su bien thien ham so luong giac

BÀI 1SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC... Tính tuần hoàn của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y=fx xác dịnh trên tập D... Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác* Hàm số y=sinx và

BÀI 1

SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

y

1 Tính tuần hoàn của hàm số

f(x) f(x+2L) f(x+L)

f(x+3L)

(C): y=f(x)

f(x) = f(x+L) = f(x+2L) = f(x+3L)= …

y

1 Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa:

Cho hàm số y=f(x) xác dịnh trên tập D

Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu ta tìm được 1 số dương L sao cho với mọi x∈D ta có :

1/ x ± L∈ D

2/ f(x ± L) = f(x)

Số nhỏ nhất trong các số L thỏa 2 điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn

f(x) f(x+2L) f(x+L) f(x+3L)

(C): y=f(x)

f(x) = f(x+L) = f(x+2L) = f(x+3L)= …

2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

* Hàm số y=sinx và y=cosx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T=2π

Chứng minh: định nghĩa hsố tuần hoàn ?

Lấy số L=2π. Miền xác định của hàm số y=sinx là R

Nhận xét : nếu x∈R thì x+2π∈R vaø x-2π∈R và :

sin(x+2π)= sinx vaø sin(x-2π)= sinx , ∀x∈R

Ta chứng minh số 2π là chu kỳ của nó: Giả sử số L thỏa

điều kiện định nghĩa và : 0< L< 2π

Suy ra : ∀x∈R : sin(x± L) = sinx

Với x= π/2 ta có : sin(π/2+L)=1 Suy ra π/2+L = π/2+K2π Vậy L= k2π (k∈Z) (*)

Nhưng vì 0<L<2π nên (*) không thể xảy ra được

Vậy số nhỏ nhất thỏa định nghĩa là T=2π

* Hàm số y=tgx và y=cotgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T= π

Chứng minh: tương tự như đối với hàm số y=sinx

π

D R \ kπ

2

Chú ý rằng :

3/ Đồ thị của hàm số tuần hoàn

Ta vẽ đồ thị (C0) của hàm số trong 1 khoảng có độ dài bằng chu kỳ T, chẳng hạn đoạn [0;T]

Gọi là vectơ có độ dài bằng T và cùng phương với Oxvr Lần lượt tịnh tiến liên tiếp (C0) theo vectơ ta được toàn bộ đồ thị của hàm số

v , 2v, 3v r r r

x

y

(C 0 ): y=f(x)

v r

4 Khảo sát các hàm số lượng giác

4.1 Hàm số y=sinx

Vì hàm số y =sinx tuần hoàn và có chu kỳ T=2π nên

ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [0;2π]

x 0 π /2 π 3 π /2 2 π

1

0

-1 0

y

x

3π 2

π 2

1

-1

∀x∈R: sin(-x)= -sinx : hàm số sin là 1 hàm số lẻ

vr

3π 2

π 2

π

π 2

−

y

x

1

-1

4.2 Hàm số y=cosx (tương tự)

Vì hàm số y =cosx tuần hoàn và có chu kỳ T=2π nên

ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [-π/2 ; 3π/2]

x - π /2 0 π /2 π 3 π /2

∀x∈R: cos(-x)= cosx : hàm số cos là 1 hàm số chẵn

v r

4.3 Hàm số y=tgx

Hàm số y=tgx xác định với mọi x : x π kπ

2

≠ +

Vì hàm số tang là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=π

Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (-π/2 ; π/2)

x - π /2 0 π /2

−∞

+ ∞

∀x≠π/2+kπ: tg(-x)= -tgx : hàm số tang là 1 hàm số lẻ

Đồ thị hàm số y = tgx

π 2

π 2

− π

2

y

3π

3π 2

−

4.4 Hàm số y=cotgx

Hàm số y=cotgx xác định với mọi x : x kπ≠

và là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=π Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T,

chẳng hạn khoảng (0; π)

x 0 π/2 π

−∞

+ ∞

∀x≠kπ :cotg(-x)= -cotgx : hàm số cotang là 1 hàm số lẻ

Đồ thị hàm số y=cotgx

π 2

π π

2

−

x

y

3π 2

2π

π

−