Dấu của hệ số hilbert của idean m nguyên sơ

Năm 2008, Vasconcelos đã đưa ra giả thuyết về tính âm của hệ số Chern: "Vành A không Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e 1 Q < 0 với Q là iđêan tham số của A." Giảthuyết này thu hút sự quan

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ CHÂU GIANG

ĐỀ TÀI

DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUYÊN SƠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2019

Mục lục

1.1 Chiều của vành và môđun 4

1.2 Vành các thương và địa phương hóa 5

1.3 Dãy chính quy và độ sâu 6

1.4 Vành Cohen-Macaulay 8

1.5 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 9

1.6 Vành và môđun phân bậc 10

1.7 Độ dài của môđun 12

1.8 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 13

1.9 Đối đồng điều địa phương 14

1.10 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc và Số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ 16

2 DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUYÊN SƠ 18 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 18

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành phân bậc liên kết 19

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt 21

2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số 22

2.5 Dấu của hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ 24

MỞ ĐẦU

Hàm Hilbert là một trong những khái niệm cơ bản của lĩnh vực Đại số giao hoán

và có nhiều liên hệ mật thiết với các bất biến khác như số mũ rút gọn, chỉ số Hilbert,chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Việc nghiên cứu hàm Hilbert sẽ cho chúng tanhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun tương ứng

Cho (A,m) là vành địa phương Giả sử M là một A-môđun chiều d và I là iđêanđịnh nghĩa của M Khi đó hàm Hilbert-Samuel, hay gọi tắt là hàm Hilbert của M ứngvới iđêan I là một hàm số học xác định bởi

HI,M : Z−→Z

n 7−→ HI,M(n) := λR(M/InM ),trong đó λR(M/InM ) là độ dài môđun M/InM Samuel là người đầu tiên chỉ ra rằngtồn tại một đa thức PI,M(x) bậc d với hệ số hữu tỷ sao cho HI,M(n) = PI,M(n) với n đủlớn Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) của M ứng với iđêan

I và nó có thể được viết dưới dạng

PI,M(n) = e0(I, M )



n + d − 1 d

trong đó ei(I, M ); i = 0, 1, , d là các số nguyên và được gọi là hệ số Hilbert của M ứngvới iđêan I Đặc biệt hệ số dẫn đầue0(I, M )được gọi là hệ số bội và hệ số e1(I, M )đượcgọi là hệ số Chern

Năm 2008, Vasconcelos đã đưa ra giả thuyết về tính âm của hệ số Chern: "Vành

A không Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e 1 (Q) < 0 với Q là iđêan tham số của A." Giảthuyết này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và được nhóm nghiên cứu củaGoto chứng minh trọn vẹn vào năm 2010 Năm 2011, nhóm tác giả Mandal-Sing-Verma[13] đã chứng minh được tính không dương của hệ số Chern của iđêan tham số bất kỳ.Tuy nhiên các hệ số Hilbert khác của iđêan tham số có thể dương

Năm 2013, Lori McCune [16] đã chứng minh được rằng nếu(A,m)là vành Noetherđịa phương có chiều d và depth A ≥ d − 1 thì e 2 (Q) ≤ 0 với Q là iđêan tham số của A.Với giả thiết depth GQ(A) ≥ d − 1, Lori McCune [16] cũng chứng minh được e i (Q) ≤ 0với i = 1, , d Tuy nhiên giả thiết depth GQ(A) ≥ d − 1 mà McCune đưa ra khá mạnh.Năm 2019, Linh-Trung [11] đã cải tiến kết quả của McCune bằng cách giảm nhẹ giảthiết depth GQ(A) ≥ d − 1 là depth GQ(A) ≥ d − 2 thì thu được ei(Q) ≤ 0 với i = 1, , d.

