PHÉP QUAY APLUS

 Vận dụng phép quay để xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một hình,.... Chú ý :  Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác quay ngược chiều quay của

MÔN: TOÁN

Họ và tên:… Lớp:

MỤC TIÊU BÀI HỌC

 Nhận biết phép quay, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan

 Biết được các tính chất phép quay

 Biết vẽ ảnh và xác định được ảnh của một hình qua phép quay

 Biết được biểu thức tọa độ của phép quay với góc quay đặc biệt

 Vận dụng phép quay để xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một hình, cho trước

 Vận dụng phép quay để giải một số bài toán về quĩ tích, chứng minh hai hình bằng nhau

1 Định nghĩa:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác 

không đổi Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi

điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM'OM và

OM OM, ' được gọi là phép quay tâm O góc quay 

Chú ý :

 Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường

tròn lượng giác (quay ngược chiều quay của kim đồng hồ) và chiều âm là chiều ngược lại

 QO k, 2 k   : là phép đồng nhất

 QO,k2 k   : là phép đối xứng tâm O

 QO; M M QO;MM

2 Tính chất :

 Phép quay là một phép dời hình (bảo toàn khoảng cách

giữa hai điểm bất kì)

 Phép quay biến :

Đường thẳng thành đường thẳng,

Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với nó

Tam giác thàng tam giác bằng với nó

Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

 Giả sử phép quay tâm I góc quay  biến đường thẳng d thành đường thẳng ' d , khi đó:

 Nếu 0

2





  thì góc giữa hai đường thẳng d và ' d bằng 

2



  thì góc giữa hai đường thẳng d và ' d bằng  

APLUS TÂY HÀ NỘI:

Thầy Chiến 0973514674

P2205 - CT2A Tân Tây Đô

C'

A'

B'

A C

C'

C

80°

M'

O

M

φ

φ

d' d

I

O

3 Biểu thức toạ độ :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M x y ; và góc lượng giác 

M x y ;  M'x y'; '

'

OM r

Ox OM  





 



Toạ độ điểm M'x y'; ' :  

' cos ' sin

x r

y r

 

 













Do vậy QO, M M' ' cos sin



 



Với phép quay tâm I a b ;  bất kì: M'x y'; 'QI, M Ta có:

*







Nếu M x y   ;  : AxBy C 0thì bằng cách nhân các vế của  * lần lượt với ,A B

rồi cộng thêm C ta được:

0aA bB C   Acos sinB  x'a  AsinBcos 'yb

Chính vì vậy ta có kết quả quan trọng sau đây:

Trong mặt phẳng Oxy cho QI,, với I a b ;  Khi đó QI,biến đường thẳng : d AxBy C  thành: 0

d A  B  x a  A B  y b D (với D AaB b C )

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Đặt : và góc lượng giác

Ta có :

O

M M’

Góc quay  Phép quay tâm O góc quay  Toạ độ điểm M'x y'; '



Phép đồng nhất



Phép đối xứng tâm O

180

'

y y





 



Phép đối xứng tâm O



OM’vuông góc OM

90

'

y x





 



OM’vuông góc OM

60

'

'









60

'

'









45

'

'









45

'

'









30

'

'









30

   

'

'









120

'

'









120

   

'

'



  







CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1 ĐỊNH NGHĨA, SỰ TỒN TẠI PHÉP QUAY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chỉ ra sự tồn tại của phép quay, ta chỉ ra tâm quay và góc quay

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O , góc quay k2, k  

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng xác định phép quay biến đườngthẳng này thành đường thẳng kia

Ví dụ 3 : Chọn 12 giờ làm mốc, Kim phút đã quay góc bao nhiêu độ trong các trường hợp sau:

a) 12 giờ 15 phút

b) 6 giờ

c) 1 giờ

Ví dụ 4 : Cho hình vuôngABCD có cạnh 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương Các đường chéo

cắt nhau tại I Trên cạnh BC lấy BJ 1

Xác định phép biến đổi AI thành BJ

biết O là tâm quay

Ví dụ 5 : Cho hai đường tròn cùng bán kính O và O' tiếp xúc ngoài nhau

Có bao nhiêu phép quay góc 90 biến hình tròn  O thành  O' ?

