Cao học toán giải tích chuyên đề tích phân trương văn đại

tức là : hàm ft thì vi phân phải là dt , hàm fu thì vi phân phải là du... Tuy nhiên lúc này ta chỉ có vi phân trong dấu tích phân là dx , do đó ta không thể áp dụng ngay công thức  f u

Trang 1

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM

A LÝ THUYẾT CẦN NẮM

1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó :

Nguyên hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

(K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng)

VD1 :

 Hàm F(x) = x 2 1 là một nguyên hàm của f(x) = 2x

Vì :  2 '

1

 Hàm f(x) = 1

2 x có 1 nguyên hàm là x vì   x ' 2 1

x

VD2 : Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau

a) f(x) = x2

c) f(x) = cosx

Giải:

a) f(x) = x2

Vì

'

1



nên F(x) = 1 3

3x là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

2

x

Chú ý : Ta để ý rằng 1 3

3x + c ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

2

x ( vì sao ???)

b) Lập luận tương tự ta tìm được F(x) = cos x là một nguyên hàm của f(x) = sinx và ta cũng có  cos x c  ( với

c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) = sinx

c) Tương tự a , b

Nhận xét :

 Ta thấy ngay rằng, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).C là một hằng số tùy ý

.Bạn đọc lí giải điều này là tại sao để hiểu thêm về định nghĩa nguyên hàm nhé ^^

Trang 2

 Ngược lại , nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm khác của f(x) đều sai khác với F(x) một hằng số cộng Điều này có nghĩa là, nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) thì tồn tại số C sao cho F(x) = G(x) + C

(hoặc G(x) = F(x) + C)

Chứng minh :Thật vậy , ta giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) khi đó ta xét :

F x G x F x G x

= f x( ) f x( )0

Suy ra F x( )G x( )=C, vậy F(x) = G(x) + C (đpcm)

Lúc này ta kí hiệu :

 f x dx ( )

để chỉ tập hợp ( hay họ ) tấc cả các nguyên hàm của f(x)

2.Tính chất của nguyên hàm :

1.1  f x dx'( )  f x( )C

1.2  k f x dx ( )  k f x dx  ( ) với k là một hằng số

( tức là ta có thể đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân)

1.3  f x( )g x dx( )  f x dx( ) g( )x dx

(tức là nguyên hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)các nguyên hàm tương ứng)

Chú ý : Hàm dưới dấu tích phân theo biến gì thì vi phân d phải là biến đó tức là : hàm f(t) thì vi phân phải là dt , hàm f(u) thì vi phân phải là du Cụ thể là :

f t dt  F t  C

Nguyên hàm dạng  f(u)dt hay  f(x)dt là không tính được

VD :

Tìm nguyên hàm   x  1 2015dx

Nhận xét : nguyên hàm này có dạng u dx với  1

2015

u x











Nói chung , nếu không biến đổi thì đây là nguyên hàm không cơ bản và do đó không áp dụng công thức cơ bản để tính được

Trang 3

3.Bảng các nguyên hàm cơ bản :

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Hàm số hợp tương ứng (dưới đây u = u(x))



dxx C



1

x





1 ln

dx x C

x  



x x

e dxe C



ln

x

x a

a



cosxdxsinx C



sinxdx cosx C



2

1

tan



2

1

cot



duuC



1

u





1 ln

du u C

u  



u u

e due C



ln

u

u a

a



cosudusinuC



sinudu cosuC



2

1

tanu



2

1

cotu



B.MỘT SỐ CHÚ Ý KHI TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Chú ý 1 : Gặp nguyên hàm của một tổng các hàm thì ta thường tách thành từng tổng các nguyên hàm để tính cho đỡ

phức tạp

VD1 : Tìm (4x32x21)dx

Giải

(4x 2x 1)dx

 = 4x dx3 2x dx2 1dx

Trang 4

=

x C

   ( với C  C1 C2 C3)