Nội dung chính của Luận văn là tổng quan các kết quả về tính không dương của

hệ số Hilbert của iđêan tham số và khảo sát dấu của hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên

Luận văn được chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một sốkiến thức cơ bản của Đại số giao hoán bao gồm Định nghĩa và một số Bổ đề nhằm hổtrợ cho các chứng minh ở chương sau Trong chương 2, chúng tôi tập trung vào nội dungchính của Luận văn là tổng quan các kết quả về tính không dương của hệ số Hilbertcủa iđêan tham số, khảo sát dấu của hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ Trong suốtLuận văn này, R luôn là vành giao hoán có đơn vị

Mặc dù bản thân đã cố gắng, song Luận văn khó tránh khỏi một số thiếu sót, rấtmong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô cùng các bạn để Luận văn được hoàn thiệnhơn

(2) ChoM là mộtR-môđun chiềudvà N làR-môđun con củaM Lúc đó, vìannR(M ) ⊆ annR(N )nêndimN = dimR/annR(N ) ≤ dimR/annR(M ) = d Tương tự ta cũng chứngminh được dimM/N ≤ d.

1.2 Vành các thương và địa phương hóa

Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một vành giao hoán Một tập con S của R được gọi làtập nhân đóng nếu 1R ∈ S và ∀a, b ∈ S suy ra ab ∈ S

Trên tập R × S = {(a, s) |s ∈ S, a ∈ R} ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:

(a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : (at − sb) u = 0.

Quan hệ trên là một quan hệ tương đương Ta kí hiệu lớp tương đương của phần tử(a, s) là as (tức là as = bt ⇔ (a, s) ∼ (b, t)) và S−1R là tập hợp tất cả các lớp tương đươngnày Lúc đó

S−1R = na

s | a ∈ R, s ∈ So.Định nghĩa 1.2.2 Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó, S−1R là một vànhgiao hoán với hai phép toán được xác định như sau: ∀a, b ∈ R; s, t ∈ S

(a/s) + (b/t) = (at + bs/st) , (a/s) (b/t) = (ab/st) Vành S−1R được gọi là vành các thương của R ứng với S, có đơn vị 1S−1 R = s/s (s ∈ S)

là một S−1R-môđun và được gọi là môđun các thương của M trên S

Nhận xét 1.2.4

(1) Cho R là một miền nguyên Khi đó, tập S := R \ {0} là một tập nhân đóng của R.

Do đó, ta có vành các thương của R ứng với S là

S−1R = na

s |a ∈ R, s ∈ R \ {0}o.Trong trường hợp này ta có S−1R trở thành một trường được gọi là trường cácthương của miền nguyên R ứng với S

(2) Cho p ∈ Spec(R), tập S = R \p là một tập nhân đóng của R. Khi đó, vành cácthương của R ứng với S được kí hiệu là Rp được gọi là địa phương hóa của vành Rứng với iđêan nguyên tố p

R p =

na

s | a ∈ R, s / ∈po,các iđêan của R p có dạng

IRp=

na

s | a ∈ I, s / ∈po,với I là một iđêan của R

(3) Cho M là R-môđun và S = R \p thì môđunS−1M được kí hiệu làM p gọi là môđunđịa phương hóa tại p

1.3 Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là một R-môđun Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử Mchính quy nếu vớiz ∈ M thỏa xz = 0 thì z = 0, nói cách khác xkhông là ước của 0 trong

-M

Kí hiệu tập hợp các phần tử M-chính quy trong R là N ZDR(M ).

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là một R-môđun Một dãy x = x 1 , , x n các phần tử của

R được gọi là M-dãy chính quy hay nói ngắn gọn là M-dãy nếu các điều kiện sau thỏamãn:

(1) x1 là phần tử M-chính quy và xi là phần tử M/(x1, , xi−1)M-chính quy với mọi

i = 2, , n;

(2) M/xM 6= 0.

