TÍCH PHÂN BỘI docx

Bài toán dẫn đến tích phân hai lớp Hãy tính thể tích vật thể, giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đờng sinh song song trục Oz tựa trên đờng cong L thuộc mặt phẳngOxy và mặt trên S có

Chơng 2

Tích phân bội

2.1 tích phân hai lớp

1 Bài toán dẫn đến tích phân hai lớp

Hãy tính thể tích vật thể, giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt trụ có

đờng sinh song song trục Oz tựa trên đờng cong L thuộc mặt phẳngOxy và mặt trên S có phơng trình:

z=f(x,y)trong đó z=f(x,y) là hàm số xác định, liên tục, không âm trong mộtmiền D đóng, bị chặn, có biên là L

Hình 1 Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọitên và diện tích của các mảnh nhỏ đó là:

S1, S2, …, S, nLấy mỗi mảnh nhỏ đó làm đáy, dựng các hình trụ mà mặt xungquanh song song trục Oz Nh vậy vật thể đã cho đợc chia thành nvật thể nhỏ có mặt trên giới hạn bởi mặt S Trên mỗi Si lấy tuỳ ý

điểm Mi(xi,yi) (i=1 ,n), nếu đờng kính di của Si khá nhỏ vật thểnhỏ thứ i có thể tích thể xấp xỉ:

i i i

i i

i y S x

f V

1

),

đợc gọi là tổng tích phân của hàm z=f(x,y) trên miền D Gọi di là ờng kính của mảnh Si, nếu khi cho n   sao cho maxdi0 mà Indần đến một giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền D

đ-và cách chọn các điểm Mi(xi,yi) thì I đợc gọi là tích phân hai lớphay tích phân kép của f(x,y) trên D và ký hiệu:





D

dS y x f

D đợc gọi là miền lấy tích phân, f(x,y) gọi là hàm dới dấu tích phân,nếu tích phân (3) tồn tại ta nói hàm f(x.y) khả tích trên miền D Vì tích phân kép nếu tồn sẽ tại không phụ thuộc cách chia miền

D nên ta có thể chia miền D bằng các lới hình chữ nhật, khi đó yếu

sẽ phát biểu mà không chứng minh các tính chất của tích phân kép

D D

dxdy y x f k dxdy y x f

) , ( )

, ( )

, (

D D

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x

y x

f( , ) MS

(vi) Định lý về giá trị trung bình: Nếu f(x,y) là hàm số liên tục

trên miền đóng và bị chặn D thì trong D tồn tại ít nhất một điểmM(,) sao cho:

D

S f

dxdy y x



D

dxdy y x

f( , )

là thể tích của vật thể V Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của mặtphẳng vuông góc với trục Ox với vật thể tại mỗi x[a,b], khi đóa,b], khi đótheo công thức tính thể tích vật thể của tích phân xác định ta có:

D

dxdy y x

S( )

(5)

Do S(x) là yếu tố diện tích nên ta có:

Theo giả thiết f(x,y) là hàm liên tục trên miền D nên S(x) là hàmliên tục trên [a,b], khi đóa,b] nên S(x) khả tích trên [a,b], khi đóa,b] Thay (6) vào (5) tacó:



D

dxdy y x

dx ( , )

(7) Nếu gọi S(y) là diện tích của thiết diện của mặt phẳng vuông gócvới trục Oy với vật thể tại mỗi y[a,b], khi đóc,d], khi đó ta có:



D

dxdy y x

dy ( , )

(8) Ngời ta chứng minh đợc công thức (7) và (8) vẫn đúng khi f(x,y)liên tục và có dấu tuỳ ý trên D

f1( ) 2( )

Ví dụ 2.1: Tính I= 

dxdy

2 ) (

1)

