Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ

TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I.. Định lý tổng quát về phân tích đa thức: Mọi đa thức Qx#0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử không tính theo thứ

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ — T rần Phương

§6 TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

I CÁC ĐỊNH NGHĨA

P(x)

O(x)

1 Phân thức hữu tỉ: với P{x),O(z) là các đa thức với các hệ số thực

SỐ vGi degP(x) < degQ(x)

x

2 Phần thức thực sự: là phân thức hữu tỉ Pa

3 Phân thức đơn giản: Là các phân thức có Ï trong 4 dạng sau:

xa (x-a)° xÌ+px+g (x? + px+q)

4 Định lý tổng quát về phân tích đa thức:

Mọi đa thức Q(x)#0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích

thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị

thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức A<0, tức là ta có:

#

O(x) = A(x-a,)’ ¬ yi (x? +px+4/) ¡ a(x? + PyX +p "

trong đó: A #0; a), ., a, la cac nghiệm thực phân biệt của Q(x); va pi, gq; la

các số thực thoả mãn A.= pˆ =4q,<0; deg Q=n,+ +y + 2, + đượn

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

1 Đặt vẫn đề:

P(x)

O(x)

Nếu đegP”(x) > degO(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta có:

Xét Ứ= | dx vii P(x), O() là các đa thức với hệ số thực

Py) =G(x)+ PO) ;degP <degO => P ook ly = |G@)ax+ pee dx

Virco thé dé dang tinh được [oQ)ax nén viéc tinh J = { (x) dx duoc

đưa về tính 7= pee OCs) aa voi deg P(x) < deg O(x)

730 cere

Chương l; Các kĩ thuật títh tích phân — Ti rần Phương

2 Phương pháp chung tính 7= lo dx v6i degP(x) < degQ(x):

x Dinh Ip: Néu Q(x) = A(x-a,)" (x-a Y* (x? +px+4,)" (x? + PyX+ Om)”

thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự a đều biểu diễn được dưới dạng:

Đ,¡x + Cụ, B,,x+ C,„ B,„x+ Coy

+ By, X + Chm By X+Czm B, „X + C, Mm

x + Py Xt dy, (x? + PX +p ) (x? + „x+đ„}

Đề bạn đọc dé hiểu, ta xét 4 trường hợp đặc biệt với các biểu diễn tương ứng:

2.1 Nếu Q(x)=(x~ á,) (x— &_,)(x— 4 )(x~4„„) (x— a„) thì giả sử

P(x) - = 4, + + A.) + A, + Ay) +-:-+————,VXx A,

Q(x) x-a, X-đ_, N-a X-đại x¬dq,

2.2 Nếu @Œ)=(x—ø,) (x—a,)(x—aÝ (x-a,,,) (x-a,) thi gia str

P(x) = A, feet A, + B, + B, ste t+ B, | +

+ /+ỉ eee n ,Wx

X~Q | x =8,

2.3 O(x) =(x-a,) (x-4,_,)(° + px+q)(x-a,,,) (x-4, );(p? —4q <0)

P(x) = =A, tenet A, + Bx+C + A,

2.4 Q(x) =(x—a,) (x-4_,)(° + px+q) (x-a„,) (x—a,);(p? -4q<0)

Pi) A, 4,1 + Bịx + C¡ "— +

Q(x) x-a, x-a,, |JA + pryt+g (x? + px+ q)

+——+ -+ , WX

X~ Gy X~d,

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, hoặc phương pháp gán các giá trị đặc

biệt, ta sẽ xác định được các gid tri Aj, Bi, on

74

$6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương

IỊ CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP

1 Dang 1: Q(x) =(x-a,) (x—a;_,)(x-a;)(x~4;,,) (x-a,)

1.1 Cac bai tap mau minh haga:

+1, = [725 -5x -3 he

x? +x? - 2x

Cách 1: Phương pháp hệ số bất định: Q(x) =x° +x? —2x =x(x — 1)(x +2)