Chú ý 2 : một số công thức biến đổi hay hay dùng



m



x



Chú ý 3 : công thức hay quên



ln

x

x a

a

3

ln 3

x x



VD2 : Tìm họ các nguyên hàm của sau

a)(2x4)dx b) 2 1

x

 c)(3x2 2) dx d) (x)(x2)dx

e)

4

2

2x

dx

x

 f )

3

1 ( x 2 )x dx

x



Chú ý 4 : KĨ THUẬT DÙNG VI PHÂN HÀM HỢP ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM

Cơ sở của kĩ thuât này là việc vận dụng công thức :

d u x  u x 'dx

Nếu để ý chúng ta sẽ nhận thấy rằng có những nguyên hàm mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng sau :

 f u ( ).g(x) dx

Trong đó ,  f u ( ) du là nguyên hàm cơ bản và ta có thể tính ngay bằng bảng nguyên hàm cơ bản

Tuy nhiên lúc này ta chỉ có vi phân trong dấu tích phân là dx , do đó ta không thể áp dụng ngay công thức  f u( ) du

ngay được

Vậy làm sao để tính ???

Câu hỏi này được trả lời khi ta nhìn lại nguyên hàm  f u( ).g(x) dxvà nhận xét rằng

Trang 5

g(x)dx có quan hệ với du ,và từ quan hệ này ta có thể chuyển g(x)dx về vi phân d(u) Tới đây thì việc còn lại chỉ còn là

áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản nữa mà thôi Và để hiểu hơn về kĩ thuật này tôi xin trình bày một vài ví dụ điển hình sau :

VD3 : Tìm họ các nguyên hàm sau ,

1

I    x  1 2015dx

Nhận xét :

Ta thấy rằng   x  1 2015dx có dạng u dx với u = x+1 gần với công thức u du do đó ta dự đoán rằng dx và du có mối quan hệ với nhau ( đây là ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên )

Giải :

Ta có , d(x+1)= x1'dxdx

Suy ra dx = d(x+1)

Vậy   x  1 2015dx=  x  1 2015d x (  1)

=  1 2016

2016

x

C



Bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này chưa ?, hãy cố gắng hình dung ý tưởng và tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây :  ax b  ndx

2015

2

ln ( ) x

x

 

Nhận xét :cũng với tư tương như câu trước , ta thấy rằng

2015 2

ln ( ) x

x

  có dạng I2 u.f(x)dx với u = lnx và

f(x) = 1

x gần với công thức u du



 do đó ta dự đoán rằng f x dx( ) =1

dx

x và du có mối quan hệ với nhau ( đây là

ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên )

Giải :

Ta có , d(lnx)= 1

dx x

Suy ra dx

x =d(lnx)

Vậy

2015

2

ln ( ) x

x

  =ln2015( ) (ln )x d x

Trang 6

= 2016 

ln 2016

x C



Tới đây thì tôi nghĩ rằng bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này một cách rõ ràng lắm rồi , hãy chứng minh điều đó bằng cách tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây

ln (n x c )

dx

x



 , hơn thế nữa bạn đọc có thể thấy rằng việc xuất hiện lnx và 1

x trong biểu thức dưới dấu tích phân có

thể là dấu hiệu để ta sử dụng kĩ thuật vi phân ở trên ^^

2015

(1 tanx)

cos

x



 

Giải :

Ta có , d(1+tanx) = '

2

1 tan

cos

dx

x dx

x

Suy ra 2

cos

dx

x = d(1+tanx)

Vậy

2015

(1 tanx)

cos

x



=

2016

(1 tanx)

2016 C



Như vậy là tôi đã trình bày 3 ví dụ theo tôi là, mang tính điển hình để bạn đọc tiện hình dung về mặt phương pháp, sau đây tôi xin giới thiệu thêm 1 hệ thống bài tập nữa để bạn đọc tự rèn lyện thêm nhé

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài tập 1 : CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC SAU ;

Trang 7

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 Bài tập 3 : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU ;

