CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN MÔN TOÁN

Bài 20: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục với phương trình chuyển động tại thời điểm t là aTính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t10 s.. bTính vận tốc nhỏ nhất của chất điể

(x 2x1)dx

1 2

x x



2 2

0cos x xd



4 4

0cos x xd

x x x

1 Khái niệm tích phân

 Cho F x  là một nguyên hàm của f x  và f x  liên tục trên đoạn a b thì ; 

( )d ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x x

f x x

Footer Page 1 of 145

Bài 4: Tính các tích phân sau:

a)

2

2 1

3 1d

x x

x x

1

2 0

2d

x x

x  x

d)

1

0

d( 1)(2 1)

u b b

Bài 7: Tính các tích phân sau:

d(1 )

x x x



2 0

d1

x x

( 1)

d1

x

x x

e

x x

x

x

e x e



3 2

2 0

1 tan

dcos

x x x

0tan x xd



4 4

0tan x xd



4 7

0tan x xd

2 0

d1

x x



3

2 0

d3

3d3

 Nhưng chưa tìm được nguyên hàm

Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhóm hàm như sau:

Nhóm hàm lôgarit lnn f x( ),logn a f x( ).(Chưa có nguyên hàm trong bảng)

Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau

Cách giải : Ưu tiên nhóm hàm chưa có nguyên hàm đặt là u, còn lại là dv Từ đó ta có cách đặt u của các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau:

Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ

Header Page 3 of 145

Footer Page 3 of 145

Bài 12: Tính các tích phân

a)

4

0sin 2 d

x x x



2 2

0(x 1) cos dx x

2ln(x x x)d

1

lnd

e

e

x x x



e)

1

3(2 ) ln d

1

ln d

x

x x x

1 ln( 1)

d

x x x

0sin 2 d

0sin 5 d

0sin d

Dạng 4 Nếu f x  liên tục và f a b(  x) f x( ) hoặc f a b(  x) f x( )thì đặt: tab–x

Đặc biệt, nếu a b  thì đặt t –x ; nếu a b 2 thì đặt t2 – x

Bài 16: Tính các tích phân sau:

a)

5 4

2017

4

dcos

x x x

1 2

1 2x

x x





2 4

4

sin d( x 1)

x x e





Header Page 4 of 145

Bài 18: Tính các tích phân sau:

a)

3 2

0

cos dcos sin

2017 2017 0

4 cos

x x

Khi đó diện tích Scủa hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x y( ), 0,xa x,  b

Bài toán 3: Vận dụng tính chất của nguyên hàm f x( ) f x x( )d

Chú ý:  Xét chuyển động có quãng đường là một hàm số theo thời

gian t : ss t( ) Ta có

+)Vận tốc tức thời tại thời điểm t của

chuyển động là v t( )s t( )s t( )v t( )dt

+)Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là: ( ) a t v t( )s t( )v t( )a t t( )d

 Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t : QQ t( ) Khi đó: Cường độ

tức thời của dòng điện tại thời điểm t là ( ) I t Q t( )Q t( )I t( )dt

Bài toán 4: Một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v f t( ) (0 t T) Khi đó quảng đường L của vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm ta đến thời điểm tb (0abT) là:

( )d

b

a

L f t t Phần này ta chủ yếu xét dạng bài toán 3 và bài toán 4 Các dạng bài toán 1, bài toán 2 sẽ gặp lại trong phần 3 ứng dụng tích phân

Bài 20: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục với phương trình chuyển động tại thời điểm t là

a)Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t10( )s

b)Tính vận tốc nhỏ nhất của chất điểm từ thời điểm t1( )s đền thời điểm t6( )s

Hinh1

Hinh 2

Header Page 5 of 145

Footer Page 5 of 145

Bài giải :

a)Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t là: v t( )xt26t10 (cm s/ )

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t10( )s là: v(10)50(cm s/ )

b)Ta có v t liên tục trên đoạn ( ) 1;6

Bài 21: Một dòng điện có điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t có phương trình là:

1

3

Q t  t  t  t c , t tính theo đơn vị giây ( ) s

Tính cường độ dòng điện lớn nhất từ thời điểm t 1( )s đến thời điểm t5( )s

Bài giải :

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là: I t( )Q t( )t24t 7

Ta có: I t liên tục trên đoạn ( )  1;5

Bài 22: Một vật chất điểm đang chuyển động với vận tốc v t m s , có gia tốc ( )( / )

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là: v t( )a t( )dtt3t2 t C

5(m s/ )v(0) 5 C 5 v t( )t t   t 5Vậy vận tốc của chất điểm sau 3 giây là: v(3)44(m s/ )

Bài 23: Một dòng điện có điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t là Q t c , có cường độ là ( ) ( )

Bài 24: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là f t con vi

 và ban đầu bệnh nhân có 1000 con vi khuẩn Sau 10 ngày bệnh nhân

phát hiện ra bị bệnh Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ?