„ ?6) _ 2x -5x-3 A oS ot B + C

Ox) xox? -2x x x-Ì x+2 ,VX

© 2x” —5x—3=Ăx—l)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x—I),Vx @®)

& 2x? -5x-3=(A+B+C)x? +(A+2B—-C)x—-2A, Vx

© 4A+2B-C=-5 ©42B-C=-13/2©4B=-2

Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt

Thay x= 0 vào (*) suy ra: 2A =3 > A = 3/2

Thay x = | vao (*) suy ra: 3B = -6 > B= —2

Thay x = —2 vao (*) suy ra: 6C = 15 > C=5/2

l= (2s ~3x- 34

= 5 [%-2f45 3

3

+1, = [aA x’ -5x? +4 ae 5 Ox) 2x4 5x? 4 =(e- D(x + DOe-2) (x42)

Giả _P(x) x +2 1a su ye —A =— + B — + C + Dy ,VX <S®

O(x) xí-šx +4 x-1 x-2 x+l x+2

xÌ +2=Ẳ ~4)(x+I)+B(x? ~I)(x+2)+C? -4)(x—D+DÍx? —1)(x—2), Vx @®)

Thay x = 1 vao (*) thi -6A =3 a A=-1/2

Thay x = 2 vao (*) thi 12B = 10 @ B = 5/6

Thay x = —-I vao (*) thi 6C=1@C= 1/6

Thay x = —2 vao (*) thi -12D=-6 @ D= 1/2

75

STROM

Chwong I: Cac ki thudt tinh tích phân — Trần Phương

x? +2

+2 [Se 2 64x41 xt poe

=—=ln|x~l|+ =In|x=2|+ —In|x + 1|+ —In|x + 2|+c

2x” -8x+ 10

I= fa 5 - dx; O(x)=x' +x? -4x-4=(x44+ 1) (x-2)(x + 2)

x +x -4x-4 , , P(x) 2xÌ-8x+10 A B lôi

O(x) x +x —-4x-4 x+i x-2 x+2

o> 2x? ~8x +10 =A (x? —4) + B(x 4 D(x 42) 4+ C(x 4+ D(x -2), Vx (*)

Thay x =—-1 vao (*) thi 20 =-3A => A = -20/3

Thay x = 2 vao (*) thh 2=12B>B= 1/6

Thay x = —2 vao (*) thi 34 =4C > C=17/2

Wyciutnie-ae2apeaee

cũ, =l¬ xitl yn, PO), 2X c6 + yy P(x)

IN + 6x Q(x) x” —5x* + 6x Q(x) O(x) =x? —5x° + 6x=x(x-2)(x-3)

Olx) x -5x +ốy x x-2 x-3

<> 5x? — 6x +1= A(x —2)(x —3)+ Bx (x -3)+ Cx (x -2), Vx (*)

Thay x = 0 vao (*) thi] =6A @ A= 1/6

Thay x = 2 vao (*) thi 9 = -2B <= B = -9/2

Thay x = 3 vào (*) thi 28 = 3C <= C = 28/3

1.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

- fe = 5x7 3N= dx = fs (x' ~9x? + 3x — 4)dx

76

§6 Tich phan các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương

2 Dang 2: Q(x) =(x—a, ) (x—a,,)(x—a,) (x —a,,,) (x—a, )

2.1 Các bài tập mẫu minh họa:

wy - (= FIx+3 1,

; x ~3x4+2_

O(x) =x) -3x4.2=(x- De? +x-2)=(x- 1) (x +2)

„ „ P(x) 3x7 +3x4+3 A B C

O(x) x—3x+2_ (x-П TV-T x+2

Thay x = 1 vao (*) thh 3A=9>A=3

Thay x= —2 vao (*) thh9C =9>C=1

Thay x = 0 vao (*) thi3 = 2A -2B+C>B=2

J = PEAR ay of dx wo (Se, E5

- 3 +2In|x= I|+ In|x + 2|+e

x-|

y= [toa (4x+4) dx

(x? - 4x+3)

O(x) =(¢? - 4x43) =(x—1)? (x3!