DẠNG 2 TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tìm ảnh của một hình ta đi tìm ảnh của từng điểm của hình đó

Tìm ảnh tam giác ta tìm ảnh 3 đỉnh, tìm ảnh tứ giác ta tìm ảnh 4 đỉnh

Tìm ảnh hình tròn ta tìm ảnh của tâm và 1 điểm thuộc đường tròn

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Cho ABC và một điểm O, nằm ngoài tam giác Tìm ảnh của ABC qua QO;60

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, tâm O

a) Tìm ảnh của điểm C qua QA;90 và ảnh của đường thẳng BC qua QO; 90 

b) Gọi M N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , AB OA ,

Tìm ảnh của AMN qua QO;90

Ví dụ 3: Cho hình tròn tâm I, bán kính RIM 3cm (như hình vẽ)

Tìm ảnh của hình tròn tâm Iqua :

a) QO;60

b) QM; 90 

Ví dụ 4: Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O Trung điểm của cạnh AB là I

a) Tìm ảnh của AIF qua QO; 120 

b) Tìm ảnh của AOF qua QE; 60 

I

M

O

9

4

2

11

6

8

5

7

1

10

12

4

2

11

6

8

5

7

1

10

12

4

2

11

6

8

5

7

1

10

12

3

DẠNG 3 TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH CỦA ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG TRÒN…

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng biểu thức toạ độ của phép quay Toạ độ điểm M'x y'; ' :



 

 Với phép quay tâm I a b ;  bất kì: M'x y'; 'QI, M Ta có:







I, 

Q  biến đường thẳng d Ax: By C 0 thành:

d A B  x a  A B  y b D (với D AaB b C )

I, 

Q  biến đường thẳng biến véc tơ u =(A; B) thành ' u =(A’; B’) xác định bởi:







(**)

*Nhận xét : ảnh của một véc tơ qua phép quay không phụ thuộc tâm quay

Đặc biệt: nếu  =  45 o và ' n là ảnh của véc tơ pháp tuyến n = (A; B) của đường thẳng thì có

thể chọn ' n = (A – B; A + B) hoặc ' n =(A+B; -A+B)

Với đường tròn:

Để tìm ảnh của phương trình đường tròn ta chỉ cần tìm ảnh của tâm qua phép quay Bán kính của

đường tròn ảnh và tạo ảnh bằng nhau

C xA  yB R Ta có QI,  C  C'

Nếu k2 , I a b ;  thì    2  2 2

C xA a  yB b R

2 k



    thì   C' : xB.sin2yA.sin2 R2

Lưu ý: Đối với phép quay góc quay đặc biệt như

2

k

ta sử dụng hình vẽ để xác định ảnh

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của điểm M  3;5, phương trình đường thẳng

d x y  , phương trình đường tròn   C : x12y229 qua phép quay

a) Tâm O , góc quay 90

b) Tâm O , góc quay 60

c) Tâm O , góc quay 180

d) Tâm I1; 2, góc quay 90

e) Tâm I1; 2, góc quay 45

Ví dụ 2: Viết phương trình d đi qua A2; 1 và tạo với d: 2x3y 4 0một góc 45

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho phép quay Q O  , 90 và M 3; 2  Tìm điểm M sao cho M 

là ảnh của M qua Q O  , 90

Ví dụ 4: Biết rằng phép quay tâm O góc quay  biến điểm M5; 0 thành M 0;5

Phép quay ấy biến điểm N3;5 thành điểm N' có tọa độ như thế nào?

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong  E có phương trình

1

x y

 

Viết phương trình đường cong  E sao cho 1  E là ảnh của  E qua phép quay tâm O , 1

góc quay 90

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A1; 2 , B3; 4 và cos 2 5

5

A  , cos 3 10

10

B 

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

DẠNG 4 ỨNG DỤNG PHÉP QUAY GIẢI TOÁN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, hai góc bằng nhau ta chỉ

ra chúng là ảnh của nhau qua một phép quay

 Để chứng minh 3 đường thẳng ', ', 'a b c đồng quy ta chỉ ra chúng lần lượt là ảnh của 3

đường thẳng đồng quy a b c, , qua một phép quay

 Các dấu hiệu thường gặp:

+ Nếu cho tam giác đều ta nghĩ đến phép quay 60 ,120 

+ Nếu cho tam giác vuông cân, hình vuông ta nghĩ đến phép quay  90

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân

tạiA.Gọi I M J, , theo thứ tự là trung điểm củaEB BC CF, ,

Chứng minh tam giác IMJ vuông cân

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK

Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và 1

2

AM  FK

Ví dụ 3: Cho 3 điểm phân biệt A , B , C theo thứ tự trên thẳng hàng Dựng về cùng một phía của

AC hai tam giác đều ABE và BCF Gọi M và Nlần lượt là hai trung điểm của cạnh AF

và CE Chứng minh rằng tam giác BMN đều

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Dựng bên ngoài ABCD các hình vuông ABEF và BCGH Gọi I và J lần lượt là tâm của hai hình vuông trên Chứng minh tam giác IOJ vuông cân

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hình vuông ABCD có tâm E Phép quay tâm E góc quay  biến điểm A thành B

thì biến đỉnh C thành điểm nào sau đây ?

