BÀI 5. PHÉP QUAY

 Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng c

HAI 1

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI LỚP TOÁN THẦY THÀNH

MÔN TOÁN HÌNH LỚP 11, CHƯƠNG I

BÀI 5 PHÉP QUAY

BÀI 5 PHÉP QUAY 2

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 2

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 3

Dạng 1: Xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước 3

Dạng 2: Tìm tọa độ ảnh, tạo ảnh của điểm qua phép quay 8

Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua phép quay I, Q         , với I a b ;  . 14

Dạng 4: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép quay I, Q         , với I a b ;  23

Dạng 5: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường cong (H) bất kỳ (khác dạng toán 3, 4) qua phép quay I, Q         , với  ;  I a b 27

Dạng 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học 29

Dạng 7: Ứng dụng phép quay để tìm quỹ tích của điểm 31

Dạng 8: Các bài toán thực tế 33

 Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ

 Khi 2k1,k  thì QO; là phép đối xứng tâm O

 Khi 2k,k thì QO; là phép đồng nhất

II BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY

1 Trong mặt phẳng Oxy , cho M x y M ; , 'x y và '; ' QO, M M'

M M'

III TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY

Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời hình

Cụ thể: Nếu QO, A A' và QO, B B' thì A B' 'AB

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

Nhận xét: Cho đường thẳng d và QO, d d' Khi đó:

(sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh)

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

d' d

α

α

I

O

HAI 4

Bước 1 Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán

Bước 2 Áp dụng các kiến thức sau:

i) Nếu

', '

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc ABC  600 (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) Xác

M N P Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD DC CB BA Tìm ảnh của tam giác , , , ODN qua

Lời giải

A

C B

HAI 5

O Q

P

N M

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD có tâm là O (các đỉnh ghi theo chiều cùng

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hình vuông ABCD tâm O như hình bên Hãy cho biết phép quay

HAI 6

Lời giải Chọn D

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại AB2CD

ngược chiều kim đồng hồ) Về phía ngoài tam giácABC vẽ tam giác đều ACD Ảnh của cạnh

Lời giải Chọn D

60 , ta có:

 Biến B thành ; K

 Biến C thành D

Câu 4 [1H1-5.2-2] Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA BB CC, ,  (các đỉnh của

240 là:

Lời giải Chọn B

K

D A

C B

Vậy ảnh của AA là BB.

Câu 5 [1H1-5.2-2] Cho hình thoi ABCD có góc ABC 60 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim

đồng hồ) Ảnh của cạnh CD qua phép quay QA, 60 là:

Lời giải Chọn B

A'

A

B C

D

C

B A

HAI 8

Dạng 2: Tìm tọa độ ảnh, tạo ảnh của điểm qua phép quay

Phương pháp giải

Loại 1: Tìm ảnh của điểm M

Cách 1: Dựa vào hình vẽ trong hệ trục toạ độ

Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ

Loại 2: Tìm tạo ảnh của điểm M

Chú ý: QI, N M QI, M N

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A  1;5 Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép

quay tâm O0;0 góc quay 90 0

Chú ý: Ưu tiên giải cách 2

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M3; 4 Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 30

HAI 9

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M3; 4 Tìm toạ độ điểm N sao cho điểm M là ảnh của N

qua phép quay tâm I2;3, góc quay 90

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 [1H1-5.3-1] Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của điểm M  6;1 qua phép quay QO;90 là:

Câu 3: [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M(2;0) và điểm N(0; 2) Phép

A  30 B  45 C  900 D  270

+ Hoặc biểu diễn trên hệ trục tọa độ ta cũng được đáp án tương tự

Câu 4 [1H1-5.3-1] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B ( 3; 6) Tìm toạ độ điểm

E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay( 90 ) 0

Lời giải Chọn C

Điểm E  ( 6; 3)

Câu 5: [1H1-5.3-1] Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A3;0 Tìm tọa độ ảnh A của điểm A qua phép

quay

; 2

Dựa vào hình vẽ chọn đáp án C

; 2

Dựa vào hình vẽ chọn đáp án B

; 2

Câu 8: [0H1-5.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M1;1 Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh

của M qua phép quay tâm O góc quay  45 ?

0; 2 sin cos 1.sin 45 1.cos 45 2

x O

x y

HAI 14

Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy góc quay là

2



2

 biến điểm M1; 1  thành điểm M 1; 1

Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua phép quay

Loại 1: Tìm ảnh của đường thẳng d

Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay

ii) Nếu  k2, I tuỳ ý hoặc  k,I thì d d'd

iii) Nếu   k2 , I thì d d'// d Khi đó: d' có PT dạng:

0

Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ

Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường thẳng d

Chú ý: QI,  d QI, d  

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 5 d x3y15 Viết phương trình đường thẳng 0 d' là

Lời giải Cách 1:

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d: 2x5y  Viết phương trình đường thẳng 3 0 d' là

Lời giải Cách 1:

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d: 2x5y  Viết phương trình đường thẳng 3 0 d' là

ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I  1; 2, góc quay 180

Lời giải Cách 1:

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d: 2x   Viết phương trình đường thẳng y 2 0 d' là

B

B

x

B y

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 2 d x5y  Viết phương trình đường thẳng  sao 3 0

cho d là ảnh của đường thẳng  qua phép quay tâm I  1; 2, góc quay 180

Lời giải

+) Vậy  có PT là 2x5y21 0

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 [2H3-3.3-1] Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x3y15 qua phép quay 0

+ Hoặc áp dụng công thức nhanh: BxAy C sin ta có: 0 d' có PT là 3x5y15 0

Câu 2 [2H3-3.3-1] Cho I2;1 và đường thẳng d: 2x3y  Tìm ảnh của 4 0 d qua

+ Lấy hai điểm M2; 0 ; N1; 2  thuộc d

Gọi M'x y1; 1,N'x y2; 2 là ảnh của M N qua ,

I;45 0

Q

x x

Câu 3 [2H3-3.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là

Lời giải Chọn A

+ Đường thẳng a: 4x3y  có vectơ pháp tuyến 5 0 n a 4;3 

Đường thẳng b x: 7y  có vectơ pháp tuyến 4 0 n b 1; 7 

Câu 5 [1H1-5.4-2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng :x   Hãy viết phương trình y 2 0

A  d :xy  2 0 B  d :x   C y 2 0  d :xy  D 2 0  d :xy  4 0

Lời giải

Chọn C

thẳng d có dạng  d :xy c  0

Lấy điểm A2; 0 thuộc  , dễ thấy '(0; 2)A là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay 90o

Ta cóA'dnên  d :xy  2 0

Câu 6 [1H1-5.4-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng :x2y  Viết phương 6 0

?

Lời giải Chọn A

Lấy hai điểm M2; 0 ; N1; 2  thuộc d

Gọi M'x y1; 1,N'x y2; 2 là ảnh của M N qua ,

12

x x

HAI 22

Câu 8 [1H1-5.4-2] (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ0xy , phép quay

trình

Lời giải Chọn B

Ta có phép quay

I;180 o

Vì Idnên nếu Đ d I d thì d / /d , suy ra phương trình d:x y m0m 5

Câu 9 [1H1-5.4-2] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

HAI 23

Vậy phương trình đường d  là x3y  2 0

Dạng 4: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép quay

Loại 1: Tìm ảnh của đường tròn (C)

Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay

Cho đường tròn C A R  ;  và QI,  C  C' , với C A R '  '; ' 

Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ

Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường tròn (C)

Chú ý: QI,  C1  C QI,  C  C1

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn   C : x22y32 9 Tìm ảnh của đường tròn  C

Lời giải

Cách 1:

sao cho  C là ảnh của đường tròn  C qua phép quay tâm 1 O, góc quay 90

Lời giải

Cách 1:

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm ảnh của đường tròn   C : x12y22 9 qua phép quay

Bước 1: Gọi (H’) là ảnh của (H) qua phép quay QI,

Bước 4: Do M'x y'; '  H' nên (H’) có phương trình là: (KL)

Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường cong (H)

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 [2H3-3.3-1] (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-Lần 1-2018) Trong không gian Oxyz ,

Dạng 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1 Xác định tâm quay O và góc quay  hợp lý

Bước 2 Sau đó sử dụng các tính chất sau để chứng minh:

i) Nếu QO,( )A  A' thì

'., '

HAI 30

M

J

F E

Chú ý: Trong quá trình chứng minh ta có thể sử dụng thêm các tính chất trong hình

học phẳng hay kỹ năng vẽ thêm mới chứng minh được

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK Gọi M là

Ví dụ 3 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM và CDP Về phía

Bước 1 Tìm phép quay QO,(M)N, (với M là điểm thay đổi, N là điểm cần tìm

Bước 2 Tìm quỹ tích điểm M

Bước 3 Do điểm M chạy trên đường  H nên điểm N chạy trên đường H' là ảnh

của đường  H qua phép quay QO,

HAI 32

E F

C O

B A

Bước 4 Vậy quỹ tích điểm N là đường H'

Chú ý một số quỹ tích cơ bản:

A , bán kính Rk

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho đường tròn  C tâm O đường kính BC Điểm A chạy trên đường tròn đó Dựng về phía

 C là ảnh của đường tròn '  C qua phép quay

+) Vậy quỹ tích điểm E là đường tròn  C '

Ví dụ 2 Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d Với mỗi điểm A nằm trên d a dựng tam giác

đều ABC có tâm là G Tìm quỹ tích điểm B khi A chạy trên d

đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép

A

Ví dụ 2 Bạn Nam và bạn Minh chơi trò chơi xoay Rubic Nam đố Minh khi xoay tầng thứ nhất để lộ ra

sao cho giao của hai hình vuông đó có chu vi nhỏ nhất

Lời giải

600

D

N A

M

A B