P(x) = 4x+4 A = + B + C + D » Vx

Q(x) (x? — 4x43) x1 (x_ x-3 (x~3

Giả sử

©4x+4=(A+C)x'+(-7A+B—-5C+D)x?+

+(15A -6B+7C—2D)x+(-9A +9B-3C+D), Vx (*)

15A -6B+7C- 2D =4 C=-3

77

ỷ———— - y ễït—mm

Cluờơng Ì: Các kĩ thuật tính tích phân - Trần Phương

J; = a It 2-3, “|e

46? =-4x43) 4L¥7! (x-De X-3) (x-3)

0

x-3/1,

dx

J, =] (x+7)(x+2} (x +3) 2 3

o1=A(x 42) (x 43) + Blx + D(x 43) +C(x+1)(x+2)(x+3Ÿ +

+D(x 4 D(x 42) + B(x + D(x +2) (x +3) 4 Fx 4 D(x +2) (x 43) (*)

Lân lượt thay x = —], x= -2, X= —3 vào (*) suy ra: Aas ;B=-kD==

: x A z a _& » nee ~ ` 5 4 3 z

Sau đó đông nhất các hệ sô ứng với các lũy thtra x”, x", x” ta co:

67A +10B+56C+D+8E+47F=0 |F=-17/8

`

==[—— ; = + Inx +1]+—— + 2Infx +2) 4

5S 17 9X” +50x +68 „ Lee Dx 2)" |

4(x+3) 4x23 8 mm |

2.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

(x3 + 12x? =S) dx | _ pox — 5x? +8x? ~ 7) dx, Le pore Dax

78

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương

3 Dang 3: Ó(x) =(x — đ¡) (x — a¡_;)(x7 +px +q) .(x — đan); (p? — 4q < 0) 3.1 Các bài tập mẫu minh họa:

«Ji = — + Idx

; xi tx? +1

O(x)=x4 +27 +1=(x? +1) ~x? =(x? +x4 D(x? -x+7

Q(x) xt 4x? 4+) x? txt] x? -x4]

© x41 =(Ax +B)(x? —x 41) +(Cx+ Dx? +x 41), Vx

© x”+lI=(A+C)x`+(CA+B+C+D)x°+(A-B+C+D)x+B+D,Vx

ou Sree ——

x +x +l 2°\x+x+I Xx -Xx+I

ÓO(x)=x'+1=? +1) -2x? =(x? -x 2+ I(x? +xJ2 +1)

O(x) x4] x? 4xJ24] x? -xV241

79

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương

o> x? ~1=(Ax+B)Íx? -xV/2+1)+(Cx+D)(x? +xV2 +1), Vx

x? -1=(A+C)x3 +(-AV2 4+ B+Cv2 +D)x? +

+(A-BV2 +C+DV2)x +(B+D), vx

>

A -~BV2+C+Dvy2 =0 C= 2/2

= L;= | dx=

I x2 =] 2 v2{ ~f 1 == 2x-J2 ay [Ae a 1 2x + 2

*={nlx —X 2+l|—nlx” +av/2 + ¬—m.h.h.n +2 1| =k n(3~ 2/2)

+ dx

eJ[,=

Ta có: O(x)=axle + D=x(x4 D(x? -~x+1)

Gia su P(x) 1 A B Cx+D ve

Q(x) “yO 4) +1) —Y X+I x x4)

© 1=A(x)+1)+Bx(x?—=x+1)+(Cx+D)x(x+1),Vx @)

Thay x = 0 vao (*) thi A = 1

Thay x = —1 vao (*) thi l =-3B > B=-1/3

Dong nhat hé sé ctia x? va x? & hai vé ta có:

=B+C+D=0

A+B+C=0 C=-A-B=-2/3

c©

D=B-C=1/3

I

=[Infs|— Links +L? ~x +4 -24

80

Ñ6 7ích phân các hàm phan thite hitu tr — Trần Phương

dx

° L,

3

=| 3vf+xv +x+2

5 wt ex? t+x-/]

Olxndex ox tx ex +x=1I=y- 07 +x +7) ¬ 1) ~

P(x) _ Byi +e 4x42 A Bx+C Dx

O(x\) x°—-x“+xÌ—x +x-Í A-Ìl X-AY+7 v+x+j

©3x'+x)+x+2=A(x†+x +1Ì+(Bx+C)(x=ID(x?+x+1)+

+(Dx + EMx-DO? =x 4D vx (4) Thay x = 1 vao (*) thi6=3A >A=2

Đồng nhất các hệ số 2 về của (*) ta có:

(A-C-2E+2D=1€ C+2E~2D=14C=-I

exo ex EN AX? +x-l J\XSmÌ X =N+Ì xo enaly

( TY (2x —Vdx _ 1 dx : dx

9 I

„ af 7x +] 23x —=X+I ỶjX #+Xx+Ì]

—= ˆ In “a ! Tag ¬_—-— —-—— — Am ———¬ TT

a 5 xe T— -xX+1 “ ‘fx 3 1w ` (x42) yo {v3 i fy \7 |

olin da ẻ Anis? =x 4) = Fe ANC meen + ee act ~

\ _ V- 3 V3 V3 VO

Aly

=~11 ; hye =) aretg-se — | † in| an, J1 Se] arclg = —arctg = | hy 5Ä j

~ J VIN vả 3) VO\ VO N37

J}, 113 2 7 Ry, 5 T

3.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

1° cố |

8 |

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân -— Trần Phương

4 Dạng 4: Q(x) =(x —d;) (x —a,_)@2 +pX +q)“ (x — đ„j); (p? — 4q < 0)

4.1 Phương pháp:

2<meN Xét đại diện nguyên hàm bộ phận: 7„ = _x+ C)dx với

(x?+ px+a}” p -4q<0

2

“`

08) pa

20 -m)(x? + px+q}” 2 ?

(x +px+q)-

p a{x+2)

x + px +q) ( P) Hộp (t? +a?)

X+=] +

với tẽx+tf;a= 4E, Ta sẽ tính J„ = |—————— theo 2 cách

Cách I: Phương pháp lượng giác: fe

Dat t=atga>adt= aden =>J,= adG//cos >= = [(co a)? da

COSA la? (1 + tg?a) | Đến đây chúng ta có thể tính tiếp theo kĩ thuật tích phân ham lượng giác

Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần

In = et TP An on

2

Đặt =¡ => du =dt;

vive [3 fle +a?) "d(t +a?)= : =

82

§6 Tích phân các hàm phân thức lữu tỉ — Tran Phương

=> J=- L t + J

2(m —1) (t? +a? yr 2(m-1) (¿ "

2(m-—]) m.à 2(m-I) "'

Thay (2) vao (1) suy ra:

m a2 m-l a2 2(m-]) (2+4?) " _24m- Ụ Jm—

5 mài “2 _ “4 m=!

“ne CỔ

Đây là hệ thức truy hồi để có thể tính được lạ

4.2 Các bài tập mẫu minh họa:

3 2x? +18

7 ( x -6x+13)

- 94-7 )

Gia sir L&D) _ 2 ti Bx+C D+E vụ

O(x) (x? ~6x413) (x? —6x413) x’ —6x +13

<> 2x? +18 = Dx° +(-6D + E)x? +(B+13D—-6E)x +(C+13E), vx

" (2x? +18)d (12x—8)dx +f 2dx

2 (x — ~ 026x413) ; x -6x +13

“6 2x —6)dx = +28 dx +2 dx

x? 6x +13) i[(x-3) +4] *(x-3) +4

83

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân ~ Trần Phương

= ST | +28 = + arctg —¬— =—+ 28 | ———

2 st? +4=4(tg”œ+l) =

TL

t= -)=>@Œ= se te Loa :

