Đại số B1 chương 1

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2015... Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nội dung 1 Chương 1: MA T

Trang 1

Bài giảng môn

2 Các phép biến đổi

sơ cấp trên dòng

Bài giảng môn học Toán B1

Nguyễn Anh Thi

Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2015

Trang 2

Trang 3

Nội dung

1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Ma trận

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

3 Hệ phương trình tuyến tính

4 Ma trận khả nghịch

5 Phương trình ma trận

Trang 4

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

3 Hệ phương trình tuyến tính

Trang 5

1 Ma trận

Trang 6

4 Ma trận khả nghịch

5 Phương trình ma trận

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

aij là hệ số ở dòng i, cộtj của ma trận A (hệ số này còn được ký hiệu là Aij)

Trang 7

1 Ma trận

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Trang 8

1.2 Ma trận vuông

Định nghĩa

Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n × n, (số dòng bằng

Trang 9

1 Ma trận

Định nghĩa

a11,a22, ,a nn được gọi làđường chéo chính hayđường chéo

Trang 10

Trang 11

1 Ma trận

Định nghĩa

Ma trận đơn vị cấp n , ký hiệu In hay I, là ma trận chéo cấp n

mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1

Trang 12

• A = (a ij)n×n là ma trận tam giác trên khi và chỉ khi

a ij = 0, ∀1 ≤j < i ≤ n.

• B = (b ij)n×n là ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi

Trang 13

1 Ma trận

Trang 14

1.3 Các phép toán ma trận

Định nghĩa (so sánh hai ma trận)

nóiA bằng B , ký hiệu A = B, nếu aij=b ij, ∀ i ∈ 1, m, j ∈ 1, n.

Trang 15

1 Ma trận

Định nghĩa (phép lấy chuyển vị)

chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận loại n × m, có được từ

A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng,

nghĩa là nếu A =

Trang 16

Nếu A>=A thì ta nói A là ma trận đối xứng Nếu A>= −A

Tính chất

Cho A, B ∈ M m×n(R) Khi đó

• (A>)>=A;

• A> =B>⇔ A = B.

Trang 17

1 Ma trận

Trang 18

Định nghĩa (Phép nhân vô hướng với ma trận)

ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α,

nghĩa là

αA = (αa ij)

A.

Trang 19

1 Ma trận

Trang 20

Định nghĩa (Phép cộng ma trận)

là ma trận được xác định bởi:

A + B = (a ij+b ij)m×n.

Ví dụ

Trang 21

1 Ma trận

Trang 22

Định nghĩa (phép nhân ma trận)

Trang 23

1 Ma trận

Trang 24

Trang 25

1 Ma trận

(AB)C = A(BC).

cộng , nghĩa là

A(B1+B2) =AB1+AB2;

(D1+D2)A = D1A + D2A.

Trang 26

Trang 27

1 Ma trận

Định nghĩa (lũy thừa ma trận vuông)

Trang 28

Trang 29

1 Ma trận

Trang 30

Trang 31

1 Ma trận

Trang 32

1 Ma trận

Trang 33

1 Ma trận

Trang 34

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên

dòng

2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

2.2 Ma trận bậc thang

2.3 Hạng của ma trận

Trang 35

1 Ma trận

hiệu: d i:=d i+ βd j

Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) là ma trận có

Trang 36

Trang 37

1 Ma trận

Trang 38

Định nghĩa

ma trận bậc thang nếu A thỏa hai tính chất sau:

giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên

Trang 39

1 Ma trận

Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng

Trang 40

Trang 41

1 Ma trận

Trang 42

Định nghĩa (Ma trận bậc thang rút gọn)

chất sau được thoả

1 A có dạng bậc thang.

sở đều bằng 0

Trang 43

1 Ma trận

Trang 44

Định nghĩa

của A làhạngcủa A, ký hiệu r(A)

Mệnh đề

Cho A, B ∈ M m×n(R) Khi đó:

ii r(A) = 0 ⇔ A = 0;

Trang 45

1 Ma trận

Định nghĩa

Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B

Nhận xét

Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu R A

Trang 46

1 Ma trận

phép biến đổi: d2:=d2+ 2d1, d3 :=d3− 3d1, d2:= −1d2,

d1:=d1− 2d2

Trang 47

1 Ma trận

phép biến đổi: d2:=d2+ 2d1, d3 :=d3− 3d1, d2:= −1d2,

d1:=d1− 2d2

Trang 48

Thuật toán Gauss - Tìm dạng bậc

thang của ma trận A ∈ Mm×n(R)

• Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc.

hiện các phép BĐSCTD sau:

Trang 49

1 Ma trận

Trang 50

Trang 51

1 Ma trận

Trang 52

Trang 53

1 Ma trận

Để đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn , ta làm như thuật

toán Gauss ở các Bước 1, 2, 4, riêng ở Bước 3 ta cần thực hiệncác phép biến đổi sau:

Trang 54

Trang 55

1 Ma trận

Trang 56

3 Hệ phương trình tuyến tính

3.1 Định nghĩa

3.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính

3.4 Định lý Kronecker-Capelli

Trang 57

1 Ma trận

a m1 x1+a m2 x2+ · · · +a mn x n=b m,

(∗)

trong đó

Trang 58

1 Ma trận

3.1 Định nghĩa

• a ij là các hệ số;

• b i ∈ R là các hệ số tự do;

• x1,x2, ,x n là các ẩn số nhận giá trị trong R;

làhệ phương trình tuyến tính thuần nhấttrên R

Trang 59

1 Ma trận

3.1 Định nghĩa

Trang 60

1 Ma trận

3.1 Định nghĩa

Trang 61

1 Ma trận

3.1 Định nghĩa

Trang 62

3.1 Định nghĩa

Trang 63

1 Ma trận

Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B Đặt

Trang 64

1 Ma trận

Trang 65

1 Ma trận

Trang 66

1 Ma trận

Trang 67

1 Ma trận

Trang 68

nếu ta thay thế x1 := α1,x2= α2, · · · ,x n:= αn thì tất cả cácphương trình trong (∗) đều thỏa

Định nghĩa

Trang 69

1 Ma trận

• Hoán đổi hai phương trình cho nhau.

• Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0.

• Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác.

Trang 70

Ví dụ

Giải hệ phương trình



x − y − 2z = −3;

Trang 71

1 Ma trận

Trang 72

Trang 73

1 Ma trận

Định dạng
Số trang	118
Dung lượng	1,28 MB