KS HSG Toán 7

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông.. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia phâ

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7

(Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1

a) Tìm nghiệm của đa thức

2004

4 2005

3 2006

2 2007

1 )

( x  x  x  x x

b) Chứng tỏ rằng đa thức

2

9 2

7 )

(y y2  y

c) Tìm các số nguyên z thoả mãn

2

1 7 7

1 3 6

1 4 : 2

1 3 3

1 2 14

































Câu 2 Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng có độ dài là

ha, hb, hc Biết rằng ha, hb, hc tỉ lệ với 20, 15, 12 Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Câu 3 Cho tam giác ABC có 0

60

ˆ 

A Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại F, hai tia phân giác này cắt nhau tại I Các đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại K Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI và KC

a) Tính các góc: B IˆC, B EˆC, B KˆC

b) Chứng minh ID = IF

Câu 4 Cho đa thức bậc hai f(x) x2axb, biết rằng với mọi giá trị của biến x thoả mãn x  1 thì

2

1 ) (x 

f Tính giá trị của đa thức a 3 b3

HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG

TOÁN 7

Câu 1 (3 điểm)

2004

4 2005

3 2006

2 2007

1















x

0 2004

2008 2005

2008 2006

2008 2007

2008

















2004

1 2005

1 2006

1 2007

1



















Vậy đa thức có nghiệm duy nhất x  2008

1 điểm

































16

7 1 4

7 16

7 1 4

7 4

7 2 )

(

2 2

c) Ta có 37  14  2 , 3 ; và

86

69 1 2

1 7 7

1 3 6

1 4 : 2

1 3 3

1



























2

1 7 7

1 3 6

1 4 : 2

1 3 3

1 2 14

































86

69 1 3

,

2 z z = 2 vì z là số

Câu 2 (1,5 điểm)

Theo đề ra ta có h a :h b:h c  20 : 15 : 12

c b a

c b

a ABC

h h h c b a h

c

h

b

h

a ch bh

ah

1 1 1 2

1 2

1 2

1

25 25

16 9 5 : 4 : 3 12

1 : 15

1 : 20

1 1 : 1 : 1

:

h h h

c

b

a

c b a



















2

2

2 a b

c  

 suy ra tam giác ABC là tam giác vuông

Câu 3 (2,5 điểm) Vẽ đúng hình (Trang sau) 0,5 điểm

a) + Theo tính chất phân giác và tổng ba góc trong tam giác tính được:

0 0

0

2

60 180 180

I

B

+ Ta có FCCE , EB BK (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù)  0

90

ˆE 

C

90

ˆK 

B E

Từ đó B EˆC 120 0  90 0  30 0(T/c góc ngoài tam giác IEC), B KˆE  90 0  30 0  60 0

1 điểm

b) Vẽ phân giác IG của B ˆ I C, chứng minh 0

60 ˆ

ˆ ˆ

ˆB G I BG I C E I C 

I F

kết hợp với giả thiết chứng minh BGI  BFI(g.c.g) và CGI  CDI(g.c.g)

suy ra IF=IG=ID

1 điểm

Câu 4 (2,5 điểm)

Với x 1 ; 1 ta có

2

1 ) (x 

f , thay x=0, x=1, x= -1 vào f(x) x2 axbta có:



































    







) 3 ( 3 2

) 2 ( 2 2

) 1 ( 2 2 1

)

1

(

1

)

1

(

)

0

(

b a b a b

a

f

b

a

f

b

f

Từ (2) và (3) ta được

2

1 2

3







 b kết hợp với (1) suy ra

2

1





b

Thay

2

1





b vào (2) và (3) ta được  1 a 0 và 0 a 1 do đó a=0

Vậy giá trị của đa thức a 3 b3 là

8

1



E A

D F

I

K

600

G