2015

cos sin

x x



2

4

2

3 2

 

g) I   1  x dx ; h )  x 1 2  x dx ; i I )   sin 2015 x  1 dx

Chú ý 5 : NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Theo kinh nghiệm chủ quan của tôi , tôi cho rằng khi tìm nguyên hàm của một số hàm lượng giác chúng ta phải đặc biệt chú ý đến các công thức biến đổi sau ;

sin

2

x

x 

cos

2

x

x 

 sin2 xcos2x1 hay ý nghĩa hơn ta viết 1sin2xcos2x



1

2





suy ra : cos cos2 sin2

x  



sin 2 2sin cos

1 sin sin 2

2







    



 



suy ra : sin 2 sin cos

x x

x 

 1 sin 2 xsinxcosx2

2

1

cos

x

2

1

cos

x dx d x x C

dx d x x C x



 Gặp Ftan ; cotx x dx thường thì ta biến đổi thành Fsin ; cosx x dx , tức là biến đổi

sin tan

cos cos cot

sin

x x

x x x

x











VD4: Tìm họ các nguyên hàm sau

sin

dx

x

cos 2

Giải :

Trang 8

x xdx  dx   x dx

1 1 1 1 1 2 1 1

Với C  C1 C2

x xdx  dx   x dx

1 1 1 1 1 2 1 1

Với C  C1 C2

tan xdx  1 tan  x  1 dx   1 tan  x  1  dx

Với C  C1 C2

co t xdx  1 cot  x  1 dx   1 cot  x  1  dx

Với C  C1 C2

e) Phân tích :

 Ta để ý rằng : sin 2 sin cos

x x

x  , do đó

x x

x 

 Lại tiếp tục : 1sin2xcos2 x , do đó

sin cos

2 sin cos sin cos sin cos

dx



 Vì

sin cos sin cos sin cos cos sin



Trang 9

1

ln cos ln sin

          

Vậy bài giải là :

Ta có

sin cos

2sin cos sin cos sin cos

dx

x



Với C  C1 C2

f) Ta có



2 2  1  2

Với C  C1 C2

g) Ta có



Trang 10

2 2  1  2  

Với C  C1 C2

h) Ta để ý rằng sin 2 x cos 3 1sin 5 sin 

2

xdx x x dx xdx xdx

Với C  C1 C2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Tính các tích phân bất định sau:

3

– ln

1 sin

x

x dx x





3

x

; )

2

x

e

x x

C MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM :

1.Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tính tích phân I  f x( ) dx

Đổi biến số dạng 1: Nếu f(x) có thể biểu diễn dưới dạng   ,

1

( ) ( ) ( )

f x  f  x  x , tức là   ,

I  f  x  x Lúc này ta tính tích phân I như sau :

2

x



Trang 11

Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224

 Đổi biến t   ( ) x  dt  ,( ) x dx

 Thay vào I ta được   ,

I  f  x  x  f t

MỘT SỐ KIỂU ĐỔI BIẾN THƯỜNG DÙNG :

1 Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

2 Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

3 Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức

4 Nếu tích phân chứa

x

dx

thì đặt t  ln x

5 Nếu tích phân chứa ex thì đặt t  ex

x

dx

thì đặt t  x

7 Nếu tích phân chứa 2

x

dx

thì đặt

x

1

t 

8 Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t  sin x

9 Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t  cos x

x cos

dx

2 thì đặt t  tgx

x sin

dx

2 thì đặt t  cot gx

Đổi biến số dạng 2: Giả sử ta muốn tớnh tớch phõn I  f x( ) dx mà khụng dựng được phộp đổi biến dạng 1 thỡ ta cú thể đổi biến như sau :

 Đặt x(t)với (t) là hàm cú đạo hàm liờn tục và cú hàm ngược Khi đú tớch phõn cần tớnh được đưa về dạng đơn giản hơn như sau :

I  f x  f  

MỘT SỐ KIỂU ĐỔI BIẾN THƯỜNG DÙNG :

2 2

ost 0 t









2 2

x  a

;

0; \

a

t a

c

 





 



Trang 12

2 2

a  x

2 2

 









x=a.cos2t

sin

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	280,95 KB