(x y x y dx

dy dx

1ln2

11

1

x

x dx x

x

b Miền lấy tích phân là hình thang cong

Nếu D={axb, y1(x)yy2(x)} ta có:

x y

dy y x f dx dxdy

y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

) (

) (

2

1

),(

x y

x y

dy y x

x y

dy y x f dx dxdy

y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

Công thức vẫn đúng khi f(x,y) có dấu thay đổi

Tơng tự, nếu D={cyd, x1(y)xx2(y)} ta có:

y x

dx y x f dy dxdy

y x f

) (

) (

2

1

),()

,((10)

Hình 3

Ví dụ 2.2: Tính I=

D

dxdy y

( , với D là miền giới hạn

bởi các đờng: y=x và y=2-x2 (Hình 4)

Hình 4 Để tìm giao điểm của hai đờng ta có phơng trình:

x

x

dy y x

2

1

dx y

x

x x

2

2 3 4

2 2 2

( , với D là miền xác định bởi

các đờng y=0, y=(x+1)2, x=siny (Hình 5)

Hình 5 Đờng y=(x+1)2 hay x= y  1và x=siny cắt nhau tại x=0,y=1;

đờng y=0 và x=siny cắt nhau tại x=y=0 Ta chọn công thức (10)

0

1

0

sin 1 2 sin

1

) ( 2

1 )

y y

2

1

dy y y

y y

2 2 sin

2 sin

c Miền lấy tích phân giới hạn bởi đờng cong kín

Giả sử miền lấy tích phân D giới hạn bởi đờng cong kín L màmỗi đờng thẳng song song với trục Ox đều cắt L tại không quá hai

điểm Dựng hình chữ nhật

{axb, cyd}

mà các cạnh của nó tiếp xúc với L tại các điểm M,N,P,Q(Hình 6)

Hình 6 Các điểm M,P chia biên L của D thành hai cung MNP^ và

^

MQP có phơng trình theo thứ tự:

y=y1(x), y=y2(x)

do đó ta có thể tính tích phân theo công thức:

x y

dy y x f dx dxdy

y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

C¸c ®iÓm N, Q chia biªn L cña D thµnh hai cung NMQ^ vµ

y x

dx y x f dy dxdy

y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

VÝ dô 2.4: §æi thø tù lÊy tÝch ph©n:

x

x

dy y x f dx

1

2

1

),(

BiÓu diÔn h×nh häc miÒn lÊy tÝch ph©n:

x

1

c¾t nhau t¹i y=1 nªn ta cã:

1 1

2 1

),()

,(

y y

dx y x f dy dx

y x f dy

Qua ví dụ trên ta thấy, khi tính tích phân ta nên chọn thứ tự tíchphân sao cho cách tính đơn giản hơn

Chú ý: Xét miền lấy tích phân D đối xứng qua trục Oy (đối xứng

với biến x), khi đó:

(i) Nếu hàm lấy tích phân lẻ đối với x, tức là f(-x,y)=-f(x,y) thì:

D

dxdy y x

, (

D D

dxdy y x f dxdy

y x f

Tơng tự ta có kết quả đối với miền đối xứng qua Ox ( đối xứngvới biến y)

2

giới hạn bởi các đờng y=0, y=-x2+4 (Hình 8)

Hình 8 Giao điểm của hai đờng là nghiệm của phơng trình:

-x2+4=0, x1=-2, x2=2

2 cos

ydxdy x

dxdy y

2 cos

Vì miền D đối xứng qua Oy, f(x,y)=

2 cos

2 2 2

2

dx y

x ydy dx

6 2

2

2 ( x 4 ) dx (x 8x 16x )dx

x

105 1024

5 Đổi biến trong tích phân hai lớp

a Công thức đổi biến trong tích phân hai lớp

Xét tích phân:



D

dxdy y x

f( , )

trong đó f(x,y) là hàm liên tục trên miền D

Thực hiện phép đổi biến:

v u y y

v u x x

(11)Nếu:

(i) x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng củachúng liên tục trong miền đóng D’ của mặt phẳng Ouv

