CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

Hữu tỷ hóa tích phân

Dạng 1 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

 Nội dung phương pháp

Trong phần này, ta cần nắm được cách tính các tích phân sau:

1) I1 dx

ax b





 , với a 0

Cách tính  

1

ln

1 d ax b ax b







2)

dx I

ax b





 , với a  , 0 n  *, n 2

Cách tính  

2

1

d ax b



P x

ax b





 , P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 ,   a  , 0 n  *

Cách tính Thực hiện phép đổi biến tax b

4) I4 2 dx



 , với a  , 0 ax2bx c 0 x

Cách tính Biến đổi 2  2 2

ax bx c a xe  f 

  (f 0), sau đó thực hiện phép đổi

biến x e  f tant, ;

2 2

t   

  

  Ta có

2

1 cos

t

cos

dt

dx f

t

5) I5 2mx n dx





 , với a  , 0 m 0, ax2bx c 0 x

Cách tính Phân tích 2mx n A 22ax b B 2 1

ax bx c ax bx c ax bx c

2

2

ln

d ax bx c

ax b



ax bxc

 chính là I4 Tất cả các tích phân hàm phân thức hữu tỷ đều được quy về năm dạng nói trên

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tính

12 3

x

x





Giải

Đặt t2x , suy ra3 3

2

t

2

dx dt Khi x nhận các giá trị bằng 1 và 2 thì t nhận các

giá trị tương ứng là 5 và 7 Do đó

9 27

t



7

5

Ví dụ 2 Tính

1

2 0

4 11

x





Giải

Ta có

I  

2

 

,

2

0 0

d x x

1

2

ln 2 ln 3 3ln 2

I

Suy ra I 2 ln 3 ln 2

Ví dụ 3 Tính

1

2

x









Giải

Ta có

2



,

1

1 2

2

x











BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Ta thấy

1

2

dx K

x







 Đặt x2tant, ;

2 2

t    

  Suy ra 1  22 12

cos

x

t

2

cos

dt

dx

t

 Khi x nhận các giá trị 2 và 1 thì các giá trị của t lần lượt là 0 và

4



Do đó

4

K dt





 

Vậy ln 2

Ví dụ 4 Tính

2 0

4

x







Giải

Ta có

2

2

Ta xét

2

2

dx J

x





 Đặt x2 tant, ;

2 2

  Suy ra

2

2

1

4 4 cos

x

t

cos

dt dx

t

x nhận các giá trị 0 và 2 thì các giá trị của t lần lượt là 0 và

4



Do đó

4

0

1





Vậy 6

8

 

Ví dụ 5 Tính I=

3

3 2

1

x x



Giải

Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định )

2

1

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

 Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số :

1

2

A A

C C











 



Khi đó (1)

2

2

A B x A C x A B C

 Do đó :

3

2

x



Cách 2:

 Đặt : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4

 Khi đó : I=

2

t t dt

4

3

t



 Do đó : I=

3

4

3

t t



Hoặc :

4

I=

4

2 3

4

3

t dt





Ví dụ 6 Tính I=

2

x

dx

x x



Giải

Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Do đó :

2

t

Cách 1; ( Hệ số bất định )

Ta có :

2

Đồng nhất hệ số hai tử số :

2

1 3 1

4 9

B

A C

B

C











2

1

t t

Cách 2:

9

t t

2

1

 Do đó I= 17 4ln 5 7ln 2

6 9 9

Ví dụ 7 Tính I=

3

2 2

1

1 dx

x x 



Cách 1: ( Hệ số bất định )

f(x)=

2

2

1

x x



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

 Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm : x=0;x=1 và x=-1 vào hai tử ta

có :

1

1 2

A

C



  





2

3

2

x x

Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu )

Ta có :

1

Do đó :

2 2

2

3

2

1

xdx

x x



Ví dụ 8 Tính I=

4

2 3

1 4

x dx

x x







Cách 1:

Ta có :

2

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số :

Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8

Do đó : f(x) = 1 1 1 1 3 1

2

3

2

4

x

x x

ln 3 ln 5 ln 2

Cách 2:

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2

4

2 2

2

4

3

4

x x

Ví dụ 9 Tính

2

x

dx

x  x

Giải

Cách 1: ( Hệ số bất định )

2

Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số :

Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2

Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2

Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4

Do đó :

I=

2

3

2

Cách 2.( Nhẩy tầng lầu )

 

1

x

Từ đó suy ra kết quả

Ví dụ 10 Tính

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a

1

2 2

0

1

dx

x  x

3 1 2

1 1

x dx x







Giải

a

1

2 2

0

1

dx

x  x



Ta có :

2 2

2

2

2

1

0

x

b

3

1

2

1

1

x

dx

x







Ta có :

( )

f x

1

1 2

( )

Ví dụ 11 Tính

a

1

1

1

x

dx

x x



1 4

6 0

1 1

x dx x







Giải

a

1

1

1

x

dx

x x



 Chia tử và mẫu cho x 2 0, ta có :

 

2

1

1

dx x x



3

3

  





BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Vậy :

2

( )

dt

4

2

t

I

t

b

1 4

6

0

1

1

x

dx

x





3

2







Cho nên :

Ví dụ 12 Tính

a



2

4 1

1

1dx

x 



Giải

a



Đặt :

2

2







Vậy :

2

5



 

3

2

1

2

t



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2

3 arctan os

Do đó (1)

1

1 2

0

2 2 tan

2

os

u du



b

2

4 1

1

1dx

x 

Đã tính ở trên ( phần a)

