Tách phân thức hữu tỉ

KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU Tóm tắt nội dung Kỹ thuật Nhảy tầng lầu là phương pháp tách tích phân hữu tỉ phân thức ra thành nhiều tích phân con có khoảng cách giữa bậc tử và mẫu không lớn,

KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU

Tóm tắt nội dung

Kỹ thuật Nhảy tầng lầu là phương pháp tách tích phân hữu tỉ (phân thức) ra thành nhiều tích phân con

có khoảng cách giữa bậc tử và mẫu không lớn, hạ bậc mẫu của tích phân ban đầu xuống mức tối giản nhất có thể, từ đó tính toán dễ dàng hơn Kỹ thuật này được thầy Trần Phương viết trong cuốn sách

“TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” xuất bản năm 2006, và trong tài liệu ngắn này, tôi sẽ nhắc lại kỹ thuật dưới “tư duy CASIO” – một lối tư duy mới của học sinh phổ thông từ năm

2016, không những giúp các bạn hiểu được bản chất kỹ thuật, mà còn đưa ra một số cách truy dạng đẹp

khi đối mặt với số vô tỉ

Tài liệu tham khảo

Sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” của thầy Trần Phương

Bản quyền

Tài liệu này được phép sao chép dưới mọi hình thức, với điều kiện phải ghi rõ nguồn tác giả hoặc trang web Mọi thông tin đóng góp về tài liệu xin gửi về địa chỉ: Lâm Minh – sherlockttmt@gmail.com

1 Kiến thức cần chuẩn bị

1.1 Hai công thức tích phân

CT1 ∫ 𝑑𝑥

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 =

[

1

𝑎ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 nếu 𝑛 = 1

1 (1 − 𝑛)(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1+ 𝐶 nếu 𝑛 ≠ 1

1.2 Lý thuyết về tách phân thức hữu tỉ

1.2.1 Phân thức thực sự là phân thức 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) với deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥) (deg 𝑃(𝑥) là bậc của đa thức 𝑃(𝑥))

1.2.2 Phân thức đơn giản là phân thức thuộc 1 trong 2 dạng sau: 𝑚

(𝑎𝑥+𝑏) 𝑛; (𝑎𝑥2𝑚𝑥+𝑛

+𝑏𝑥+𝑐) 𝑛

(𝑛 ∈ 𝑁, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0)

1.2.3 Định lý tổng quát về phân tích đa thức: Mọi đa thức 𝑄(𝑥) không đồng nhất 0 với hệ

số thực đều có duy nhất 1 cách phân tích thành nhân tử dạng:

𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑟1… (𝑥 − 𝑥𝑘)𝑟𝑘(𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1)𝑠1… (𝑎𝑛𝑥2+ 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛)𝑠𝑛

Trong đó các tam thức bậc 2 đều có ∆ < 0

1.2.4 Phương pháp chung tính tích phân hàm hữu tỉ: mọi phân thức hữu tỉ 𝑃

∗ (𝑥) 𝑄(𝑥) với

deg 𝑃∗(𝑥) > deg 𝑄(𝑥) đều có thể thực hiện phép chia đa thức 𝑃∗(𝑥) cho 𝑄(𝑥) đưa

về phân thức thực sự 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)(có deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥)) Khi đó, giả sử ta có:

𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑟 1… (𝑥 − 𝑥𝑘)𝑟 𝑘(𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1)𝑠 1… (𝑎𝑛𝑥2+ 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛)𝑠 𝑛

thì mọi phân thức thực sự 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) đều biểu diễn được dưới dạng:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= (

𝑝11

𝑥 − 𝑥1+ ⋯ +

𝑝𝑟11 (𝑥 − 𝑥1)𝑟 1) + ⋯ + ( 𝑝1𝑘

𝑥 − 𝑥𝑘+ ⋯ +

𝑝𝑟𝑘𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑘)𝑟 𝑘)

+ ( 𝑚11𝑥 + 𝑛11

𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1+ ⋯ +

𝑚𝑠11𝑥 + 𝑛𝑠11 (𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1)𝑠 1) + ⋯

+ ( 𝑚1𝑛𝑥 + 𝑛1𝑛

𝑎𝑛𝑥2+ 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛+ ⋯ +

𝑚𝑠𝑛𝑛𝑥 + 𝑛𝑠𝑛𝑛 (𝑎𝑛𝑥2 + 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛)𝑠 𝑛)

