HSG toán 9 08-09

Rút gọn biểu thức P... Bài 52đ Cho tam giác ABC có trungtuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G.

Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao

đề thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009

Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2008

( Thời gian làm bài: 120' không kể thời gian giao đề )

Bài 1: ( 3,0 đ)





































1

2 1

1 : 1

1

a a a a

a a

a a

a Rút gọn biểu thức P

b Tìm các giá trị của a sao cho P < 1

c Tính giá trị của P nếu a  19  8 3

Bài 2: ( 2,0 đ)

a Chứng minh rằng : A = n 3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 ( 1 )( 1 )







x

Bài 3: ( 1,5 đ)

Chứng minh rằng :

30 (a 1 )(b 1 )  10 (b 1 )(c 1 )  2008 (c 1 )(a 1 )  1019a 20b 1009c

Với mọi a, b, c  1

Bài 4: ( 1,5 đ)

Cho x 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =

2 2

17 2

2







x

x

Bài 5: ( 2,0 đ)

Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G Chứng minh rằng:

a AC2 +AB2 = 5.BC2

b Cotg B + cotg C

3

2

 Hết

(Ngời coi thi không phải giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………

Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao

hớng dẫn chấm thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009

Bài 1

( 3 đ)

Cho biểu thức:





































1

2 1

1 : 1

1

a a a a

a a

a a

a, Điều kiện có nghĩa: a 0 ;a  1 . 0,25 đ

1 1

) 1 (

) 1 )(

1 ( 1 1

) 1 )(

1 (

2 1

1 : 1 1

2



















































a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a

a a

P

b, P < 1 

1

1







a

a

a < 1



1

1







a

a

a -1 < 0  0

1

2







a a

 a 1  0 ( Vì a + 2 > 0 )

 a 1

Kết hợp với ĐKXĐ => Với 0 a 1 thì P < 1

c, a  19  8 3= (  4 3 ) 2 => a 4  3

=> Thay vào biểu thức P tính đợc P =

2

3 15 3 3

3 9







1,0đ

0,75 đ 0,25 đ 0,75 đ

Bài 2

( 2 đ)

a, Chứng minh rằng : A = n 3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

A = n 3 n= n(n 1 )(n 1 )

Vì A là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 bội số của 3,

1 bội số của 2 => A  3 và A  2

Vì (2;3) =1 nên A  6

b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

( ) 2 ( 1 )( 1 )







x

1

; 1

0 ) 1 ( ) 1 ( ) (

0 2 2 2 2 2 2

1 2

2 2

2

2 2

2 2



















































y x

y x

y x

y x y xy x

y x xy y xy x

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

Bài 3

(1,5đ)

Chứng minh rằng :

c b

a a

c c

b b

a 1 )( 1 ) 10 ( 1 )( 1 ) 2008 ( 1 )( 1 ) 1019 20 1009 (

Với mọi a,b,c  0

Vì a,b,c  0 nên a + 1 > 0, a - 1  0,b +1 > 0, b –1  0,

c+1 > 0 ,c-1  0

áp dụng bất đẳng thức Cô-si ab  ab

2 với a, b không âm ta có:

) ( 15 ) 1 )(

1 ( 30 )

1 )(

1 (

2 a b ab a b  ab (1)

Tơng tự ta có: 10 (b 1 )(c 1 )  5 (bc); (2)

2008 (c 1 )(a 1 )  1004 (ca) (3)

Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta đợc điều phải chứng minh

0,25đ

0,75 đ 0,5 đ

Bài 4

(1,5đ) Cho x0, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =

2 2

17 2

2







x

x

1

8 2

1 )

1 ( 2

16 ) 1

















x

x x

x

Q

Vì x 0 nên x 1  0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

4 ) 1 ( 2

8 ).

1 ( 2 1

8 2

1















x

x x

x

=> Q  4 Vậy GTNN của Q bằng 4  3

1

8 2

1











x x

x

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Bài 5

(2đ) Cho tam giác ABC có trungtuyến BN và CM vuông góc với

nhau tại G Chứng minh rằng:

a, AC2 +AB2 = 5.BC2

b, Cotg B +cotg C

3

2



I G A

N M

a, BGC vuông tại G, theo Pi-ta-go có BC2= BG2 + GC2

Mà BG2 = BM2 –MG2

GC2 = CN2 – GN2

 BC2=BM2–MG2+ CN2– NG2

AC AB



 =

4 4

2 2

AB



 => AB2 AC2 5BC2

b, Kẻ ADBC,GH BC,Kéo dài AG cắt BC tại I => AI là trung tuyến của ABC

Ta có cotg B + cotg C =

AD

BC AD

DC AD

BD



 (1) Vì AH // AD nên theo Ta-lét ta có:

3

1





AI

GI AD

GH

=> AD = 3 GH (2)

BC = 2 IC = 2GI ( T/c trung tuyến thuộc cạnh huyền)

mà GI GH => BC 2GH (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh

1 đ

1 đ