Ví dụ 13 Tính

a

1

1

x

dx



5 2

3 2

dx

x  x 



c

1 5

2

2

1

1

1

x

dx

x x





x dx



Giải

a

1

1

x

dx



1

1 1

3

dx





2

Vậy (1) trở thành :

5

2

dt



b

5

2

3

2

dx

x  x 

( )

f x

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2

5

3

2

x

5

2

3

2

5

3

2

x



c

1 5

2

2

1

1

1

x

dx

x x





Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác là đặt : t x 1

x

  , sẽ ra kết quả

d I =

3 2

1

Đặt :

3

3

4

1

t

x







Vậy :

80

2 15

80

15



Ví dụ 14 Tính

a

2

4

dx

x x 

1 2 2

2 0

1

x

dx



Giải

a

2

4

dx

x x 

 Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có :

4

1 1

( )

1

A Bx Cx Dx E

f x



4 4

1

Ex+A

x x

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn

Vì x và 3

x cách nhau 3 bậc , mặt khác x1; 2x Cho nên ta nhân tử và mẫu với 0

3 0

x  Khi đó

3

4 4

( )

1

x

f x

x x



d x  x dxdt x dx tx , cho nên

:

3

4 4

x x

Bài toán trở nên đơn giản hơn rất

nhiều ( Các em giải tiếp )

b

1

2

2

2

x

dx

x x

Nhận xét :

* Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau :

-

2

1 ( )

f x



- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có : 1, 3, 5

A B C D

Do vậy :

1

2

0



1

x x





Ví dụ 15 Tính

a

3 4

6

2

1

1

x

dx

x





2 2

6 1

1 1

x dx x





2

4

1 1

dx

x x



d

3

2

0 1

x

dx

x



3 2 0

1

dx x



4 1 3

x x

dx x





Giải

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a

Tính J : J= artanx3

2artan3-artan2

Tính K Đặt

2

( )





t



Tính E=

x   x x  x

Ta có :

3

1

( )

1

h x

x



2

x x

x



Tính F : Đặt :

tan

2

os

c t









F=

3 1

3

1 tan

2

a t



Thay vào (2) ta có kết quả

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

b

2

Ta có :

1



1

x x



Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :

1 2

2

1 2

A

C

D

B



 









 



1

Tính J=

 

2 2

2

1

x

Tính E =

2

2 2

1

dx

 , học sinh tự tính bằng cách đặt : 1 3tan

Tính K

 

2 2

2

1

x

Tính F=

2

2 2

1

dx

 , học sinh tự tính bằng cách đặt : 1 3tan

c

2

1

d x d x

dx

d

1

2



2

1

x t dt xdx



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Do đó

2

1

t

e

2 2

1

1 1

x

x

Tính J : Bằng cách đặt tan

4

Tính K=

1

0

2

dx E F



Tính E : Bằng cách đặt

1 tan

4

2

os

c t









Vậy :

1

2

4

os

os

c t

4

0

0

os2t







Tính F Tương tự như tính E ;

Bằng cách đặt

1 tan

4

2

os

c t









Vậy :

1

4

6

os

os

c t

2

0

os4t





4

0

0

os4t







BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1

3

dx dt x



 



      



8

0

I   t t dt t t dt t  t       

* Chú ý : Còn có cách khác

3

x x

1

3

4

1 1

; ( )

1

t t t

t t

t



 

 

 

1

2

1 1

t

(2) Đặt : u 1 12 12 1 u du; 1dt

Ví dụ 16 Tính

a

3

2

dx

x x

2 4

0 1

x dx x





c

1 3

2

2

0

2

1

dx

x





4 1

1 x

dx x





Giải

a

1

1

dx

dx

x x  x x x  x

Xét :

1 ( )

f x





B C E x A D C E x E D x Bx A



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :

1 3

3

1

D

C

E

A









 

  





Vậy :

x

x

 2

3 2

2 2

2x+1 arctan

x dx

x



b

3

1

3

x dx



Đặt :

3

4

( )







Vậy :

2

2 0

2

1



c

2

2

2

x







( )









Vậy :

2

2 1

2

1



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2

1



Đặt :

2

2







Ví dụ 17 Tính

a

4

2

dx

x x 

2

x x dx x







c

2

0

2

1

dx

x





0

1 x dx



Giải

1



9

t x tdt xdx x t





2

I

t t t

t t



Ta có :

2

2

1 ( )

f t

Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có :

- Với x=0 : -9A=1 1

9

A

- Với x=-3 : 9C=1 1

9

C

- Với x=3 : 9B=1 1

9

B

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

4

t

* Chú ý : Nếu theo phương pháp chung thì đặt : x3sintdx3costdt

Khi :

7

3 4

3









Như vậy ta không sử dụng được phương pháp

này được

 

2

1



* Để tính J :

Đặt :

2

2

2 2

2

1

4

tan

tan ( )

1 tan

os

os

ost

c t

t

c t

c t

















Tính tích phân này không đơn

giản , vì vậy ta phải có cách khác

- Từ :

 

- Hai tích phân này đều tính được

+/ Tính :

x

* Tính K=

1

2 2

0

1

0 1

x

dx x x



2 0

1 1

0 1

x





Do vậy : I= 2 1ln 1 2 ln 1 2 2 3ln 1 2

2



2

4

2

1

t x







BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Suy ra : J=2 4 2  5 3

1

2

1

t  t  dt t  t t 



2 2

2

2 2

1

t x









Suy ra : K= 2 2  3

1

2

1

1

t  dt t t 



Vậy : I=28 4 48 16

1

3

2

0

1 x dx

 23

2 sin

dx c









Do đó I=

2

1 2 cos 2

8

3 1sin 2 1 sin 4 2 3

0



