0 2

dx x

4)4(

1

2 1

2

3

22)3(2)1(22)1(

t

t dt t

t

tdt t

Đặt t = 3

1 x  t2 = 1+x3 2tdt = 3x2dxx2dx= tdt

32

2

223ln3

11

1ln3

1)1

11

1(3

11

3

2

t

t dt

t t t

dt

Trang 30

1 3 3 2

2

3ln2

1ln

121

2

t t

dt t

t t dt

Bài 17: Tính tích phân I = 2  

0 4sin 3cos 5

6cos7sin



dx x x

x x

(Đại học Tàichính Kế toán Hà Nội 1999 – 2000)

6 5

7 4 3

1 3 4

C B A

C A

B A



5cos3sin4

6cos7sin

x x

=1 +

5cos3sin4

15

cos3sin4

sin3cos4

x x

0 4sin 3cos 5 4sin 3cos 5

sin3cos4



x x

dx dx

x x

dx

=x  x x 2J

0 2

0

)5cos3sin4ln(



28

9ln2

dx

Trang 31

1.31

2

t

t t t

t t

1)

2(441

2sin1



dx x x

(Học viện chính trị Quốc gia 2000)

21

t t

Bài 19: Tính tích phân I = 4 

0

6

6 cossin

4sin



dx x x



dx x x x

Trang 32

31ln32

4

31

)4

31(32

4

31

1

0 2 1

t t



dx x

gx x

x x

2 2

3

3 3

sin.cot.sin

sinsin

11

0

3 3 1

0 3 8 3

5 3

2

24

98

3)

t t

1ln

5

15

1

t t

dt

Trang 33

dx x x x

3



t

Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến

Bài toán: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]

f( ) ( )( ) ( ) ( ) , ( Tích phân không phụ thuộc vào

biến số)

Áp dụng bài toán trên ta có thể giải được nhiều bài toán với cách chọn ẩn phụ là: t = a+b-x

Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân ta có thể chọn phép đặt ẩn phụ

f( ) có thể lựa chọn t = -x

2 Với I = 2

0)(



dx x

( dx x

f có thể lựa chọn t =  - x

4 Với I = 2

0)

xf( ) có thể lựa chọn t = a+b-x

Trang 34

4

cossin

cos



dx x x

4

)()2(cos)2(sin

)2(cos



dt t t

4

cossin

sin



dt t t

t

0

4 4

4

cossin

sin



dx x x

0 4

4

4 4

42

cossin

sincos

dx dx x x

x x

)2cos(

)2sin(



dt t t

0 sin cos

cossin



dx dx x x

x x

x 2 0

Lời giải:

Đặt t =  -x  dt = -dx

Trang 35

0

4

)cos5

1cos7

1(2)(cos)1(coscos

3)3cos3

1cos3(4)3sinsin3(

sin4)

(sin4

).(

tdt t

dt t

 2I = 0  I = 0

Bài 6: Tính tích phân: I = 4 

0

)1ln(



dx tgx

Lời giải:

Đặt t =   

Trang 36

11ln(

))](

4(1ln[



dt tgt

tgt dt

t tg

2ln

I dt dt

82

ln4

4 0

, thì khi đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I

Trong những năm thi tuyển sinh đại học gần đây , nhất là từ khi đề chung cho đến nay , số đề

tích phân cho dưới dạng tích phân từng phần chiếm tới 90% số đề ra về tích phân

3 Đối với phương pháp tính tích phân từng phần có dạng : I f x dx( ) u x dv x   

 Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó nhất là chọn

hàm số u(x) và vi phân dv(x) sao cho nguyên hàm v(x) dễ tìm nhất và phải kết hợp với vi

phân du sao cho tích phân v du





 có thể tính trực tiếp bằng các phương pháp đã trình bày trên

Trang 37

e a

e dx

a c

Trang 38

Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau :

- Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao

nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả

- Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : P x( )sin axdxn P x c  os axdxn

Trang 39

1 3

Trang 40

x x

- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được

* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau

- Đối với tích phân có dạng :

- Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần Nghĩa là trước

khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số

0.sin

0osxdx

Trang 42

21

Trang 43

Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng

phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x)

ln x

dx x

Trang 44

P x





 , vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân dạng : I P x( ) lnxdx

Trang 45

I 

* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần

Dạng 4: Tích phân dạng : I eaxsinbxdx J e cax osbxdx



xdxe

Trang 46



xdxe

J e , sau đó lại thay vào (1) 1 

12

Trang 48

Trang 49

- Cần nắm vững các kiến thức cơ bản vền 2 dạng trên

- Biết vận dụng và phối hợp 1 số các công thức để áp dụng vào bài toán cụ thể như sau:

Trang 50

Giả sử cần tính I   f x dx   Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ J   g x dx   sao cho

việc tính I  J và I  J đơn giản hơn Chẳng hạn:

Trang 52

x dx x

Trang 53

x dx

Trang 54

4

dx x

1

4dx

x 



Trang 55



Giải Cách 1:

 Đặt : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2

Trang 56

C C

Trang 58

14

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số :

Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8

Trang 59

Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số :

Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2

Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2

Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4

Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là không cho ) ,

nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các trường ra đề thi riêng ,

mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho bản thân

Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa

11

x dx x





Giải

Trang 60

11

x dx x

Trang 62

3 2

Trang 63

Q x



 ( Với Q(x) có bậc cao hơn 4 )

Ở đây tôi chỉ lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai bậc

hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có cách giải ngắn

gọn hơn Phương pháp chung là như vậy , nhưng chúng ta khéo léo hơn thì cách giải sẽ hay

2 0

Trang 64

11

x dx x

11

x dx x

0 1

x dx x

1

dx x

x x

dx x

Định dạng
Số trang	214
Dung lượng	3,75 MB