(ii) Các công thức (11) xác định một song ánh từ miền D’ lênmiền D của mặt phẳng Oxy

(iii) Định thức Jacôbi

' '

' ' ) , (

) , (





v u

v u

y y

x x v u D

y x D

trong miền D’ trừ ra tại một số hữu hạn điểm

Khi đó ngời ta chứng minh đợc công thức đổi biến trong tíchphân kép:

D

dxdy y x

f( , ) =

'

)) , ( ), , ( (

D

dudv J v u y v u x f

(12)

Ví dụ 2.6:

(i) Tính I=

D

xydxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đờng

hypebol: xy=1, xy=3 và các đờng parabol: y2=2x, y2=4x (Hình 9a)

u xy

3 3 3

2

v u uv y

v u v

u x

miền D trở thành miền D’ trong mặt phẳng Ouv (Hình 9b):

D’={1u3, 2v4}

) , (

) , (

v u D

y x D

v v

u v

u

v u v

u

3 1 3

1 3

1

3

1 3

2

3 2 3 1 3

1 3 2

3 3 3

13

1

dv v

u du

(ii) Tính I=



D

y x y x dxdy

e , trong đó D là miền giới hạn bởi các

đờng: x=0, y=0, x+y=1 (Hình 10a)

u y x

2 1

) (

2 1

u v y

v u x

Ta đợc miền D’ giới hạn bởi các đờng: u+v=0, v-u=0, v=1 (Hình10b).

J=

2

1 ) , (

) , (



v u D

y x D

4

12

1

e e du

e dv v

v v u

Chú ý: Phép đổi biến trong (i) làm cho miền lấy tích phân đơn

giản hơn, phép đổi biến trong (ii) làm cho hàm lấy tích phân đơngiản hơn

Ví dụ 2.7: Tính 

D

ydxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các

đờng y=0 và đờng Xycloit (Hình 11):

(

) sin (

t a

y

t t

a x

t t

a

ta đợc miền lấy tích phân:

D’=0 t  2, 0 ya( 1  sint)

J=

) , (

) , (

y t D

y x D

1 0

0 ) cos 1 (

t a t

0

2

0

)cos1

(

t a

dy t ya

dt



= a t y a(1 cost)dt

0 2 2

0

) cos 1 ( 2

3

) cos cos

3 cos 3 1 (

3 cos 3 1 (

3 1 (

b Tích phân hai lớp trong toạ độ cực

Từ công thức chuyển toạ độ từ toạ độ Đề các sang toạ độ cực:

r y r x

) , (

) , (



r D

y x D

sin cos

Do đó công thức tính tích phân trong toạ độ cực:

rdrd r

r f dxdy y x

f

'

) sin , cos ( )

ta có công thức tính tích phân hai lớp trong toạ độ cực:

) (

2

1

)sin,cos()

,(

r

r D

rdr r

r f d dxdy y x

, trong đó D là miền giới hạnbởi bất đẳng thức: 1x2+y22x (Hình 12)

Hình 12 Giao điểm A, B của hai đờng là nghiệm của hệ phơng trình:

x y x

2 1

2 2 2 2

y x

Suy ra trong toạ độ cực điểm A có tg

I=

   

D

d r

d xdxdy

3

0

cos 2

1

2cos2

8(cos32

4

33

2)

cos4

cos2

cos43

0 0

br y

y

ar x

x

(14)

rb b

ra a

r D

y x D

) , (

) , (

y a

x

2

2 2

2 2 2

b

y a

x y x

Hình 13 Vì D là miền đối xứng qua cả Ox và Oy và f(x,y)=xy là hàm lẻtheo x và theo y nên tích phân theo số hạng thứ hai bằng không.Chuyển sang toạ độ cực bằng phép đổi biến:

b y a x

3

2 )

