Đại số B1 chương 3

B được gọi là một cơ sởcủa V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính... Khi đó ta nói không gian vector V hữu hạn chiều trên R ; m được gọi là số chiều dimension của V trên R và ký

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Nguyễn Anh Thi

Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2015

Chöông 3

KHOÂNG GIAN VECTOR

Định nghĩa

Cho V là một tập hợp khác ∅ Ta nói V là mộtkhông gian vector

trên R nếu trong V

i) tồn tại một phép toán "cộng vector", tức là một ánh xạ

Khi đó ta gọi :

I mỗi phần tử u ∈ V là mộtvector

I mỗi số α ∈ R là mộtvô hướng

I vector 0 là vector không

I vector (−u) là vector đối của u.

Ví dụ

Xét V = R n= {u = (x1,x2, ,xn)|xi ∈ R, i ∈ 1, n} với phép cộng

vector và phép nhân vô hướng xác định bởi:

Ví dụ

Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một

số thực thông thường là một không gian vector trên R Trong đó,

I Vector không là ma trận không

I Vector đối của A là ma trận −A.

Ví dụ

Tập hợp

R[x] = {p(x) = anx n+ · · · +a1x + a0|n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vector

trên R với phép cộng vector là phép cộng đa thức thông thường vàphép nhân vô hướng với vector là phép nhân thông thường một sốvới đa thức

Ví dụ

Cho V = {(x1,x2,x3) ∈ R3|2x1+ 3x2+x3= 0} Khi đó V là một

không gian vector trên R

Ví dụ

Cho W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|x1+x2− 2x3 = 1} Khi đóW không là

không gian vector, vì

u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W nhưng u + v = (3, 5, 3) 6= W

2.1 Tổ hợp tuyến tính

2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

2.1 Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa

Cho u1,u2, ,uk ∈ V Mộttổ hợp tuyến tínhcủa u1,u2, ,uk làmột vector có dạng

u = α1u1+ α2u2+ · · · + αkuk

với αi∈ R(i ∈ 1, k).

Khi đó, đẳng thức trên được gọi làdạng biểu diễn của u theo các vector u1,u2, ,um

I Vector 0 luôn luôn là tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uk vì

0 = 0u1+ 0u2+ · · · + 0uk

I Mọi tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uj (j ∈ 1, k) đều là tổ

hợp tuyến tính của u1,u2, ,uj, uj+1, , u k vì

α1u1+ · · · + αjuj= α1u1+ · · · + αjuj+ 0uj+1+ · · · + 0uk

I Mọi tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uk−1, uk đều là tổ hợp

tuyến tính của u1,u2, ,u k−1 khi và chỉ khi u k là một tổ hợp

tuyến tính của u1,u2, ,uk−1

Khi đó vector u = (b1,b2, ,bn) ∈ R n là tổ hợp tuyến tính của

u1,u2, ,uk khi và chỉ khi hệ pt UX = B có nghiệm X,

2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

I u1,u2, ,u k phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

α1, α2, , αk∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho

αu + α u + · · · + α u = 0

2 Tập con S ⊆ V được gọi làđộc lập tuyến tính nếu mọi tập con

hữu hạn {u1,u2, ,u k} ⊆ S (k ∈ N) tùy ý) đều độc lập tuyến tính Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói Sphụ thuộc tuyếntính

Ví dụ

Trong không gian R3 cho các vector

u1= (1, 2, −3);u2= (2, 5, −1);u3 = (1, 1, −8)

I u1,u2 độc lập tuyến tính

I u1,u2,u3 phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét

Các vector u1,u2, ,uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vector ui, sao cho ui được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.

Hệ quả

Cho u1,u2, ,u k là k vector trong R n Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1,u2, ,uk thành các dòng Khi đó u1,u2, ,uk độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = k.

Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vector trong Rn

Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1,u2, ,um thành cácdòng

Bước 2: Xác định hạng r(A) của A.

I Nếu r(A) = m thì u1,u2, ,um độc lập tuyến tính

I Nếu r(A) < m thì u1,u2, ,um phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông Khi đó có thể thay

bước 2, thành bước 2‘ sau đây:

Bước 2`: Tính định thức det A.

