Tích phân hàm một biến doc

Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ... Định nghĩa tích phân bất định 2.. Các tính chất của tích phân bất định... Phương pháp tích phân từng phần... Phương pháp tích phân từng phần G

6.1 Tích phân bất định

6.1.1 Khái niệm 6.1.2 Các phương pháp tính

6.1.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ

6.1.4 Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ

6.1.1 Khái niệm.

1 Định nghĩa tích phân bất định

2 Bảng các tích phân cơ bản

3 Các tính chất của tích phân bất định

6.1.2 Các phương pháp tính TPBĐ

1 Phương pháp đổi biến số.

2 Phương pháp tích phân từng phần

1 Phương pháp đổi biến số.

b Phương pháp đặt u = u(x): u(x) là hàm liên tục,

2 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàmu’(x), v’(x) liên tục thì:

* Các dạng tích phân từng phần thường gặp:

ax ax

e x

• Dạng: dx

arctgx

x x

x x

ln )

x

u

arccos arcsin

ln

Đặt

Ví dụ: Tính:

∫ x ln2 xdx ∫ x arcsin xdx ∫ x.arctg xdxĐặt u = lnx

dv = x2dx Đặt u = arcsinx dv = xdx Đặt u = arctgx dv = xdx

6.1.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ.

1 Các định nghĩa (Xem giáo trình)

2 Phân tích 1 phân thức hữu tỉ thực sự thành những phân

thức đơn giản (Xem giáo trình)

3 Tích phân các phân thức hữu tỉ.

* Tích phân các phân thức đơn giản:

∫ x + bx + + c k

B

Ax

) ( 2 ( k ≥ 2 , ∆ = b2 − 4 ac < 0 )

Đặt t = x + b/2

* Để tính tích phân các hàm hữu tỉ thực sự, ta phân tích nóthành tổng của các phân thức đơn giản, rồi tính tích phân

6.1.4 Tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức

hữu tỉ

hữu tỉ của sinx và cosx)

Đặt biệt:

Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = cosx

Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = sinx

Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), Đặt t = tgx hoặc

t =cotgx

Ví dụ: Tính:

∫ sin xdxcos 2x ∫ sin2 x cos3 xdx ∫ sin4 x dx cos2 x

Đặt t = cosx Đặt t = sinx Đặt t = tgx

b Dạng ∫ sinn x cosm dx ( n , m ∈ Z )

Áp dụng trường hợp đặc biệt trên:

- Nếu n hoặc m là số lẻ thì đổi biến t = cosx hoặc t = sinx

- Nếu n và m là hai số chẵn và dương thì dùng CT hạ bậc

- Nếu n và m là hai số chẵn và có 1 số âm thì đổi biến

Đặt t = tgx

∫ cos ax cos bxdx , ∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax sin bxdx

c Dạng

Biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành tổng

d Dạng ∫ sinn xdx , ∫ cosn xdx

Dùng công thức hạ bậc

2 Tích phân hàm vô tỉ.

d cx

b

ax d

cx

b

ax x

r n

m

])(

, ,)

(,

[

+

++

dx ) c bx

ax ( , x (