Hướng dẫn chung - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt lời giải theo một cách, nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm.. - Với
Trang 1PHềNG GD&ĐT SễNG Lễ
- ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2008 – 2009 MễN : TOÁN 7
Thời gian : 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1
a Chứng minh rằng:
40
1 2004
1
7
1 6
1 5
1 65
1
3 3
3
3 + + + + <
<
b Cho A = 1 3 5 2009 Chứng minh rằng ba số : 2A - 1 ; 2A ; 2A + 1 đều không phải là số chính phơng
Cõu 2
Cho f(x) là hàm số xỏc định với mọi x ≠ 0 và thỏa món:
a. f (1)= 1;
b. f ( 1x ) = 12
x f(x) với mọi x ≠0;
c. f (x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2 ≠ 0 và x1 + x2 ≠ 0
Chứng minh rằng : 75 =75
f
Cõu 3
( abc ≠
0 và các mẫu số khác không)
b Tỡm một số cú ba chữ số biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ với 1:2:3
Cõu 4 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia
đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI =
CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE
= BC
Cõu 5 Cho tam giỏc ABC, I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc gúc B và gúc C, M là
trung điểm của BC Biết gúc BIM = 90 0 và BI = 2 IM
a Tớnh gúc BAC;
b. Vẽ IH ⊥ AC Chứng minh rằng BA = 3 IH
L
ưu ý: Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm !
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN : TOÁN 7
A Hướng dẫn chung
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt lời giải theo một cách, nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm.
- Với những ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, nếu cần thiết các giám khảo có thể thống nhất
để chia nhỏ từng thang điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu, các giám khảo vận dụng cho điểm đến đó.
- Điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.
B Đáp án và biểu điểm.
điểm
1 a
Đặt
Xét tương tự ta cũng có
Tính VT của BDT, ta có:
Ta có:
Phần lớn hơn, làm tương tự Xét
0.5
0.5
0.5 0.5
1b Ta cã 2A chia hÕt cho 2 nhng 2A kh«ng chia hÕt cho 4 nªn 2A kh«ng lµ
sè chÝnh ph¬ng
2A - 1 = ( 2A - 3) + 2 ⇒2A - 1 chia cho 3 d 2 ⇒ 2A - 1 kh«ng lµ sè
chÝnh ph¬ng
Gi¶ sö 2A + 1 = k2 , k lµ sè nguyªn lÎ ⇒2A = k2 - 1 = (k - 1)(k + 1) 4
(V× k - 1 vµ k + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp nªn (k - 1)(k + 1) chia hÕt cho
4) V« lý
VËy 2A + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
VËy 3 sè 2A - 1, 2A, 2A + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
0.5 0.5
1
2 Theo a); c) :
f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = 2
f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = 3
f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = 5
f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = 7
Theo b) và cách phân tích f(7) ta có :
f(71 ) = 2
7
1 f(7) = 2
7
1 7 =
7 1
Từ đó áp dụng c) ta được:
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 3f(72 ) = f(71 +71) = f(71 )+f(71 ) =
7
7
1 = 72 f(73 ) = f(72+71) = f(72 )+f(71 ) = 72 +
7
1 = 73 f(
7
5
) = f(
7
2 7
3
+ ) = f(
7
3 )+f(
7
2 ) = 7
3 + 7
2 = 7 5
0.5 0.5
3 a Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
(2)
= 4x−94c y+z (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra: = 2x+9b y−z =4x−94c y+z
⇒ x a y z x b y z = x− c y+z
− +
= +
9 2
9 2
9
⇒ x a y z x b y z = x−c y+z
− +
= +
0.5 0.5 0.5
0.5
3b Số x cần tìm chia hết cho 18= 9 2; mà (9;2) = 1 nên x chia hết cho 2 và
x chia hết cho 9
Gọi 3 chữ số của x là a; b; c
Theo giả thiết:
6 3
2 1
c b a c b
(1)
Vì x chia hết cho 9 nên a+b+c 9 , mà 1≤ a+b+c ≤ 27, do đó a+b+c nhận một trong ba giá trị : 9; 18 ; 27 Kết hợp với (1) ta có a+b+c = 18
Do đó a= 3; b= 2.3 = 6, c= 3.3 = 9
Vì x phải chia hết cho 2 nên x = 396 hoặc 936
0.5 0.5
0.5
0.5
4
1
D B
A
I
F E
M
Trang 4§êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
∆ ABM = ∆ DCM v×:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
AMB = DMC (®®) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID ⊥ AC
Vµ FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)
vµ E FA = 1v (4)
MÆt kh¸c EAF = BAH (®®),
BAH = ACB ( cïng phô ABC)
=> EAF = ACB (5)
Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = ∆ CAB
=>AE = BC
3
5
1 2 B
A
I K
H
1
a Theo bài ra: BI= 2 IM, do đó lấy K là trung điểm của BI Ta có ∆ KIM
vuông cân, IMK = 450, KM là đường TB của ∆ BIC, do đó KM// IC
CIM = IMK = 450 Suy ra BIC = 1350, B1+C1= 450, B+ C = 900
Vậy BAC =900
1.5
b Gọi E là giao điểm của BI và AC Ta có BIC = 1350 nên CIE = 450 Do
∆ CIE = ∆ CIM (g.c.g) nên IE = IM
Do đó BK = KI= IE Từ đó dễ dàng chứng minh được BA = 3 IH
1.5