I Nếu det A 6= 0 thì u1,u2, ,um độc lập tuyến tính

I Nếu det A = 0 thì u1,u2, ,um phụ thuộc tuyến tính

3 Cơ sở và số chiều của không gian vector

3.1 Tập sinh

3.2 Cơ sở và số chiều

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi làtập sinhcủa V

nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta

nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụTrong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3 = (2, 3, 1)} HỏiS có là tập

sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi làtập sinhcủa V

nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta

nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3= (2, 3, 1)} HỏiS có là tập

sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi làtập sinhcủa V nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3= (2, 3, 1)} HỏiS có là tập

sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm Vậyu0 không là tổ hợp tuyến

tính của u1,u2,u3 Suy ra S không là tập sinh của R3

u0= (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm Vậy u0 không là tổ hợp tuyến

tính của u1,u2,u3 Suy ra S không là tập sinh của R3

3.2 Cơ sở và số chiều

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và B là con của V B được gọi là một

cơ sởcủa V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

B = {u1 = (1, 1, 1);u2= (1, 2, 1);u3= (2, 3, 1)}.Kiểm tra B là cở sở của R3

Trong không gian R4, cho B = {u1 = (1, 1, 1, 1),u2=

(2, 3, −1, 0),u3 = (−1, −1, 1, 1),u4= (1, 2, 1, −1)} Kiểm tra B là

cơ sở của R4

Bổ đề

Giả sử V sinh bởi m vector V = hu1,u2, ,umi Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử.

Hệ quả

Nếu V có một cơ sở B hữu hạn gồm m vector B = {u1,u2, ,um}

thì mọi cơ sở khác của V cũng hữu hạn và có đúng m vector Khi đó ta nói không gian vector V hữu hạn chiều trên R ; m được gọi là số chiều (dimension) của V trên R và ký hiệu dimRV, hay dim V Trong trường hợp ngược lại, ta nói không gian vector V vô hạn chiều trên R, ký hiệu dimRV = ∞, hay dim V = ∞.

Ví dụ

Trong không gian Rn, xét B0= {e1,e2, ,en}, trong đó

e1 = (1, 0, 0, , 0),

e2 = (0, 1, 0, , 0),

en = (0, 0, 0, , 1)

Với u = (x1,x2, ,xn) ∈ R n Ta có

u = x1e1+x2e2+ · · · +xnen

Do đó B0 là tập sinh của Rn Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên

B0 là cơ sở của Rn B0 được gọi làcơ sở chính tắccủa Rn Như vậy

dim Rn=n

Ví dụ

Không gian Rn[x] gồm các đa thức theo x bậc không quá n với hệsố trong R, là không gian vector hữu hạn chiều trên R có

dim Rn[x] = n + 1 với cơ sở B0 = {1,x, , x n} Ta gọi

B0 = {1,x, , x n} làcơ sở chính tắccủa Rn[x]

Ví dụ

Không gian R[x] gồm tất cả các đa thức theo x với hệ số trong R,

là không gian vector vô hạn chiều trên R với cơ sở

B0

0 = {1,x, x2, } làcơ sở chính tắc của R[x].

Ví dụ

Kiểm tra tập hợp nào sau đây là cơ sở của không gian vector R3 ?a) B1= {u1= (2, 3, 4),u2 = (4, 5, 6)}

b) B2= {u1= (1, 2, 3),u2 = (2, 3, 4),u3= (3, 4, 5),u4= (4, 5, 6)}c) B3= {u1= (1, −2, 1),u2= (1, 3, 2),u3 = (−2, 1, −2)}

d) B4= {u1= (2, −1, 0),u2= (1, 2, 3),u3 = (5, 0, 3)}

Ví dụ

S = {u1= (1,m − 2, −2), u2= (m − 1, 3, 3), u3= (m, m + 2, 2)}.

Tìm điều kiện của m để S là cơ sở của R3

Do số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của R3 khi S độc lập

det A = m − m2 Suy ra S độc lập tuyến tính khi det A 6= 0 Vậy S

là cơ sở của R3 khi m 6= 0 và m 6= 1.

Ví dụ

S = {u1= (1,m − 2, −2), u2= (m − 1, 3, 3), u3= (m, m + 2, 2)} Tìm điều kiện của m để S là cơ sở của R3

Do số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của R3 khi S độc lập

det A = m − m2 Suy ra S độc lập tuyến tính khi det A 6= 0 Vậy S

là cơ sở của R3 khi m 6= 0 và m 6= 1.

4 Không gian vector con

4.1 Định nghĩa

4.2 Không gian sinh bởi tập hợp4.3 Không gian dòng của ma trận4.4 Không gian tổng

4.5 Không gian nghiệm

1) W = {0} và V là các không gian vector con của V Ta gọi đây là

các không gian con tầm thườngcủa V.

2) Trong không gian R3, đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ 0 là

một không gian con của R3

Ví dụ

Cho W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|2x1+x2− x3 = 0} HỏiW có là không

Ta có W ⊂ R3 , và 0 ∈ W Với u = (u1,u2,u3) vàv = (v1,v2,v3),

ta chứng minh αu + v ∈ W.

Ta cóαu+v = α(u1,u2,u3)+(v1+v2+v3) = (αu1+v1, αu2+v2, αu3+v3)

2(αu1+v1)+αu2+v2−αu3−v3 = α(2u1+u2−u3)+(2v1+v2−v3) = 0

Ví dụ

Cho W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|2x1+x2− x3 = 0} HỏiW có là không

Ta có W ⊂ R3 , và 0 ∈ W Với u = (u1,u2,u3) vàv = (v1,v2,v3),

ta chứng minh αu + v ∈ W.