1 ( 3

0 2

3





Chú ý: Khi hàm dới dấu tích phân không xác định trong miền D,

ta có tích phân kép suy rộng Cũng nh trong tích phân một lớp suyrộng, nếu khi lấy tích phân ta đợc các nguyên hàm hữu hạn trên Dthì ta cũng chỉ việc thay cận tích phân cho nguyên hàm nhận đợc

y x

2 ) , (

4

0

cos

sin 2

0

4

0

4 0 2

H×nh 142.2 øng dông cña tÝch ph©n hai líp

1 øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n hai líp

f1( , ) 2( , )

VÝ dô 2.11: TÝnh thÓ tÝch cña phÇn h×nh trô x2+y2=2x, n»m trongh×nh cÇu: x2+y2+z2=4 (H×nh 15)

Hình 15 Vì tính đối xứng ta có;

D

dxdy y

x2 2

4

Trong đó D là nửa hình tròn x2+y2-2x0, y0

Chuyển sang toạ độ cực ta có:

0

2 2

2

0

)1(1

3

2)1(34

Ví dụ 2.12: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi cácmặt: x2+y2=z, và

2 2

2  z  x y (Hình 16)

Hình 16

Từ phơng trình của hai mặt ta có:

(z-2)2=z hay z2-5z+4=0Phơng trình cho nghiệm z1=1, z2=4, phần z>1 nằm bên ngoài mặtnón, nên ta có phơng trình mặt chiếu D trên Oxy là: x2+y2=1 Vậy:

V=   

D

dxdy y x y

2 (

Chuyển sang toạ độ cực ta có:

ơng trình của đờng Lemniscat (hình hoa hồng hai cánh, hình 17)

0 2 2

cos 2

0

22

cos4

Ví dụ 2.14: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=0

(

) sin (

t a

y

t t

a x

t t

a

ta đợc miền lấy tích phân:

D’=0 t  2, 0 ya( 1  sint)

J=

) , (

) , (

y t D

y x D

1 0

0 ) cos 1 (

t a t

0

2

0

2 2

2

0

)cos1()

cos1(

t a

dt t a

dy t a

0

3 ) 2 cos cos

4 3 (  t t dt a



c Diện tích mặt

Giả sử ta phải tính diện tích mặt S giới hạn bởi một đờng congkín, có phơng trình z=f(x,y), trong đó f(x.y) liên tục, có các đạohàm riêng liên tục

Gọi D là hình chiếu của S trên mặt Oxy, chia D thành n mảnhnhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích các mảnh nhỏ đó là:

1, 2, …, , nGọi tên và diện tích các mảnh nhỏ của mặt S có hình chiếu trênOxy là i (i=1 ,n) tơng ứng là:

S1, S2, …, S, n Trên mỗi mảnh i (i=1 ,n) lấy tuỳ ý điểm Mi(xi,yi), ứng với nó

ta có điểm Pi(xi,yi,zi) trên Si (i=1 ,n), trong đó zi=f(xi,yi) Qua Pidựng mặt phẳng i tiếp xúc với mặt cong S và gọi i (i=1 ,n) làmảnh nằm trên i có hình chiếu trên Oxy là i (i=1 ,n) Gọi i làgóc giữa pháp tuyến (đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúcvới mặt S) tại Pi của mặt đã cho với trục Oz, ta có:

i=i.cosi(i=1 ,n)

Trong đó

) , ( ' ) , ( ' 1

1 cos

2 2

i i y i i x

i

y x f y x

f 







Nếu đờng kính di của các mảnh i (i=1 ,n) khá nhỏ thì

Sii (i=1 ,n), do đó diện tích mặt S có xấp xỉ:

1

2

2( , ) ' ( , )'

Ví dụ 2.15: Tính phần diện tích mặt cầu x2+y2+z2=4 nằm trongphần giới hạn bởi mặt trụ x2+y2=2x (Hình 19)

Hình 19

Do z= 4  x 2 y2

2 2

4

'

y x

' 1

y x z

x2 2

4 2

Trong đó D giới hạn bởi x2+y2-2x0, y0 Chuyển sang toạ độcực ta có:

0

cos 2 0 2

2 ứng dụng cơ học của tích phân hai lớp

a Tính khối lợng của một bản phẳng không đồng chất

Cho một bản phẳng tạo thành miền D nằm trong mặt phẳng Oxy

và có khối lợng riêng tại M(x,y) là (x,y), trong đó (x,y) là mộthàm liên tục trên D

Chia miền D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên vàdiện tích của các mảnh đó là:

i i

x

1

),(

Gọi di là đờng kính của Si(i=1 ,n) Khi cho n  sao chomaxdi0, thì tổng có giới hạn là khối lọng m của bản Vậy:

D

dxdy y

x, ) (



b Mômen quán tính của một bản phẳng

Trong cơ học, mômen quán tính Ix, Iy của một chất điểm có khốilợng m đặt tại M(x,y) đối với các trục toạ độ Ox, Oy và đối vớigốc toạ độ lần lợt là:

Ix=my2

Iy=mx2

Io=m(x2+y2) Xét một bản phẳng không đồng chất D trong mặt phẳng Oxy, cókhối lợng riêng là (x,y) là một hàm liên tục trên D Từ định nghĩacủa tích phân hai lớp và các công thức tính mômen tại một điểm, ta

có công thức tính mômen quán tính của bản phẳng D đối với cáctrục Ox và Oy và đối với gốc toạ độ là:

Ix=

D

dxdy y x

y2( , )

Iy=

D

dxdy y x

x ) ( , ) ( 2 2



c Mômen tĩnh và toạ độ trọng tâm của một bản phẳng

Cho một hệ n chất điểm có khối lợng m1, m2,…, ,mn đặt tại các

điểm M1(x1,y1), M2(x2,y2), …, ,Mn(xn,yn) khi đó mômen tĩnh đối vớicác trục toạ độ là:

n i

i i

m

m x

n i

i i

m

m y

1 1

Do đó mômen tĩnh và toạ độ trọng tâm của bản phẳng D với khối ợng riêng (x,y) là:

l-Mx=

D

dxdy y x

dxdy y x x

),(

),(

dxdy y x y

),(

),(

có khối lợng riêng tại M(x,y) là:(x,y)=6x+6y+6.

Hình 20 Khi đó ta có:

(i) Khối lợng của bản:

6 6 6 (

x

dy y

x dx

(ii) Mômen tĩnh theo Ox và Oy là:

6 6 6 (

x

dy y

x y dx

6 6 6 (

x

dy y

x x dx

x y dx

6 6 6 (

x

dxdy y

x x dx

2.3 Tích phân bội ba

1 Định nghĩa tích phân bội ba

Cho hàm f(x,y,z) xác định trong một miền đóng giới nội V củakhông gian Oxyz Chia tuỳ ý miền V thành n miền nhỏ không dẫmlên nhau, gọi tên và thể tích các miền nhỏ đó là:

V1, V2,…, V, nTrong mỗi miền Vi lấy tuỳ ý một điểm Mi(xi,yi,zi) (i=1 ,n) Tổng:

),,(gọi là tổng tích phân của f(x,y,z) trên V

Gọi di là đờng kính của miền nhỏ Vi, cho n  sao chomaxdi0 nếu tổng In dần đến một giới hạn xác định I không phụthuộc cách chia miền V và cách chọn các điểm Mi thì I đợc gọi làtích phân ba lớp của hàm f(x,y,z) trên miền V và đợc ký hiệu:

V

dV z y x

f( , , )

Nếu tích phân tồn tại ta nói hàm f(x,y,z) khả tích trên miền V Vì tích phân bội ba không phụ thuộc cách chia miền V, nên ta cóthể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ,khi đó ta có: dV=dxdydz do đó ta có:



V

dV z y x

f( , , ) =

V

dxdydz z

y x

f( , , ) là khối lợng của V.