Một dãy chính quy là một R-dãy

Nhận xét 1.3.3

(1) Một M-dãy chính quy yếu nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (1) của Định nghĩa 1.3.2

Số phần tử của M-dãy x được gọi là độ dài của dãy

(2) Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạnsinh Nếu x ⊆ m thì điều kiện (2) của Định nghĩa 1.3.2 luôn thỏa mãn theo bổ đềNakayama Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc m đều khả nghịch nên đểđiều kiện (2) thỏa mãn thì mọi M-dãy chính quy đều phải nằm trong m

Mệnh đề 1.3.4 [4, Corollary 1.1.3] Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn

và x là môt M-dãy Giả sử một iđêan nguyên tố p∈ Supp(M ) chứa x Lúc đó x (là mộtdãy trong R p) là một M p-dãy

Định nghĩa 1.3.5

(1) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R Một M-dãy x (chứa trongI) được gọi

là một M-dãy cực đại (trong I) nếu x1, , xn, xn+1 không phải là một M-dãy vớimọi xn+1 ∈ R

(2) Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của Rthỏa IM 6= M Khi đó, độ dài của M-dãy cực đại trong I được gọi là bậc của iđêan

I trên M, kí hiệu là depth(I, M ) Nếu IM = M thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞.(3) Nếu (R,m) là vành địa phương Noether và M là một R-môđun thì mọi M-dãy đềunằm trong m Vì vậy, bậc của m trên M được gọi là độ sâu của môđun M Kí hiệudepth M. Do đó

depth M = depth(m, M ).

Ta có thể tính depth(I, M ) thông qua các công thức được cho ở định lý sau

Định lý 1.3.6 [4, Proposition 1.2.10] Cho R là vành Noether; M làR-môđun hữu hạnsinh; I, J là các iđêan của R. Khi đó

(1) depth(I, M ) = inf{depth M p |p∈ V (I)}, với V (I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I;(2) depth(I, M ) = depth( √

I, M );(3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )};

(4) Nếu x= x1, , xn là một M-dãy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n.

Mệnh đề 1.3.7 [4, Proposition 1.2.12] Cho (R,m)là vành Noether địa phương, M 6= 0

là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

depth M ≤ dimM.

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M.

Mệnh đề 1.3.8 [4, Proposition 1.2.14] Cho R là vành Noether và I là một iđêan của

R Khi đó depth(I, R) ≤ height(I).

1.4 Vành Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.4.1 Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M 6= 0 là R-môđun hữuhạn sinh

(1) M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dimM

(2) M được gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay nếu depth M ≥ dimM − 1

Nhận xét 1.4.2

(1) ChoRlà vành Noether vàM 6= 0làR-môđun hữu hạn sinh NếuM là môđun Macaulay thì M p là môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p∈ Supp M.(2) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là mộtR-môđun Cohen-Macaulay

Cohen-(3) Vành NoetherR được gọi là vành hầu Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun hầuCohen-Macaulay

Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của vành và môđun Macaulay

Cohen-Định lý 1.4.3 [4, Theorem 2.1.2] Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0

là R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó

(1) dimR/p= depth M với mọi p là iđêan nguyên tố liên kết với M;

(2) depth(I, M ) = dimM − dimM/IM với mọi iđêan I ⊆m;

(3) x= x1, , xn là một M-dãy khi và chỉ khi dimM/xM = dimM − n

Định lý 1.4.4 [4, Theorem 2.1.3] Cho R là một vành Noether và M 6= 0 là một

R-môđun Cohen-Macaulay

(1) Giả sử x là một M-dãy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM là R-môđunCohen-Macaulay Điều ngược lại đúng nếu R là vành địa phương

(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng S của R thì

MS là môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, Mp là R-môđun Cohen-Macaulay với mỗiiđêan nguyên tố p của R Nếu Mp6= 0 thì depth Mp= depth(p, M ), nếuR là vành địaphương thì dimM = dimMp+ dimM/pM.