Ta có

αu+v = α(u1,u2,u3)+(v1+v2+v3) = (αu1+v1, αu2+v2, αu3+v3)

2(αu1+v1)+αu2+v2−αu3−v3 = α(2u1+u2−u3)+(2v1+v2−v3) = 0

Định lý

Giao của một họ tùy ý các không gian con của V cũng là một không gian con của V.

Cho {Wi}i∈I là một họ những không gian con của V Đặt

W = ∩i∈IWi = {u ∈ Wi, ∀i ∈ I}

Ta chứng minh W là một không gian con của V Trước hết ta có

W 6= ∅, vì 0 ∈ W Chọn u, v ∈ W, và α ∈ R, ta chứng minh

αu + v ∈ W Vì u, v ∈ W, nên u, v ∈ Wi với mọi i ∈ I Do đó

αu + v ∈ Wi với mọi i ∈ I Hay αu + v ∈ W.

Chú ý

Hợp của hai không gian con của V không nhất thiết là một không gian của của V

4.2 Không gian con sinh bởi một tập hợp

Định nghĩa (Không gian con sinh bởi một tập hợp)

Cho S là một tập con của V (S không nhất thiết là không gian con của V) Gọi {Wi}i∈I là họ tất cả những không gian con của V có chứa S (họ này khác rỗng vì có chứa V) Đặt

W = ∩i∈IWi Khi đó W là một không gian con của V và W phải là không gian con nhỏ nhất của V có chứa S Ta gọi

1) W là không gian con sinh bởi S và được ký hiệu là hSi.

2) S là tập sinhcủa hSi.

3) Nếu S hữu hạn, S = {u1,u2, ,un} thì hSi được gọi là khônggian con hữu hạn sinh bởi u1,u2, ,un và được ký hiệu là

hu1,u2, ,uni

Định lý

Cho ∅ 6= S ⊆ V Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập

hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy

ý các vector trong S, nghĩa là

hSi = {u = α1u1+ · · · + αnun|n ∈ N, ui ∈ S, αi ∈ R, i ∈ 1, n}

Hệ quải) Nếu S = ∅ thì hSi = {0}.

ii) Nếu S = {u1,u2, ,un} thì

hSi = {α1u1+ α2u2+ · · · + αnun|αi ∈ R, i ∈ 1, n}

iii) Nếu S ≤ V thì hSi = S

iv) Cho S ⊆ V và W ≤ V Khi đó S ⊆ W ⇔ hSi ≤ W

v) Nếu S1⊆ S2⊆ V thì hS1i ≤ hS2i

Định lý

Cho ∅ 6= S ⊆ V Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy

ý các vector trong S, nghĩa là

hSi = {u = α1u1+ · · · + αnun|n ∈ N, ui ∈ S, αi ∈ R, i ∈ 1, n}

Hệ quả

i) Nếu S = ∅ thì hSi = {0}.

ii) Nếu S = {u1,u2, ,un} thì

hSi = {α1u1+ α2u2+ · · · + αnun|αi ∈ R, i ∈ 1, n}

iii) Nếu S ≤ V thì hSi = S

iv) Cho S ⊆ V và W ≤ V Khi đó S ⊆ W ⇔ hSi ≤ W

v) Nếu S1⊆ S2⊆ V thì hS1i ≤ hS2i

= {(aij)m×n|aij∈ R} = Mm×n(R)

a) Chứng minh W là không gian con của R3.

b) Tìm một tập sinh của W.

a) Ta thấy 0 ∈ W Cho u = (x1+ 2y1,x1− y1,y1) và

v = (x2+ 2y2,x2− y2,y2) là 2 vector trong W Ta chứng minh rằng với mọi α ∈ R, ta có αu + v ∈ W.

αu + v = (αx1+ 2αy1+x2+ 2y2, αx1− αy1+x2− y2, αy1+y2)

=

((αx1+x2) + 2(αy1+y2), (αx1+x2) − (αy1+y2), αy1+y2) ∈W

vì αx1+x2, αy1+y2 ∈ R Vậy W ≤ R3

b)

W = {(x+2y, x−y, y)|x, y ∈ R} = {x(1, 1, 0)+y(2, −1, 1)|x, y ∈ R}

Vì mọi vector trong W là tổ hợp tuyến tính của u1= (1, 1, 0) và

u2= (2, −1, 1), nên S = {u1,u2} là tập sinh của W.

Định lý

Cho V là không gian vector và S1,S2 là tập con của V Khi đó, nếu mọi vector của S1 đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong S2 và ngược lại thì hS1i = hS2i

Định lý (về cơ sở không toàn vẹn)

Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và S là một tập con độc lập tuyến tính của V Khi đó, nếu S không phải một cơ sở của

V thì có thể thêm vào S một số vector để được một cơ sở của V.

