1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng ABCD.. 2/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBC và SAD.. 3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng MNP.. Mặt phẳng MNP cắt hình chóp S.ABCD the
Trang 1KIỂM TRA HỌC KỲ I
Họ và tên :……… Môn : TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Lớp :……… Thời gian làm bài : 90 phút
………
ĐỀ SỐ 1
Bài 1(2,5 điểm)
Giải các phương trình :
1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0 3/
0
x
+
Bài 2 (0,75điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
3sin(3 ) 4cos(3 )
y= x+π + x+π
Bài 3 ( 1, 5 điểm )
1/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15 2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau
Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu
chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ
2/ Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ
Bài 5 ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = 4 Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ uuurAB
1/ Tìm toạ độ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ và (C ’ )
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình
hành Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB
1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD)
2/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ?
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng NK ,
PM và SB đồng qui tại một điểm
………
ĐÁP ÁN Đ Ề TOÁN 11 NÂNG CAO
Trang 2H ỌC KỲ I
-ĐỀ SỐ 1
1
1
Bài 1(2,5 điểm)
Giải các phương trình : 1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1
<=> sin(4x +300) =1 <=>
Z k , 360 90
30
Z
k , 90
=
0,5
2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0
<=> 2cos2 x - 1 - 3cosx + 2 = 0
<=> 2cos 2 x - 3cosx + 1 = 0
<=> k , Z
2 3
2 2
1 cos
1
cos
∈
+
±=
=
⇔
=
=
π π
π
k x
k x x
3/
0
x
+ (1)
ĐK : Zk ,
2 4 5
2 4 2
2
+≠
+−≠
⇔−≠
ππ
ππ
k x
k
x x
Với điều kiện đó thì phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
sin2x - 4sinx.cosx - 5cos2x = 0
Ta có cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1)
Do đó , cosx ≠ 0 , chia hai vế của phương trình (1) ta được phương trình tan2x - 4tanx - 5 = 0
Giải phương trình này ta có :
Z k , 4
1
hoặc tanx = 5 <=> x= arctan 5 +kπ , k ∈ Z Kết hợp với điều kiện , ta được nghiệm của phương trình đã cho là :
1
Trang 3Z k , 5
arctan x
, ) 1 2 (
−
x
2
Bài 2 (0,75điểm )
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 3sin(3 ) 4 cos(3 )
y= x+π + x+π
6 3 ( sin
5
3
và sinα =
5 4
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng - 5
6 3 ( sin x+π +α= −
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi
1 )
6 3 ( sin x+π +α=
0,75
Bài 3 ( 1, 5 điểm )
1/ Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15
Số hạng tổng quát của khai trển trên là :
k k k k k k
C
15 3
15
15 ( 3 ) − .( − ) = ( − 1 ) 3 −. +
=
với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈Z Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x31 nên
15 + 2k = 31 <=> k = 8 ( thoả mãn)
Hệ số của số hạng cần tìm là : 8 8 7
15 ( − 1 ) 3
14073345 3
7 8
15 =
C
0,75
2
2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau
Số cần tìm có dạng abcd ,trong đó a , b , c , d thuộc tập hợp { , 1 2 3 , , , 4 5 6 , , }7 và đôi một khác nhau
Vì số cần lập là số chẵn nên d ∈{2 , 4 , 6}
Do đó chữ số d có 3 cách chọn
Có 3 6
A cách chọn ba chữ số a ,b ,c Vậy có 3.A 3 360
6 = số thoả yêu câu bài toán
0,75
4 1 Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8
quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ
0,5
Trang 4Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là 2 2520
10
3
8C =
C
Không gia mẫu ,(của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu
từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là : 5
18
C =8568 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ -Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520
- Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là 1 700
10
4
8 C =
C
-Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : 5 56
8 =
C
Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là :
38 , 0 8568
56 700 2520 )
P
1
Bài 5 ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = 4 Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ uuurAB
1/ Tìm toạ đồ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ , (C ’ )
Ta có : B’ = (-1 ; 4 ) d’: -3x + 5y + 8 = 0 Đường tròn (C ) có tâm I(-4 ; 1) và bán kính R = 2 Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; - 1) và R’ = 2
(C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 4
0,75
2
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) ,khi đó OI ' = − 2OI
mà OI = ( − 4 ; 1 )
Suy ra OI ' = ( 8 ; − 2 )=> I ' = ( 8 ; − 2 )
Và R’’ = 2R = 4 Vậy (C’’) : (x – 8)2 + (y + 2)2 = 16 0,75
6 1 Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là một hình bình hành Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng
AB sao cho AP = 2PB
0,75
Trang 5Q
I
P
N M
D A
B
C S
1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng
(ABCD)
MN là đường trung bình của tam giác SAD
Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD
nên MN // (ABCD)
2 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)là
đường thẳng đi qua S và song song với AD 0,25
3
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt
phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết
diện là hình gì ?
Ba mặt phẳng (MNP) ,(SAD) và (ABCD) cắt nhau theo
ba giao tuyến MN , PQ , AD , đồng thời MN //AD nên
ba đường thẳng PQ , MN AD đôi một song song
Trong mặt phẳng (ABCD) , qua điểm P kẻ đường thẳng
song song với AD ,cắt CD tại Q Điểm Q là giao điểm
cần tìm
0,75
4
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD Chứng minh rằng
ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm
Trong mặt phẳng (SAB) , hai đường thẳng SB và PM
không song song nên chúng cắt nhau tại I
Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và
(SBD)
Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN
nên điểm I phải thuộc đường thẳng NK
Vậy ba đường thẳng SB , MP , NK đồng qui tại I
0,5