‡

dt “Pde

=> M= |= = [ — 1G =~ Ỉ (1+ cos 2œ) dœ

2 T * 7 }

~2 (t + 4) EE COST Olt re 16 - m4

cos’ a

Lƒ -lœ 3 1 2¢ | Lí pm ba pm pH | EH ấn lì nw Í

Lak 2 | 16,4 2 4 2 32 16

= L, 2 + OSM = 4+ 38 chown | —— + ——

2 3 \32 16) 8 4

2x7 +2n +13

° L, = [== _ dx

¡{x-2)(v +7)

Cy, 2v) +2 + /3 / VEC wt E

G ta sử PO) a = AL “E _Bx+CS + Dx + Vx

M

<> 2X +2x+Iä= A(X? +IƑ +(Bx+€)(x~2)+(Dx+E)(x—2)(x?+l).Vx

o> 2x7 42x 413 =(A4+D) x) 4+(-2D4 E) x9 +@QA4 Bt D-2E) x’

+(-2B+C-2D+E)x+(A—2C-2E) , vx

SI2ABvDCS=2 cv |C=-4

8+

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương

L,= [2 t2X+H, 2x?+2x+13 ax = | _ [ast 3x+4 ox ft

3(x- 2)(x? +1) 3 2 tuy x? +1

=f dx -5f 2xdx -4f-S 1 Pa 2xdx 2 ox

yx-2 (x2 41) 3 (x? ty 3X yx +]

=| In|x —2} -————~ ] - 4 | - Hin (x? +1) +2aretex)

= —In 49 + 21 — 2arctg4 + 2arctg3 — 4 is

Xét M = [—“—— Đặt x=tga > dk =d(tga)= -

— M= | a -= do/cos ° _ { dơ/cos s

3 (x? + 1) arctg3 (tg a + 1) arctg3 l )

cos’ a

arctg+4 1 arctg4 1 1 arctg 4

= | cos’ ada =— | (1 + cos 2a) do AG +—sin 2a

arctg3 2 arctg 3 2 2 arctg3

=1 arctg4 + — (aret 4) _i 5 | arcte3 + _ 18h arte?) 6 retg3)

{

= | aneg4= arctg3 + a =|

=> Ly =o tne 4 7 — 2aretg4 + 2arctg3 - (fA

4

= 1n #8 ¿ _2Ì _ 2arctg4 + 2arctg3 - 2| ardgt= mg) và — 1g]

1, 40 65

=—ln——+——-4|arctg4 - arctg3

85

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương

1

x? + 4x9 + 7x7 +6x4+2

0 (x? + 2x +2)

~ P(x) xf 44x97 4 8x? 44x43 4x+i

Ox) (x? + 2x42) (x? + 2x42)

=L=[Š †4x`+§x ves

= fax "¬—- 4(x+l)-3 af 23 f dt

y

0 OL (x +1) ae M241) (P41

=1-2 dụ “Df dt 5 =l+ - +3f{—S =43{—

Xét M= i Đặt ¡=tgø = dt =d(tga)=—;

2 : arctp2 arctg2

dœ/cos”œ f da,/ cos? a

cos’ a

arctg2

= | cos’ ada =— | (1+ cos 20) da = Mot sin 2a]

arctg2

= 1 "`" (4 +— | sin ;] | +f aeig2-%-—1)

=> L,= =+3M =23{ actg2-4-4) = 3 aetg2 = +2

n/4

4.3 Cac bai tap danh cho ban doc ty giai:

9 (x2 -x+Ÿ 6 (x+1)(x? 3x45) x(x? 4x? +1)