Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 9 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1.     2 2 du 1 u arctg c a a u a 4.    du 2 u c u 2.       2 2 du 1 u a ln c 2a u a u a 5.        2 2 du u arcsin c a 0 a a u 3.       2 2 du 1 a u ln c 2a a u a u 6.       2 2 du ln u u p c u p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 1.                     2 2 2 2 b b 4ac ax bx c a x 2a 4a 2.         2 2 2 ax bx c mx n p B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN I. Dạng 1:  2 dx A = ax + bx + c 1. Phương pháp:            2 2 2 dx dx 1 mx n arctg c mp p ax bx c mx n p               2 2 2 mx n pdx dx 1 ln c 2mp mx n p ax bx c mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa •         1 2 2 2 2 d d 1 d 2 2 1 2 2 3 ln 2 4 8 1 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x x A c x x x x x                    3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 10 1 2 dx A 3x 4x 2     ; 2 3 2 2 dx dx A ; A ; 4x 6x 1 5x 8x 6          2 1 1 4 5 6 2 2 2 1 0 0 dx dx dx A ; A ; A 7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3             II. Dạng 2:    2 mx + n B = dx ax + bx + c 1. Phương pháp:                  2 2 m mb 2ax b n mx n 2a 2a B dx dx ax bx c ax bx c                  2 2 d ax bx c m mb n A 2a 2a ax bx c            2 m mb ln ax bx c n A 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • Nếu mẫu có nghiệm kép 0 x x  tức là 2 2 0 ( ) ax bx c a x x     thì ta giả sử:           2 2 0 0 mx n x x x ax bx c x x   Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm  ,  . Với  ,  vừa tìm ta có:        2 mx n B dx ax bx c  ln     0 0 x x c x x   • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x : 2 1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x      thì ta giả sử         2 1 2 mx n x x x x x ax bx c   Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm  ,  . Với  ,  vừa tìm ta có:   dx      2 mx n B ax bx c  ln ln     1 2 x x x x c   2. Các bài tập mẫu minh họa: •   1 2 2x + 3 B = dx 9x 6x + 1     2 2 2 1 11 18 6 1 18 6 d 11 d 9 3 d 9 3 9 6 1 9 6 1 9 6 1 x x x x x x x x x x x                Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 11         2 2 2 1 9 6 1 11 3 1 2 11 ln 3 1 9 9 9 9 3 1 9 6 1 3 1 d x x d x x c x x x x                3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 3 2 2 2 7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx B ; B ; B 4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4                ; III. Dạng 3:  2 dx C = ax + bx + c 1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2 2 du u u k c u k       Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:       2 2 2 dx dx 1 ln C mx n mx n k c m ax bx c mx n k                   2 2 2 dx dx 1 arcsin 0 mx n C p m p ax bx c p mx n            2. Các bài tập mẫu minh họa: •     2 3 2 2 d 1 d 5 5 45 ln 4 16 2 4 45 4 10 5 5 4 16 x x C x x c x x x               3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 2 2 2 dx dx dx C ; C ; C 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x             IV. Dạng 4:    2 mx + n dx D = ax + bx + c 1. Phương pháp:   2 2 2 dx dx 2 2 ax b m mb D a a ax bx c ax bx c             2 2 2 2 d ax bx c m mb C a a ax bx c        2. Các bài tập mẫu minh họa: • D 1 =     1 1 1 2 2 2 0 0 0 4 d 2 d d 2 4 5 4 5 4 5 x x x x x x x x x x x                      1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 d 4 5 d 2 4 5 2ln 2 4 5 2 4 5 2 1 x x x x x x x x x x x                   Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 12     3 10 