Câu 2: Cho tam giác đều tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay mà 02

biến tam giác trên thành chính nó?

Câu 3: Cho hình vuông tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay , 02 biến

hình vuông trên thành chính nó?

Câu 4: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay ,

02 biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

Câu 5: Cho phép quay Q( ; )O biến điểm M thành M  Khẳng định nào đúng?

A OM OM 

và (OM OM,  )  B OM OM  và (OM OM,  ) 

C OM OM 

và MOM  D OM OM  và MOM 

Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay ?

A Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và điểm M khác điểm O thành điểm M 

sao cho (OM OM,  )  được gọi là phép quay tâm O với góc quay

B Nếu Q( ;90 )O  :M M M( O) thì OM OM

C Phép quay không phải là một phép dời hình

D Nếu Q( ;90 )O  :M M thì OM OM

Câu 7: Cho tam giác đều ABC Xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C

Câu 8: Cho hai đường thẳng 1 và 2 biết

Q

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 1, 2120 B 1//2 C  1, 2 120 D  1, 260

Câu 9: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

B Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

C Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

D Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó

Câu 10: Cho hai đường thẳng 1 và 2 biết

Q

    Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A 1, 2120 B 1//2 C  1, 2 120 D  1, 260

Câu 11: Cho hai điểm phân biệt ,A B và QA;30 B C Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A ABC 30 B ABC 90 C ABC 45 D ABC 75

Câu 12: Cho ABC đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác) Kết luận nào sau đây sai ?

, 3

A

Q  B C

, 3

A

Q  C B



, 3

A

Q  C B

, 3

A

Q  A C





Câu 13: Gọi I là tâm hình vuông ABCD (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác) Kết luận

nào sau đây sai ?

A QI,90IBC ICD B QI, 90 IBC IAB

C QI,180IBC IDA D QI,360IBC IDA

Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1;1 Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép

quay tâm O, góc 45 ?

A M –1;1 B M 1; 0 C M  2; 0 D M 0; 2

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M(2; 0) và điểm (0; 2)N Phép quay tâm

O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O  , 90, M 3; 2 là ảnh của điểm:

A M   3; 2 B M  3; 2 C M2;3 D M   2; 3

Câu 17: Cho 3 điểm A , B , C , điểm B nằm giữa A và C Dựng về phía đường thẳng AC các tam

giác đều ABE và BCF Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC Xác định dạng của BMN

Câu 18: Cho hình vuông ABCD, MBC, KDC sao cho BAM MAK Khi đó mệnh đề nào sau

đây là đúng ?

A AD AKKD B AB AM DK C AK BM KD D AM BM AB

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x y ;  Biểu thức tọa độ của điểm

 ,90  

A Q  A là

A '

'

x y







 



'

y x

 









'

 





 



'

x y

y x











Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x y ; 

Biểu thức tọa độ của điểm A'QO, 90  A là

A '

'

x y







 

'

y x

 







'

 





 

'

x y

y x









Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 3; 0 Tìm tọa độ điểm A là ảnh của điểm A qua

phép quay tâm O0; 0 góc quay .

2



A A0; 3   B A 0;3 C A  3; 0  D A2 3; 2 3 

Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A'(3;1) Tìm tọa độ điểm A, biết A là ảnh của điểm A qua

phép quay

2

O

Q 

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A1; 0 thành điểm

' 0;1

A Khi đó nó biến điểm M1; 1  thành điểm

A M' 1; 1  B M' 1;1   C M'1;1  D M' 1; 0  

Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M2; 0 và N0; 2  Phép quay tâm O biến

điểm M thành điểm N, khi đó góc quay của nó là:

Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép quay tâm O góc quay 90 biến điểm M  1; 2 thành

điểm M Tọa độ điểm M là

A M 2; 1 B M 2; 1  C M   2; 1  D M   2; 1

Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 1;1 Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án

dưới đây, điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc quay 45

A A1; 0 B B0; 2 C C 2;0 D D  1;1

Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm I3;1, J 1; 1 Ảnh của J qua phép quay

I; 90 

Q   là

A J1;5 B J5; 3  C J  3;3 D J1; 5 

Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy ,cho đường thẳng : 5 d x3y150 Phương trình đường thẳng 'd

là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 90 có dạng

A 3x5y150 B 3x5y150 C 5x3y150 D 3x5y150

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:3x  y20 Viết phương trình

đường thẳng d là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay o

90

A d:x3y20 B d:x3y20 C d: 3xy 6 0 D d:x3y20

Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng : 2 d x5y 3 0 Phương trình đường thẳng 'd

là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I  1; 2, góc quay 180  :

A 2x5y210 B 5x2y210 C 2x5y210 D 5x2y210

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C có phương trình: x22y29 Tìm