Bằng cách tách phân thức hữu tỉ như vậy, ta sẽ áp dụng 2 công thức tích phân cơ bản có sẵn ở mục 1.1 để tính dễ dàng

1.3 Một số kỹ thuật CASIO cơ bản

Đây là một số kỹ thuật CASIO cơ bản các bạn có thể dễ dàng tìm học qua các bài viết trên mạng hoặc từ bất cứ ai có hiểu biết chút ít về CASIO:

1.3.1 Phương pháp xấp xỉ khai triển rút gọn đa thức

1.3.2 Phân tích đa thức 1 ẩn thành nhân tử

1.3.3 Tính giới hạn

2 Kỹ thuật CASIO tách phân thức hữu tỉ

Giả sử ta cần tách:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= (

𝑝1

𝑥 − 𝑥0+ ⋯ +

𝑝𝑘 (𝑥 − 𝑥0)𝑘) + ( 𝑚1𝑥 + 𝑛1

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐+ ⋯ +

𝑚𝑛𝑥 + 𝑛𝑛 (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛) Trong đó: 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑘(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 với 𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0

Đặt 𝑚1𝑥+𝑛1

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+ ⋯ + 𝑚𝑛 𝑥+𝑛𝑛

(𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)𝑛 = 𝑅(𝑥), ta dễ thấy:

lim

𝑥→𝑥 0

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)(𝑥 − 𝑥0)

𝑘= lim

𝑥→𝑥 0

(𝑝1(𝑥 − 𝑥0)𝑘−1+ ⋯ + 𝑝𝑘−1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑝𝑘+ (𝑥 − 𝑥0)𝑘𝑅(𝑥)) = 𝑝𝑘

⇒ lim

𝑥→𝑥 0

(𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)−

𝑝𝑘 (𝑥 − 𝑥0)𝑘) (𝑥 − 𝑥0)𝑘−1 = 𝑝𝑘−1

⇒ lim

𝑥→𝑥 0

(𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)−

𝑝𝑘 (𝑥 − 𝑥0)𝑘− 𝑝𝑘−1

(𝑥 − 𝑥0)𝑘−1) (𝑥 − 𝑥0)𝑘−2 = 𝑝𝑘−2⇒ … Như vậy ta có thể tìm các hệ số 𝑝𝑖 (𝑖 = 1, 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) bằng cách tính giới hạn như vậy trên CASIO Tiếp theo giả sử PT 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có 2 nghiệm phức 𝑥1, 𝑥2 (vì ∆ < 0), tương tự trên ta có:

{

lim

𝑥→𝑥 1

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)(𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛𝑥1+ 𝑛𝑛

lim

𝑥→𝑥 2

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛𝑥2+ 𝑛𝑛

từ đó giải hệ ta tìm được 𝑚𝑛, 𝑛𝑛

{

lim

𝑥→𝑥1(𝑄(𝑥)𝑃(𝑥)− 𝑚𝑛𝑥+𝑛𝑛

(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑛) (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛−1 = 𝑚𝑛−1𝑥1+ 𝑛𝑛−1

lim

𝑥→𝑥2(𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)− 𝑚𝑛𝑥+𝑛𝑛

(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑛) (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛−1 = 𝑚𝑛−1𝑥2+ 𝑛𝑛−1

, tìm được 𝑚𝑛−1, 𝑛𝑛−1

Về lý thuyết, ta có thể làm như trên, luôn tách được mọi phân thức hữu tỉ về 1 trong 2 dạng tối giản, nhưng sẽ có những trường hợp ngoại lệ và ta cần phải linh hoạt khi sử dụng CASIO để đạt hiệu suất giải toán cao nhất, phần ví dụ minh họa sau đây sẽ cho các bạn thấy rõ

3 Ví dụ minh họa

𝐕𝐃𝟏 ∫ 𝒙

𝟑+ 𝟐

𝒙𝟒− 𝟓𝒙𝟐+ 𝟒𝒅𝒙

Ta có 𝑥4− 5𝑥2+ 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) do đó ta sẽ tách hàm như sau:

𝑥3 + 2

𝑥4 − 5𝑥2+ 4=

𝑎

𝑥 − 2+

𝑏

𝑥 − 1+

𝑐

𝑥 + 1+

𝑑

𝑥 + 2

Vì lim

𝑥→2

𝑥3+2

𝑥4−5𝑥2+4(𝑥 − 2) = 𝑎 nên ta nhập 𝑋

3+2

𝑋4−5𝑋2+4(𝑋 − 2) rồi gán 𝑋 = 2 + 10−11, được kết quả 0,8333333333 =56= 𝑎

Tiếp theo: lim

𝑥→1

𝑥3+2

𝑥4−5𝑥2+4(𝑥 − 1) = 𝑏, sửa biểu thức thành 𝑋

3+2

𝑋4−5𝑋2+4(𝑋 − 1), gán 𝑋 = 1 +

10−11 thu được −0,5 = −12= 𝑏

Tương tự: 𝑐 =16; 𝑑 =12

Vậy: ∫ 𝑥

3 + 2

𝑥4 − 5𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

5

6∫

𝑑𝑥

𝑥 − 2−

1

2∫

𝑑𝑥

𝑥 − 1+

1

6∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1+

1

2∫

𝑑𝑥

𝑥 + 2

𝐕𝐃𝟐 ∫ 𝟐𝒙

𝟐+ 𝟏𝟖 (𝒙𝟐− 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑)𝟐𝒅𝒙

Phương trình 𝑥2− 6𝑥 = 13 = 0 vô nghiệm thực, do đó ta sẽ tách phân thức như sau:

2𝑥2+ 18 (𝑥2− 6𝑥 + 13)2 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥2− 6𝑥 + 13+

𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑥2 − 6𝑥 + 13)2

Ta có: 𝑥2− 6𝑥 = 13 = 0 ⇔ 𝑥 = 3 ± 2𝑖, do đó để tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 ta tính 2 giới hạn:

lim

𝑥→3−2𝑖

2𝑥2+ 18 (𝑥2− 6𝑥 + 13)2(𝑥2− 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑

lim

𝑥→3+2𝑖

2𝑥2+ 18 (𝑥2− 6𝑥 + 13)2(𝑥2− 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑 Bằng cách chuyển chế độ sang MODE 2 (số phức) rồi gán lần lượt 𝑋 = 3 − 2𝑖 + 10−10 và 𝑋 =

3 + 2𝑖 + 10−10, thu được {𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑 = 28 − 24𝑖

𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑 = 28 + 24𝑖⇔ {

𝑐 = 12

𝑑 = −8 Tương tự ta có thể tìm 𝑎𝑥 + 𝑏, tuy nhiên nhận thấy:

( 2𝑥

2+ 18 (𝑥2 − 6𝑥 + 13)2− 12𝑥 − 8

(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2) (𝑥2 − 6𝑥 + 13) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Do đó sửa biểu thức đang hiển thị thành:

2𝑋2+ 18 (𝑋2− 6𝑋 + 13)2− (12𝑋 − 8) ÷ (𝑋2− 6𝑋 + 13)2 Cho 𝑋 = 1000 sau đó nhân kết quả với 𝑋2− 6𝑋 + 13 được 2

Vậy: ∫ 2𝑥

2+ 18 (𝑥2− 6𝑥 + 13)2𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥

𝑥2− 6𝑥 + 13+ ∫

12𝑥 − 8 (𝑥2− 6𝑥 + 13)2𝑑𝑥

𝐕𝐃𝟑 ∫𝒙

𝟐− 𝟏

𝒙𝟒+ 𝟏𝒅𝒙

Ta có: 𝑥4+ 1 = (𝑥2− √2𝑥 + 1)(𝑥2 + √2𝑥 + 1) nên ta sẽ tách thành:

𝑥2 − 1

𝑥4 + 1=

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥2− √2𝑥 + 1+

𝑐𝑥 + 𝑑

𝑥2+ √2𝑥 + 1

Nghiệm của 𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 0 là 𝑥 =√2 ± 2√2𝑖, do đó, tương tự VD2, ta tính 2 giới hạn:

lim

𝑥→√2 − √2𝑖2

𝑥2 − 1

𝑥4 + 1(𝑥

2− √2𝑥 + 1) = 𝑎 (√2 − √2𝑖

2 ) + 𝑏

lim

𝑥→√2 + √2𝑖2

𝑥2 − 1

𝑥4 + 1(𝑥

2− √2𝑥 + 1) = 𝑎 (√2 + √2𝑖

2 ) + 𝑏

Các bạn nên gán trước {𝐴 =

√2 − √2𝑖 2

𝐵 =√2 + 2√2𝑖

để việc tính toán phía sau đơn giản hơn

Lưu ý thứ 2 là ở một số dòng máy đời thấp không hỗ trợ tính lũy thừa của biểu thức số phức với

số mũ từ 4 trở lên, khi đó thay vì nhập vào biểu thức là 𝑋

2−1

𝑋4+1(𝑋2 − √2𝑋 + 1), ta phải nhập

là 𝑋

2−1

𝑋𝑋3+1(𝑋2 − √2𝑋 + 1), nếu không khi tính giới hạn sẽ bị “Math ERROR”

Cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 ta được một số xấu: −0,00001502625 − 0,4999849728𝑖, lưu nó vào C Cho 𝑋 = 𝐵 + 10−10 được một số xấu khác, lưu nó vào D

Vậy ta được {𝑎𝐴 + 𝑏 = 𝐶

𝑎𝐵 + 𝑏 = 𝐷⇒ tính 𝐶−𝐷

𝐴−𝐵 thu được 0,7070855295 ≈√22= 𝑎 (nếu không nhận

ra được dạng đẹp này thì hãy bình phương kết quả lên)

⇒ 𝑏 = 𝐶 −√2

2 𝐴 = 𝐷 −

√2

2 𝐵 ⇒ 𝑏 =

(𝐶 −√22 𝐴) + (𝐷 −√22 𝐵)

2

Như vậy ta có thể tính b dễ dàng bằng 𝐶 −√22𝐴 hoặc 𝐷 −√22𝐵, nhưng khi tính 1 trong 2 biểu thức này ta đều nhận được 2 kết quả khá xấu, và đặc biệt chứa cả 𝑖 gây nên lúng túng, do đó ta

có thể dùng biểu thức gộp thứ 3 ở trên để tính 𝑏, thu được −0,5000150263 ≈ −12= 𝑏

Sở dĩ phải lấy xấp xỉ như vậy vì có sai số khá lớn, nguyên nhân bắt nguồn từ 2 phép tính giới hạn ban đầu

Do bài này chỉ phải tách thành 2 phân thức, do đó việc tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 tiếp theo sẽ không phải áp dụng cách lằng nhằng như vừa rồi, đây là một trường hợp ngoại lệ như phần lí thuyết đã đề cập Cụ thể ta thấy:

(𝑥

2− 1

𝑥4+ 1−

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥2− √2𝑥 + 1) (𝑥

2+ √2𝑥 + 1) = 𝑐𝑥 + 𝑑

Từ 𝑎, 𝑏 đã tìm được, suy ra khả năng 𝑐, 𝑑 cũng có dạng căn thức, do đó việc gán 𝑋 = 1000 như

VD2 có thể sẽ không thành công Mặt khác nếu 𝑐, 𝑑 có dạng căn, chắc chắn sẽ liên quan đến

√2, do đó ta sửa biểu thức đang hiển thị thành:

𝑋2− 1

𝑋4+ 1− (

√2

2 𝑋 −

1

2) ÷ (𝑋

2− √2𝑋 + 1)

Gán 𝑋 là 1 số vô tỉ đẹp nhưng tránh √2, chẳng hạn với 𝑋 = √3, kết quả thu được đem nhân với

𝑋2 + √2𝑋 + 1, ta được số −1 − √6

2 √3 − 1

2 = −√2

2 𝑋 − 1

2 = 𝑐𝑥 + 𝑑

Vậy: ∫𝑥

2 − 1

𝑥4 + 1𝑑𝑥 =

1

2∫

√2𝑥 − 1

𝑥2− √2𝑥 + 1𝑑𝑥 −

1

2∫

√2𝑥 + 1

𝑥2+ √2𝑥 + 1𝑑𝑥

𝐕𝐃𝟒 ∫ 𝒅𝒙

𝒙𝟕− 𝟏𝟎𝒙𝟑

Vì 𝑥7− 10𝑥3 = 𝑥3(𝑥 − √104 )(𝑥 + √104 )(𝑥2 + √10) nên ta sẽ tách phân thức như sau:

𝑥7− 10𝑥3 = 𝑎

𝑥+

𝑏

𝑥2+ 𝑐

𝑥3+ 𝑑

𝑥 − √104 +

𝑒

𝑥 + √104 +

𝑚𝑥 + 𝑛

𝑥2 + √10

Dễ dàng tìm được 𝑎 = 𝑏 = 0; 𝑐 = −101 như 3 VD trước, do đó để tìm 𝑑 ta sẽ tính:

lim

𝑥→ √104

1

𝑥7− 10𝑥3(𝑥 − √104 ) = 𝑑

Gán 𝐴 = √104 , cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 vào biểu thức giới hạn trên ta được 0,00790451347, số này chắc chắn có chứa √104 , vấn đề là làm sao tìm ra dạng đẹp của nó

Bài này cần thay đổi cách tính giới hạn 1 chút, cụ thể ta thấy:

1

𝑥7− 10𝑥3(𝑥 − √104 ) = 1

𝑥3(𝑥 + √104 )(𝑥2+ √10)⇒ 𝑑 =

1

𝑥3(𝑥 + √104 )(𝑥2+ √10)|

𝑥= √104

Do đó nhập biểu thức 1

𝑋3(𝑋+ √104 )(𝑋2+√10) rồi cho 𝑋 = 𝐴, ta được số chính xác hơn:

0,00970569415, thử bình số này lên, ta được 1

16000, do đó 𝑑 = √160001 =√40010

Tương tự, 𝑒 = 1

𝑥3(𝑥−4√10)(𝑥2+√10)|

𝑥=− √104

= 𝑑

Để tìm 𝑚𝑥 + 𝑛, ta áp dụng:

𝑚𝑥 + 𝑛 = [ 1

𝑥7− 10𝑥3+ 1

10𝑥3−√10

400(

1

𝑥 − √104 +

1

𝑥 + √104 )] (𝑥

2+ √10)

Vẫn là cách giải hệ bậc nhất như 2 VD trước, nhưng thay vì dùng nghiệm của PT 𝑥2 + √10 = 0 khiến cho kết quả tăng sai số, ta sẽ dùng số nguyên

Lần lượt cho 𝑋 = 1; 𝑋 = −1 vào biểu thức trên, ta thu được 2 kết quả đối nhau, bình lên đều

được 1

4000, như vậy số chính xác là √10

200, do đó ta có hệ:

𝑚 + 𝑛 = −√10

200

−𝑚 + 𝑛 =√10

200

⇔ {𝑚 = −√10200

𝑛 = 0

Vậy: ∫ 1

𝑥7 − 10𝑥3𝑑𝑥 = − 1

10𝑥3 +√10

400∫

𝑑𝑥

𝑥 − √104 +

√10

400∫

𝑑𝑥

𝑥 + √104 −

√10

200∫

𝑥𝑑𝑥

𝑥2+ √10 Nhìn chung, bài này không nhất thiết phải tách đến tối giản như vậy, ta có thể tính như sau:

𝑥7 − 10𝑥3𝑑𝑥 = 1

10(∫

𝑥𝑑𝑥

𝑥4 − 10− ∫

𝑑𝑥

𝑥3) = 1

10(

1

2∫

𝑑(𝑥2) (𝑥2)2− 10− ∫

𝑑𝑥

𝑥3)

Đó là 1 kiểu tách “dễ chịu hơn” của “nhảy tầng lầu”, nhưng ở đây tôi muốn kết hợp thêm việc phân tích xử lí khi gặp căn thức cho các bạn xem, nên mới đi theo hướng phân tích như vậy

𝐕𝐃𝟓 ∫ 𝒅𝒙

𝒙𝟖+ 𝟏

Chắc chắn ai đã đọc cuốn “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” của thầy Trần Phương thì khó mà quên được đoạn văn ấn tượng này, nó nằm ngay trang nhất:

Thực tế thì chưa ai thấy thầy Phương giải bài này, có một số thầy giáo cũng đã áp dụng kỹ thuật nhảy tầng lầu của thầy và giải thành công, nhưng cũng chưa có ai “giải nó bởi 5 biến đổi dấu

bằng với khoảng 3 dòng” cả! Tại đây tôi sẽ trình bày lại cách giải nó bằng CASIO

Ta có: 𝑥8+ 1 = (𝑥2− √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥2 + √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥2− √2 − √2𝑥 + 1) (𝑥2+

√2 − √2𝑥 + 1) Do đó việc tách sẽ như sau:

𝑥8+ 1=

𝑎1𝑥 + 𝑏1

𝑥2 − √2 + √2𝑥 + 1

+ 𝑎2𝑥 + 𝑏2

𝑥2+ √2 + √2𝑥 + 1

+ 𝑎3𝑥 + 𝑏3

𝑥2− √2 − √2𝑥 + 1

+ 𝑎4𝑥 + 𝑏4

𝑥2 + √2 − √2𝑥 + 1

Ta tìm 𝑎1𝑥 + 𝑏1 trước, đầu tiên giải 2 nghiệm phức của PT 𝑥2 − √2 + √2𝑥 + 1 = 0 Các dòng máy từ CASIO fx-570VN PLUS trở lên đến VINACAL có thể lưu nghiệm trực tiếp từ MODE EQN vào 1 biến nào đó giống như việc gán bình thường, nhưng ở một số dòng máy đời thấp hơn như CASIO fx-570ES thì không có chức năng này, do đó phải sử dụng 2 biểu thức

−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴 để tính nghiệm tại MODE CMPLX (số phức)

2 nghiệm thu được rất xấu: {𝑋𝑋1 = 0,9238795325 − 0,3826834324𝑖 → 𝐴

2 = 0,9238795325 + 0,3826834324𝑖 → 𝐵

Bây giờ, tương tự VD4 ta có:

1 (𝑥2+ √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥4+ √2𝑥2+ 1)

|

𝑥=[𝐴 𝐵

= [𝑎1𝐴 + 𝑏1

𝑎1𝐵 + 𝑏1

Cũng phải lưu ý lại rằng trên một số dòng máy đời thấp ta phải nhập 𝑋𝑋3+ √2𝑋2+ 1 thay vì

𝑋4 + √2𝑋2+ 1 thì mới thực hiện phép tính được

Tính biểu thức này tại 𝑋 = 𝐴 rồi lưu kết quả vào C, tính tiếp nó tại 𝑋 = 𝐵 rồi lưu kết quả vào D, như vậy ta được: {𝑎1𝐴 + 𝑏1 = 𝐶

𝑎1𝐵 + 𝑏1 = 𝐷⇒ 𝑎1 =

𝐶 − 𝐷

𝐴 − 𝐵 Tính biểu thức 𝐶 − 𝐷

𝐴 − 𝐵 ta được một số nữa gây chán nản: −0,2309698831, vì số này bình phương mấy lần cũng không mò ra được Phải làm sao đây?

Với người không chuyên về CASIO, có lẽ đến 99% bỏ cuộc ở đoạn này, nhưng nếu các bạn đã chơi quen với số vô tỉ như tôi, thì sẽ nghĩ ngay rằng kết quả này có dính dáng đến √2 + √2

Và thực tế tôi đã tính √2 + √2 ÷𝐶 − 𝐷𝐴 − 𝐵, thu được con số rất đẹp: −8 Vậy 𝑎1 = −√2+8√2

Mò được 𝑎1 rồi thì 𝑏1 cũng sẽ dễ dàng ra ngay 𝑏1 = 𝐶 +√2+8√2𝐴 =14

3 biểu thức còn lại là 𝑎2𝑥 + 𝑏2, 𝑎3𝑥 + 𝑏3, 𝑎4𝑥 + 𝑏4 các bạn hãy tự xử xem như thế nào, hướng làm giống y hệt vừa rồi, chỉ là luyện bấm cho nhanh thôi

Vậy: ∫ 𝑑𝑥

𝑥8 + 1= −

1

8∫

√2 + √2𝑥 − 2

𝑥2− √2 + √2𝑥 + 1

𝑑𝑥 +1

8∫

√2 + √2𝑥 + 2

𝑥2+ √2 + √2𝑥 + 1𝑑𝑥 +

−1

8∫

√2 − √2𝑥 − 2

𝑥2 − √2 − √2𝑥 + 1

𝑑𝑥 +1

8∫

√2 − √2𝑥 + 2

𝑥2+ √2 − √2𝑥 + 1𝑑𝑥 Thực tế thì việc tìm ra 𝑎1 như tôi đã làm không hẳn là mò, cái gì cũng có cơ sở của nó, miễn là các bạn chịu khó luyện tập nhiều thì sự nhạy bén, linh hoạt, kinh nghiệm tư duy sẽ nhiều lên và việc nhìn ra mấu chốt sẽ không còn khó khăn

Nhắc lại lần nữa, là kỹ thuật Nhảy tầng lầu có khá nhiều cách tách khác nhau, nhưng không phải cách nào cũng đưa đến hướng đi ngắn, đó là lí do thầy Phương đã viết:

Và ở đây, tôi muốn một lần nữa qua bài tích phân của thầy để nói thêm nữa về sự linh hoạt trong thao tác xử lí số vô tỉ, không đơn giản chỉ dừng lại ở việc nhắc lại về kỹ thuật Nhảy tầng lầu

4 Bài tập tự luyện

Đây cũng là mấy bài toán trong sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” của thầy Phương, các bạn có thể nghĩ ra nhiều cách tách khác nhau nhưng hãy ưu tiên cách tách tối giản, mục đích là để tiếp xúc nhiều với số vô tỉ! Và đừng xem trước đáp án

Bài 1 ∫ 𝑑𝑥

𝑥6 − 1 Bài 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥6+ 1 Bài 3 ∫

𝑑𝑥

𝑥4+ 𝑥2+ 1 Bài 4 ∫

𝑑𝑥

𝑥8 − 1

Bài 5 ∫ 𝑑𝑥

𝑥4 + 4𝑥3+ 6𝑥2+ 7𝑥 + 4 Bài 6 ∫

𝑥3+ 2𝑥2+ 4𝑥 + 9

𝑥2+ 4 𝑑𝑥 Bài 7 ∫

𝑑𝑥

𝑥11− 8𝑥5

Nếu các bạn đã đọc cách giải của thầy trong cuốn sách đó, thì sẽ thấy hầu hết thầy không sử dụng cách tách triệt để như tôi, trừ phi hệ số phải là số đẹp, nhưng thầy cũng “giải sai” khá nhiều bài bằng cách chia cả tử và mẫu cho 𝑥 trong khi chưa có gì xác nhận 𝑥 ≠ 0, vì bài toán là tích phân bất định chứ không phải xác định để dựa vào cận Dù vậy, tôi nghĩ là thầy chỉ muốn giải càng ngắn càng tốt!

5 Đáp án bài tập tự luyện

Bài 1 ∫ 𝑑𝑥

𝑥6 − 1=

1

6∫

𝑑𝑥

𝑥 − 1−

1

6∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1+

1

6∫

𝑥 − 2

𝑥2 − 𝑥 + 1𝑑𝑥 −

1

6∫

𝑥 + 2

𝑥2 + 𝑥 + 1𝑑𝑥

Bài 2 ∫ 𝑑𝑥

𝑥6 + 1=

1

3∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1−

1

6∫

√3𝑥 − 2

𝑥2− √3𝑥 + 1𝑑𝑥 +

1

6∫

√3𝑥 + 2

𝑥2 + √3𝑥 + 1𝑑𝑥

Bài 3 ∫ 𝑑𝑥

𝑥4 + 𝑥2+ 1=

1

2∫

𝑥 + 1

𝑥2+ 𝑥 + 1𝑑𝑥 −

1

2∫

𝑥 − 1

𝑥2− 𝑥 + 1𝑑𝑥

Bài 4 ∫ 𝑑𝑥

𝑥8 − 1

= 1

8∫

𝑑𝑥

𝑥 − 1−

1

8∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1−

1

4∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1+

1

8∫

√2𝑥 − 2

𝑥2− √2𝑥 + 1𝑑𝑥 −

1

8∫

√2𝑥 + 2

𝑥2 + √2𝑥 + 1𝑑𝑥

Bài 5 ∫ 𝑑𝑥

𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2+ 7𝑥 + 4

=1

3∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1−

1

9∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1 + √33 −

1

9∫

2𝑥 + 2 − √33

𝑥2+ (2 − √33 )𝑥 − √33 + √93 + 1𝑑𝑥

Bài 6 ∫𝑥

3 + 2𝑥2 + 4𝑥 + 9

𝑥2+ 4 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫

𝑑𝑥

𝑥2+ 4

Bài 7 ∫ 𝑑𝑥

𝑥11− 8𝑥5 = −1

8∫

𝑑𝑥

𝑥5 +4 − √2

448 ∫

𝑑𝑥

𝑥 − √2+

4 + √2

448 ∫

𝑑𝑥

𝑥 + √2

− 1

192∫

𝑥 + √2

𝑥2− √2𝑥 + 2𝑑𝑥 −

1

192∫

𝑥 − √2

𝑥2+ √2𝑥 + 2𝑑𝑥

Mọi câu hỏi thắc mắc về phương pháp xin gửi về:

sherlockttmt@gmail.com

Thank you for watching!