10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln 2 5            3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 3 2 2 2 5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x                V. Dạng 5:    2 dx E = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: Đặt 2 1 dt 1 1 dx ; px q p x q t p t t              . Khi đó:   2 2 2 2 2 dt ptdx dt E px q ax bx c t t 1 a 1 b 1 q q c t t p t p                                2. Các bài tập mẫu minh họa: •    3 1 2 2 dx E = x - 1 x - 2x + 2 . Đặt 2 2 1 1 1 1 3 1 ; 2 dx x t t x t x x t t dt t                    Khi đó:       1 2 3 2 1 2 2 2 1 dt t dx E 1 x-1 x 2x 2 t 1 t 1 2 2 t t t              1 1 2 2 1 2 1 2 dt 1 5 2 2 2 ln t t 1 ln 1 2 ln ln 2 1 5 t 1              3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 2 dx dx dx E ; E ; E 2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1               VI. Dạng 6:      2 mx + n dx F = px + q ax + bx + c Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 13 1. Phương pháp:         2 2 dx dx mq m px q n mx n p p F px q ax bx c px q ax bx c                       2 2 dx dxmq mqm m F n C n E p p p p ax bx c px q ax bx c                          2. Các bài tập mẫu minh họa:     1 1 2 0 2 3 d 1 2 2 x x F x x x          1 1 2 2 0 0 dx dx 2 2I J x 2x 2 x 1 x 2x 2           1 2 0 dx 2 2 I x x           1 1 2 0 2 0 dx 2 5 ln 1 1 1 ln 1 2 1 1 x x x               1 2 0 1 2 2 dx J x x x      . Đặt 2 0 1 1 1 1 1 2 dx x t x t x t dt t                  . Khi đó:     1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 dt t dt 2 2 2 J ln t t 1 ln 1 5 1 t 1 1 1 1 2 1 2 t t t                  F 1  2I + J        2 5 2 2 2 2 9 4 5 2ln ln ln 1 2 1 5 1 2 1 5          •         3 2 2 2 5 1 2 1 2 2 2 1 4 3 x dx x x x            -3 2 2 2 -2 x + 3 dx F = 2x + 1 -x - 4x - 3   3 2 3 2 2 2 2 2 1 dx 5 dx 1 5 I J 2 2 2 2 x 4x 3 2x 1 x 4x 3                  3 2 2 2 4 3 dx I x x            3 2 3 2 2 2 2 dx arcsin x 2 6 1 x 2               3 2 2 2 2 1 4 3 dx J x x x         . Đặt 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 x t t x t x x ; t t dt dx t                         Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 14         1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 2 1 2 dt 2t dt J 1 5t 6t 1 1 1 1 1 2 1 3 4 t t t 1 dt 1 5t 3 1 2 1 arcsin arcsin arcsin 2 3 4 5 5 5 3 2 t 5 5                                    Vậy   2 5 5 1 2 1 F I J arcsin arcsin 2 2 12 2 3 4       3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:             1 1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx F ; F ; F 8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1                   VII. Dạng 7 :    2 2 xdx G = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt 2 2 2 2 2 t d t dt t cx d t cx d x ;x dx c c          Khi đó:     2 2 2 2 1 1 1t dt dt G A c c at bc ad c a t d b t c                 2. Các bài tập mẫu minh họa: •    1 1 2 2 0 xdx G = 5 - 2x 6x + 1 . Đặt 2 0 1 6 1 1 7 6 x t t x x t x dx t dt                  . Khi đó:     7 7 7 1 2 2 2 1 1 1 3 4 7 1 tdt 1 dt 1 1 4 t 1 G ln ln 6 2 2 8 4 t 16 4 t 16 t 5 4 7 t 3                         3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 0 xdx xdx xdx G ; G ; G 4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1             VIII. Dạng 8:    2 2 dx H = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt   2 2 2 2 2 2 2 2 d td.dt xt cx d x t cx d x xdx t c t c             Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 15        2 2 2 2 2 td.dt t c dx xdx dt x xt t c td t c cx d          . Khi đó ta có:       2 2 2 2 