ảnh của đường tròn  C qua phép quay tâm O góc quay 90

A x2y229 B x2y229 C x22y2 9 D x22y29

Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2

C x y  x y Viết phương trình đường tròn  C biết  C' là ảnh của  C qua phép quay với tâm quay là gốc tọa độ O

và góc quay bằng 90  

A   2 2

C x y  x y B   2 2

C x y  x y

C   2 2

C x y  x y D   2 2

C x y  x y

Câu 33: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2

C x  y  Viết phương trình đường tròn  C biết  C' là ảnh của  C qua phép quay với tâm quay là gốc tọa độ O và góc quay bằng 45  

C x y 

C x  y 

Câu 34: Cho hình vuôngABCD có giao hai đường chéo làAC và BD là O , góc giữa AB

và AD

là 90 Gọi M N P Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh , , , AD DC CB BA, , , Khi đó, phép quay tâm O góc quay 90 sẽ biến tam giác ODN thành tam giác nào dưới đây?

Câu 35: Cho hình vuông ABCD có giao hai đường chéo là AC và BD là O , góc giữa AB

và AD

là 90 Gọi M N P Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh , , , AD DC CB BA, , , Khi đó, phép quay tâm Ogóc quay 270 sẽ biến tam giác AQM thành tam giác nào dưới đây?

Câu 36: Cho tam giác ABC Phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác đều ABD , ACE,

BCF Gọi ,I J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BE CD, Khẳng định nào sau

đây là đúng

A IJAcó 1 góc bằng 45 B IJAvuông tại A

C IJA vuông cân tại A D IJAđều

BÀI TẬP VỀ NHÀ

TỰ LUẬN

Câu 1 Cho hình vuông ABCD có tâm là O, (các đỉnh ghi theưo chiều ngược chiều kim đồng hồ)

ODN qua phép quay tâm O góc quay 90

Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểmM3; 4, đường thẳng d: 2x5y30 , đường tròn

C x  y  x y 

a) Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 30 b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 180 c) Tìm ảnh của đường tròn  C qua phép quay tâm A1; 5 , góc quay 180

Câu 3 Cho đường thẳng a và điểm O không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng

hình vuôngABCD có tâm là O Tìm quỹ tích điểm D khi A chạy trên đường thẳng a

Câu 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol   2

P y x  x Tìm ảnh của parabol  P qua phép quay tâm O, góc quay180

TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hai đường thẳng bất kì d và d' Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành

đường d'?

Câu 2: Cho phép quay Q( ; )O biến điểm A thành M Khi đó

(I) O cách đều A và M

(II)O thuộc đường tròn đường kính AM

(III) O nằm trên cung chứa góc  dựng trên đoạn AM

Trong các câu trên câu đúng là:

A Cả ba câu B (I) và (II) C (I) D (I) và (III)

Câu 3: Cho phép quay QO; :AB Mệnh đề nào sau đây là đúng?

OA OB AOB 











OA OB

OA OB 









OA OB

OA OB 









 

D

OA OB

OB OA 









Câu 4: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay ,

02 biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

Câu 5: Cho hình lục giác đều ABCDE tâmO Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O

góc quay 120

A OAB B BOC C DOC D EOD

Câu 6: Cho hai điểm phân biệt ,I M và QI; 32  M N Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A M là trung điểm của đoạn IN B N là trung điểm của đoạn IM

C I là trung điểm của đoạn MN D M N

Câu 7: Dựng về phía ngoài ABC các hình vuông BCIJ,ACMN Gọi O P, lần lượt là tâm đối

xứng của chúng, D là trung điểm của AB Xác định dạng của DOP đầy đủ nhất

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B  3; 6 Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E

qua phép quay tâm O góc quay 90 

A E  6; 3  B E  3; 6  C E6;3 D E3; 6

Câu 9: Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA BB CC'; '; ' (các đỉnh của tam giác

ghi theo chiều quay của kim đồng hồ) Ảnh của đường cao AA' qua phép quay QO;240 là

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (3; 0) A Tìm tọa độ ảnh A của điểm A qua phép quay

( ; ) 2

O

Q 

A A(0; 3) B A(0;3) C A ( 3; 0) D A(2 3; 2 3)

Câu 11: Trong hệ tọa độ Oxy , ảnh của đường thẳng d x: y 1 0 qua phép quay tâm O góc

quay 90 có phương trình là

A xy 1 0 B xy20 C xy 1 0 D xy 1 0

Câu 12: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc quay k2 kZ?

Câu 13: Cho tam giác ABC và hai hình vuông ABMN và ACPQ như hình vẽ Phép quay biến tam

giác ABQ thành tam giác ANC là

A QI; 90 ,INCBQ B QI;90,INCBQ

C QA; 90  D QA;90