Bài giải :

Số lượng vi khuẩn HP tại ngày thứ t là: f t  f t t( )d 1000 ln(2t1)C

Ban đầu có 1000 con vi khuẩn  f(0)1000C1000 f t( )1000 ln(2t1) 1000

Vậy số lượng con vi khuẩn tại ngày thứ 10 là: f(10)1000 ln(2.10 1) 1000  4044, 52(con)

Bài 25: Một vật chuyển động với vận tốc v t( ) 1 2 cos 2 (m/s)  t Tính quãng đường vật đi được từ thời

điểm t0( )s đến thời điểm ( )

Bài 26: Một ôtô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người đó đạp thắng Sau khi đạp thắng, ôtô chuyển

động chậm dần dần đều với vận tốc ( )v t  40t20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp thắng Hỏi từ lúc đạp thắng đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

F   f x x thì giá trị F(2) bằng?

Câu 2 Nếu f(1)2, (6)f 21, f x liên tục thì giá trị'( )

6 '

1( )d

Câu 10 Nếu các hàm số f x  và g x  đều xác định, liên tục và cùng không đổi dấu trên a b;  thì

đẳng thức nào sau đây là đúng?

b

f x x

f x x

f x xa

5

4d

f x xb

4

1d

Câu 16 Tính I =

3 2

1(2x 4x1)dx

dx I x

 bằng

A. 31

31.5

724

2d100

3 1

a x x

dx I

x

x x

3

4 2 9 2 73

I  

Câu 28 Tìm a, biết

1

2 0

d

a x

Footer Page 11 of 145

x I

d

x I

d1

Footer Page 13 of 145.

Câu 49 Tích phân  

2

0sin cos 1 d

0sin d

0cos d

Câu 65 Tính

4

0sin 3 sin d

1d

Câu 71 Tích phân:

1

3 0

d( 1)

x x J

Câu 72 Tích phân

3

2 2

d1

d1

x x I

0

2.3

1d

Câu 81 Tích phân

3 2

2 0

sin cos

dcos 1

0sin cos d

Câu 90 Tích phân

2

sin

0cos xd

3d3

x I

t t I

a



4.16

a



3.16

a



3.8

d2

x x

1

2 0

d2

x x



1

2 0

d1

x x



4

2 0

d1

x x

1d

d4

x x

Loại 7: Phương pháp tính phân từng phần d d

b a

2

1(2 1) ln d

lnd

2ln( )d

I  x x x là :

Header Page 20 of 145

Câu 108 Tìm a 0 sao cho 2

A.

3 2

sin

2 cos

x x x

3

1

x x x

 thì m là nghiệm phương trình nào sau đây?

A. sin 2x 0 B. cosx 0 C. sinx 1 D. cos 2x 0

LOẠI 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM

Câu 115 Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t  Biết rằng '  4000

Header Page 21 of 145

Footer Page 21 of 145

Câu 116 Một vật chuyển động với vận tốc v t m s/  có gia tốc

Câu 119 Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày

xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là   2 3

Câu 120 Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m s/ thì tăng tốc với gia tốc a t( )3tt m s2( / 2)

Hỏi quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?

Câu 121 Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F t , biết

nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữA. Biết ( ) 1000

F t

t

 

 và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân

phát hiện ra bị bệnh Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?

A. 5433,99 và không cứu được B.1499,45 và cứu được.

C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được.

Header Page 22 of 145

Câu 122 Một dòng điện có điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t là Q t c , có cường độ là ( ) ( )



C. 15( )c

20( )c

Câu 127 Gọi h t  cm là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm được t giây Biết rằng   13

Câu 128 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10  t m s/  Quãng đường vật di

chuyển được thời điểm t0  s đến thời điểm mà vật dừng lại là

A. S 1280  m B. S1240  m C. S 2560  m .

D. S640  m

Câu 129 Một vật chuyển động với vận tốc v t  1 2sin 2 t m s/  Quãng đường vật di chuyển trong

khoảng thời gian từ thời điểm t0  s đến thời điểm 3  

A.S 48( )m B.S 49( )m C.S 50( )m D.S 51( )m

Câu 131 Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a m s thì người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, ô tô ( / )

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( ) 5ta m s( / ), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh

đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét

Header Page 24 of 145

Vũng Tàu, ngày 09 tháng 01 năm 2017

Người thực hiện Đặng Ngọc Hiền Header Page 25 of 145

Footer Page 25 of 145