(iii) Nếu f(x,y,z)1 thì 

V

dxdydz bằng thể tích của V.

(vi) Tích phân bội ba có các tính chất giống tích phân bội hai

2 Tính tích phân bội ba trong toạ độ Đề các

Giả sử hình chiếu trên mặt Oxy của V là D và V đợc giới hạn bởicác mặt: z1(x,y) và z2(x,y), trong đó z1(x,y) và z2(x,y) là các hàmliên tục trên D., khi đó ta có:

) , (

) , ( z

2

1

),,(dxdydz

dy z)dx y,f(x,

y x z

y x

dz z y x f

Nếu miền D đợc giới hạn bởi các đờng y1(x), y2(x) trong đó y1(x) và

y2(x) liên tục trên [a,b], khi đóa,b] thì ta có:

b

a

x y

x y

y x z

y x z

dz z y x f dy dx

) (

) (

) , (

) , ( 1

2

1

2

),,

Hình 21

Ví dụ 2.17: Tính I= 

V

zdxdydz, trong đó V là miền giới hạn

bởi các mặt phẳng toạ độ và các mặt x+y=1, x2+y2+z2=1, z0(Hình 22)

Hình 22 Trên hình vẽ ta có:

dx zdz

dy dx

1

0 1

0

1 0 1

0 2 1

0 1

0

2 2

2 1

y x y dy

y x dx

3 2 2

2 1

1 )

1 ( 2

6

1 ) 1

(

2

1

x d x dx

x x x

=

6

1 ) 1 ( 24

1 4

3 2 2

0 3 1

0

4 3 2

y x

, (

) ,

, (

) ,

, (

w v u z z

w v u y y

w v u x x

) , , (

w v u D

z y x D

=

w v

u

w v

u

w v

u

z z

z

y y

y

x x

x

' '

'

' '

'

' '

'

0trong miền V’ trừ tại một số hữu hạn điểm

Khi đó ta có công thức:

I=

V

dxdydz z

y x

f( , , )

=

'

)) , , ( ), , , ( ), , , ( (

V

dudvdw J

w v u z w v u y w v u x f

a Tích phân bội ba trong toạ độ trụ

Giả sử điểm M(x,y,z) trong không gian có hình chiếu trên Oxy làM’(x,y) ta chuyển M’(x,y) sang toạ độ cực:

r y r x

Dùng phép đổi biến:

r y

r x

0

0 cos

sin

0 sin

y x

f( , , )

=

'

) , sin , cos (

V

dz rdrd z r

y x

) 2

(

2 2

, trong đó V làmiền giới hạn bởi các mặt: x2+y2=2-z, x2+y2=z2, z>0 (Hình 24)

Hình 24

Từ phơng trình của hai mặt ta có:

z2+z-2=0 Phơng trình cho nghiệm z1=1, z2=-2 (loại) Với z=1 ta có:

0

2 2

2

z z r r

3 2 2

1

0

3 4 2

xydxdydz, trong đó V là nửa trên hình

cầu x2+y2+z2=1 nằm trong hình trụ x2+y2=x (Hình 25)

r

dz r

r rdr





0

1sin

2 1) 1 (1 )1

(sin

3 2 3

5

3

2)1(5

3sin

15

4sin

3

2sin5

2sincos

3

2sinsin

1.15

45

1.3

27

1

b Tích phân bội ba trong toạ độ cầu

Giả sử M(x,y,z) có hình chiếu trên Oxy là M’(x,y) Xét véc tơ

OM và véc tơ OM', gọi góc giữa OM và trục Oz là , góc giữa

cos sin

r z

r y

r x

Nh vậy mỗi điểm M trong không gian đợc biểu diễn qua cặp ba

số (r,,) gọi là toạ độ của M trong hệ toạ độ cầu, các công thứctrên là công thức chuyển toạ độ từ toạ độ Đề Các sang toạ độ cầu(Hình 26)