Hệ quả 1.4.5 [4, Corollary 2.1.4] Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I 6= R là mộtiđêan của R thì depth I = height I và nếu R là địa phương thì height I + dimR/I = dimR.Vành hầu Cohen-Macaulay cũng có nhiều tính chất tốt như Cohen-Macaulay nhưngyếu hơn vành Cohen-Macaulay

1.5 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số

Mệnh đề 1.5.2 [2, Proposition 4.1, 4.2] Cho I là một iđêan của vành R

(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I

(2) Nếu √I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Định nghĩa 1.5.3 Cho I là iđêan nguyên sơ và p là iđêan nguyên tố của vành R thỏa

p= √

I Khi đó ta nói I là iđêan p-nguyên sơ Với (R,m) là vành địa phương, ta có I làiđêan m-nguyên sơ nếu √I =m

Cho (R,m) là vành Noether địa phương có chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ Kíhiệu µ(I) là số phần tử sinh tối tiểu của iđêan I Theo [2, Proposition 11.7, Proposition11.10], ta có µ(I) ≥ d.

Định nghĩa 1.5.4

(1) Cho(R,m)là vành Noether địa phương có chiềud Một iđêan m-nguyên sơ được gọi

là iđêan tham số nếu µ(I) = d Một iđêan tham số sinh bởi các phần tử x1, , xdthì x1, , xd được gọi là hệ tham số của R

(2) Cho M là R-môđun hữu hạn có chiều r, nếu tồn tại dãy các phần tử (x1, , xr)thỏa λ(M/ (x1, , xr) M ) < ∞ thì hệ {x1, , xr} được gọi là hệ tham số của M

Định lý 1.5.5 [15, Theorem 14.1] Cho(R,m)là vành Noether địa phương vàx1, , xd

là hệ tham số của vành R Lúc đó, dimR/ (x1, , xi) = d − i với 1 ≤ i ≤ d

1.6 Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.6.1

(1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị, R được gọi là vành phân bậc nếu nó cùng với

họ (Rn)n∈Z các nhóm con (đối với phép cộng) của R thỏa mãn hai điều kiện:

(a) R = L

n∈Z

Rn;(b) RnRm ⊆ Rn+m.

(2) Một phần tử x ∈ R được gọi là thuần nhất nếu x ∈ R n và lúc đó n gọi là bậc của x.(3) Mỗi phần tử x ∈ R có thể được viết dưới dạng x = P

(3) 1R ∈ R 0;

(4) Rn là R0-môđun;

(5) Các phần tử khả nghịch của vành phân bậc đều thuộc R 0.

Ví dụ 1.6.3 Cho Alà vành Noether địa phương, một dãy giảm các iđêan J 0 ⊃ J 1 ⊃ thỏa JmJn ⊂ Jm+n được gọi là một lọc của vành A

(1) Cho (A,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ, với lọc

là vành phân bậc và được gọi là đại số Rees của R ứng với iđêan I

Định nghĩa 1.6.4 Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun Khi đó, Mđược gọi làR-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ{Mn}n∈Z các nhóm con (đối với phépcộng) của M thỏa mãn hai điều kiện:

(1) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất và được gọi là môđun con thuần nhất (hoặcmôđun con phân bậc);

(2) Với x ∈ M, nếu x ∈ N thì mọi thành phần thuần nhất của x đều thuộc N.

1.7 Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.7.1

(1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M là một dãy tăng ngặt các môđuncon của M có dạng

0 = M0 ⊂ M1⊂ ⊂ Mn = M.