2 dx dt dt H A ad bt ad bc ax b cx d b t c t c                       2. Các bài tập mẫu minh họa: •    3 1 2 2 2 dx H = x - 2 x + 3 . Đặt 2 2 2 3 3 3 3 7 2 2 x t x xt x t x x t                  và     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3tdt x t x 3 t 1 x 3 x xdx t 1 t 1                   2 2 2 2 2 3tdt t 1 dx xdx dt x xt t 1 3t t 1 x 3          . Khi đó ta có: 2 3 1 2 7 2 dt 2 5 H t           2 3 7 2 1 2 5 1 2 2 15 14 2 5 ln ln 2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5 t t        3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:     2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 d d 5 ; ; d 2 3 1 5 2 3 2 3 1 x x x H H H x x x x x x x x               IX. Dạng 9:      2 2 mx + n dx I = ax + b cx + d 1. Phương pháp:     2 22 2 xdx dx I m n mG nH ax b cx d ax b cx d           2. Các bài tập mẫu minh họa: •             3 2 2 2 4 1 7 1 5 3 1 2 x dx x x              3 1 2 2 2 4x + 3 dx I = x - 2x - 4 3x - 6x + 5         2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 du udu du 4u 7 4 7 4J 7L u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2                Xét   2 2 2 1 5 3 2 udu J u u     . Đặt 2 2 2 2 3 2 3 3 t tdt t u u udu        Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 16     14 2 14 14 2 2 2 2 1 5 5 5 udu tdt dt 1 t 17 J ln 2 17 t 17t 17 t 17 t u 5 3u 2                    17 14 17 5 1 17 14 17 5 1 ln ln ln 2 17 17 14 17 5 2 17 17 14 17 5                  Xét   2 2 2 1 5 3 2 du L u u     . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 ut u u t u u t                  2 2 2 2 2 2 2 2tdt t 3 2tdt du udu dt udu u ut t 3 2t t 3 3u 2 t 3            . Khi đó:     14 2 14 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 du dt dt L 2 17 5t u 5 3u 2 5 t 3 t 3                    14 2 2 1 1 17 t 5 ln 5 2 17 17 t 5            1 70 2 17 2 5 17 ln 2 85 70 2 17 2 5 17                    1 17 14 17 5 4 7 70 2 17 2 5 17 I 4J 7L ln ln 2 17 2 85 17 14 17 5 70 2 17 2 5 17             •             6 1 2 2 2 1 2 1 1 1 5 2 1 3 x dx x x                6 -1 2 2 2 2 -1 2x + 1 dx I = x + 2x + 6 2x + 4x - 1         6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2u 1 du udu du 2 2J L u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3                Xét   6 2 2 2 5 2 3 udu J u u     . Đặt 2 2 2 3 2 3 2 2 t tdt t u u udu            6 3 3 2 2 2 2 1 1 2 udu tdt dt 2 3 1 J arctg arctg t 13 13 13 13 t 13 t u 5 2u 3                   Xét L    6 2 2 2 5 2 3 du u u    . Đặt 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ut u u t u u t         Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 17    2 2 3tdt udu 2 t          2 2 2 2 2 3tdt 2 t du udu dt u ut 2 t 3t 2 t 2u 3        . Khi đó:     3 6 3 6 3 6 6 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 du dt dt 1 dt L 13 3 5 13 5t u 5 2u 3 t 5 2 t 5 2 t                      3 6 1 2 13 5 t 1 1 1 78 3 5 26 5 ln ln ln 5 2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5                          2 4 3 1 1 78 3 5 26 5 I 2J L arctg arctg ln 13 13 13 2 65 78 3 5 26 5                . Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 9 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1.     2 2 du 1. pháp: Đặt   2 2 2 2 2 2 2 2 d td.dt xt cx d x t cx d x xdx t c t c             Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 15        2 2 2 2 2 td.dt t c dx. chứa tam thức bậc 2 17    2 2 3tdt udu 2 t          2 2 2 2 2 3tdt 2 t du udu dt u ut 2 t 3t 2 t 2u 3        . Khi đó:     3 6 3 6 3 6 6 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 du