Định lý

Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều sinh bởi S Khi đó tồn tại một cở sở B của V sao cho B ⊆ S Nói cách khác, nếu S không phải là một cơ sở của V thì ta có thể loại bỏ ra khỏi S một số vector để được một cơ sở của V.

4.3 Không gian dòng của ma trận

Định lý

Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng, thì WA=WB, nghĩa là hai ma trận tương đương dòng có cùng không gian dòng.

Cách tìm số chiều và cơ sở của không gian dòng

Vì các vector dòng khác 0 của một ma trận dạng bậc thang luônluôn độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của khônggian dòng Từ đây ta suy ra cách tìm số chiếu và một cơ sở của

không gian dòng của ma trận A như sau:

I Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.

I Số chiều của không gian dòng WA bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các vector dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của WA

Thuật toán tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của Rn khi biết một tập sinh

Giả sử W = hu1,u2, ,umi ≤ R n , (u1,u2, ,umkhông nhất thiết

độc lập tuyến tính) Để tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến

hành như sau:

Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1,u2, ,um thành các

dòng

Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.

Bước 3: Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng

r(A)) và các vector dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W.

Ví dụ

u1,u2,u3,u4, trong đó u1= (1, 2, 1, 1);u2= (1, 2, 1, 2);u3 =

(4, 8, 6, 8);u4= (8, 16, 12, 20)

4.4 Không gian tổng

Định lý

Cho W1,W2, ,Wn là các không gian con của V Đặt

W = {u1+u2+ · · · +un|ui ∈ Wi, i ∈ 1, n}

Khi đó W là không gian con của V sinh bởi ∪ n

i=1 Wi Ta gọi W là không gian tổng của W1,W2, ,Wn, ký hiệu là

W1+W2+ · · · +Wn hayPni=1 Wi.

Ví dụ

Trong không gian R4 cho các vector u1 = (1, 2, 1, 1);v1=

(1, 3, 3, 3);u2= (3, 6, 5, 7);v2= (2, 5, 5, 6);u3 = (4, 8, 6, 8);v3=(3, 8, 8, 9);u4= (8, 16, 12, 16);v4= (6, 16, 16, 18) Dặt

W1= hu1,u2,u3,u4i và W2 = hv1,v2,v3,v4i Tìm một cơ sở và xác

định số chiều của không gian W1+W2

W1 là không gian dòng của ma trận

Do đó W1 có số chiều là 2 và một cơ sở là {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2)}

W2 là không gian dòng của ma trận

Không gian W1+W2 sinh bởi các vector

4.5 Khoâng gian nghieäm

Hệ đã cho tương đương với hệ

Đặt W = {(−17α + 29β, 10α − 17β, α, β)|α, β ∈ R}

= {(−17α, 10α, α, 0) + (29β, −17β, 0, β)|α, β ∈ R}

= {α(−17, 10, 1, 0) + β(29, −17, 0, 1)|α, β ∈ R}

= h(−17, 10, 1, 0); (29, −17, 0, 1)i

Đặt u1= (−17, 10, 1, 0);u2= (29, −17, 0, 1) Ta gọiu1,u2 là

nghiệm cơ bảncủa hệ (1) Ta có W = hu1,u2i u1,u2 độc lập

tuyến tính Suy ra {u1,u2} là một cơ sở của W và dim W = 2.

Ta gọi W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất (1)

am1x1 + am2x2 + + amn xn = 0.

Khi đó SA là một không gian con của R n Ta gọi SA là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0.

Để tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm SA của hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, ta tiến hành các bước

sau:

nghiệm cơ bản của hệ AX = 0 có s ẩn tự do x k1,x k2, ,x k s Với

mỗi i ∈ 1, s, chọn xk i = 1;xk j = 0; ∀j 6= i, ta được nghiệm uki Khi

đó {uk1,uk2, ,uk s} là một nghiệm cơ bản

cơ bản {u k,u k , ,u k} làm một cơ sở

5 Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở

5.1 Tọa độ

5.2 Ma trận chuyển cơ sở

5.1 Tọa độ

Định nghĩa

Cho B = {u1,u2, ,un} là một cơ sở của không gian vector V trên R Khi đó với mọi u ∈ V phương trình

α1u1+ α2u2+ · · · + αnun=u (1) luôn luôn có duy nhất một

nghiệm Gọi (α01, α02, , α0n) là nghiệm của (1) Ta đặt

là ma trận có được bằng cách dựng

u1,u2, ,u k thành các cột.

Nhận xét

I Đối với cơ sở chính tắc B0= {e1,e2, ,en} của không gian

Rn , với mọi u = (b1,b2, ,bn) ∈ R n , ta có