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích

(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M, tức là ta không thể

bổ sung thêm một môđun con nào vào chuỗi hợp thành để được một xích có độ dàilớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi/Mi−1, i = 1, , n là đơn

Ta có một tính chất về sự mở rộng của một xích bất kỳ thành một chuỗi hợp thành

Mệnh đề 1.7.2 [2, Proposition 6.7] Giả sử M là một R-môđun có một chuỗi hợpthành với độ dài n Khi đó, mọi chuỗi hợp thành đều có cùng độ dài là n và với mỗixích của môđun M ta có thể bổ sung các môđun con của M để nó trở thành một chuỗihợp thành

Định nghĩa 1.7.3 Độ dài của một dãy hợp thành tùy ý của R-môđun M được gọi là

độ dài của môđunM và kí hiệu làλR(M )hayλ (M )(nếu không có sự nhầm lẫn về vành

R)

Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước λR(M ) = ∞ và gọi M làmôđun có độ dài vô hạn

Mệnh đề sau cho biết điều kiện để môđun M có độ dài hữu hạn

Mệnh đề 1.7.4 [18, Proposition 7.36] Môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi Mvừa là Noether vừa là Artin

Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng về độ dài của môđun

Mệnh đề 1.7.5 [18, Theorem 7.41] Cho dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun

Hệ quả 1.7.6 Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M Khi đó, M có

độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu N và M/N có độ dài hữu hạn Hơn nữa, trong trườnghợp M có độ dài hữu hạn thì ta có

λ(M ) = λ(N ) + λ(M/N ).

1.8 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc

Định nghĩa 1.8.1 Cho R = L

n∈Z

R n là vành phân bậc trên vành địa phương Artin, E

là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dimE = d Lúc đó En là R0-môđun có độ dàihữu hạn Ta định nghĩa một hàm số học

hE : Z−→N0

n 7−→ hE(n) = λR(En).

được gọi là hàm Hibert của môđun E

Với quy ước đa thức đồng nhất 0 có bậc −1. Hilbert đã chứng minh được rằng tồn tại

đa thức pE ∈Q[x] có bậc d − 1 sao cho hE(n) = pE(n) với n đủ lớn Lúc đó đa thức pEđược gọi là đa thức Hilbert của E và được viết dưới dạng

Trong đó ei(E) với i = 0, , d − 1 là các hệ số nguyên và được gọi là hệ số Hilbertcủa môđun E Đặc biệt, e0(E) được gọi là số bội và e1(E) được gọi là hệ số Chern củamôđun E

Định nghĩa 1.8.2 Chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số nguyên

được gọi là chuỗi Hilbert của môđun E

Như vậy, P (E, t) =

+∞

X

n=0

λ(E n )tn.Mệnh đề 1.8.3 [4, Corollary 4.1.8] Cho E 6= 0 là môđun phân bậc hữu hạn sinh với

dimE = d Tồn tại duy nhất QE(t) ∈Z[t] với QE(1) 6= 0 để

P (E, t) = QE(t)

(1 − t) d Mệnh đề 1.8.4 [4, Proposition 4.1.9] Cho E 6= 0 là môđun phân bậc hữu hạn sinh vớidimE = d Khi đó

ei(E) = Q

(i)

E (1) i!

với i = 0, , d − 1. Hơn nữa, e0(E) = QE(1).

Định nghĩa 1.8.5 Cho R = L

n∈Z

Rn là vành phân bậc liên kết trên vành địa phươngArtin, E là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Số nguyên dương nhỏ nhất sao cho từ vịtrí kế tiếp trở đi hàm Hilbert hE và đa thức pE bằng nhau được gọi là chỉ số Hilbertcủa E, kí hiệu là p(E)

p(E) = max {n | hE(n) 6= pE(n)} = min {n | hE(n + 1) = pE(n + 1)}

Mệnh đề 1.8.6 [4, Proposition 4.1.12] Cho E 6= 0 là môđun phân bậc hữu hạn sinhvới dimE = d và QE(t) =

s

X

i=0

biti với bs 6= 0 Khi đó p(E) = s − d.

1.9 Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.9.1 ChoM làR-môđun và a là iđêan củaR Lúc đóΓa(M ) = S

n∈N

(0 :

Man )được gọi là môđun a-xoắn của R-môđun M

Nhận xét 1.9.2

(1) Γ a (M ) là môđun con của môđun M.

(2) Γa(M ) =m ∈ M | an m = 0 với n là số tự nhiên nào đó .