Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ thức bằng nhau.. **Có thể định hớng học sinh giải theo 3 cách *Để tìm đợc 3 số x, y, z cần sử dụng tính ch
Trang 1Chuyên đề I: Các bài toán về tỷ lệ thức
A.Kiến thức cơ bản
1 Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ thức bằng nhau
2 Bổ xung:
Nếu:
b
a
=
d
c
= e f = K Thì K
f K d K b K
e K c K a K
.
.
.
3 2
1
3 2 1
B.Các bài toán
Dạng 1:
Tìm thành phần cha biết của tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số bằng nhau).
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết.
5.x=8.y=20.z và x – y - z=3
**Có thể định hớng học sinh giải theo 3 cách
*Để tìm đợc 3 số x, y, z cần sử dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ
số bằng nhau Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết của bài toán, biến đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau
Cách 1.
Vì 5x = 8y
8
x
=
5
y
(1)
8y = 20z
20
y
=
8
z
5
y
=
2
z
(2)
Từ (1) và (2)
8
x
=
5
y
=
2
z
*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của bài toán
Cách 2:
Vì 5.x = 8.y = 20.z
20
1 8
1 5
z y x
Cách 3:
5x=8y=20z
Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 ) là 40 ta đợc
40
20 40
8 40
8
x
=
5
y
=
2
z =…
Trong các cách giải trên:Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhng hơi dài
Cách 2: Ngắn song bớc biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu) Cách 3:Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn
Ví dụ 2: Tìm x, y biết
x
y x y
x
6
1 3 2 7
2 3 5
1
Trang 2
*Hớng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có cách làm hợp lý:
Một số bài toán:
Bài 1 Tìm 3 số x, y, z biết.
41 22 32
x và x.y.z = 12
Bài 2 Tìm x, y biết.
5 3
2 2 2
2 x x y
và x10
y10 = 1024
Bài 3 Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai
đợng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8
Dạng 2.
Chứng minh tỷ lệ thức.
Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích Học sinh nắm vững phơng pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng minh đẳng thức ở các lớp trên Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiểu và chứng minh đợc các tính chất của tỷ lệ thức và tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau
Ví du 1: Cho tỷ lệ thức
d
c b
a
1 Với a, b, c, d 0
Chứng minh rằng :
c
d c a
b
Giáo viên định hớng cho học sinh các cách chứng minh
Cách 1 Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức
d
c
b
a
a.d = b.c
Để có đợc tỷ lệ thức ( Điều cần chứng minh ) cần có hai tích bằng nhau Ta biến
đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai
Xét tích (a-b) c = a.c - b.c
= a.c - a.d
= a.(c-d) (Vì b a d c a.d = b.c Đặt thừa số chung)
Vậy (a-b).c = a.(c-d)
c
d c a
b
Cách 2 Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số
đó bằng tỷ số thứ 3
Đặt
d
c b
a
= K
K d c
K b a
.
Nếu có:
K
K K
b
K b K b
b K b a
b
.
) 1 (
(1) 2
Trang 3
K
K K
d
K d K d
d K d c
d
.
) 1 (
(2)
Từ (1) và (2)
c
d c a
b
**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai
vế để chúng có cùng một giá trị
Cách 3 Vì
d
c b
a
c
d a
b
1-
c
d a
b
1
c
d c a
b
*Hớng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét các cách giải Giáo viên chốt lại cách nào hay vận dụng và giải quyết đợc nhiều bài toán nhất Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý
Ví dụ 2 Cho
d
c b
a
( c d
5
3
)
CMR:
d c
b a d c
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
Cách 1 Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.
Cách 2 Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.
Đặt
d
c b
a
= K Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng
d
b
Các bài toán:
Bài 1 Cho b2 = a.c Chứng minh rằng
c
a c b
b a
2 2
2 2
Bài 2 Cho
d
c b
a
1 và c 0
CM rằng:
d c
b a d c
b a
2
Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.
2006
2005 4
3 3
2 2
a
a a
a a
a a
a
Thì có thể suy ra đợc biểu thức
2005
2006 4
3 2
2005 3
2 1 2006
1
a a
a a
a a
a a a
Dạng 3.
Tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1: Cho bốn số a, b, c, d; Sao cho a + b + c + d 0
Trang 4Biết K
d
c b a c
b a d b
a d c a
d c b
Tính giá trị của K.
Cách 1 áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta đợc
d c b a
d c b a
(
3
K = 3
Cách 2 Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số a = b = c = d
K=3
Các bài toán:
Bài 1: Biết , , , 4
c
c b
b a
a
Và a, + 3b, - 2c, 0
Tính giá trị của biểu thức P = , , ,
2 3
2 3
c b a
c b a
Bài 2 Cho M =
z y x
z y x
3 2
3 2
Tính giá trị của M biết các số x, y, z tỷ lệ với 5; 4; 3
Bài 3 Cho các số A, B, C tỷ lệ với các số a, b, c.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức Q = A ax x B by y c C
Không phụ thuộc vào giá trị của x,y
Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác bằng nhau
Đối với học sinh lớp 7 bớc đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau Cách làm thông thờng cũng là cách làm đợc coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần chứng minh đó bằng nhau Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải tạo ra bằng cách vẽ thêm đờng phụ Đờng phụ có thể là đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đờng vuông góc, song song,vẽ tia phân giác…
Ví du1: Cho ABC Vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A
là ABE và ACF
a.CM rằng BF = CE và BF CE
b.Gọi M là trung điểm của BC
CM rằng AM =
2
1
EF
Câu a GV hớng dẫn học sinh những định hớng ban đầu.
Thờng đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên
Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa kết luận và
giả thiết của bài toán Những câu hỏi đó học sinh đợc rèn,
tập dợt nhiều lần Sau này đó chính là những suy nghĩ, t duy
4
Trang 5của học sinh khi làm toán.
Sơ đồ phân tích đi lên:
BE = CE
ABF = AEC
AB = AE BAF = EAC AF = AC
(gt) ( = 90 o + BAC) (gt)
Câu b: Học sinh vẽ tách riêng hình, định hớng cho học sinh cách chứng minh thờng là
2 cách:
Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ đợc đoạn thẳng mới CM đoạn đó bằng đoạn thẳng
lớn
Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn
CM một nửa của nó bằng đoạn thẳng nhỏ
Với bài toán làm theo cách 1 ( Hình vẽ )
Khai thác bài toán:
1 Vẽ thêm đờng cao AH của ABC ( H BC ) Chứng minh đờng thẳng AH đi qua trung điểm EF
2 Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BE, CF Tính các góc của MIK
Các bài toán:
Bài 1: Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, trên
cạnh AC lấy điểm F sao cho EMF = 90 o Chứng minh AE = AC.
Bài 2: Cho ABC có đờng cao AH và đờng trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc
bằng nhau Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH
a CM rằng ME =
4
1
BC
b Tính các góc của EMC
c Biết AB = 4cm Tính AC
Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác đó Chứng minh.
Trang 6a AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC.
b Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Chuyên đề III Phơng pháp tam giác đều
*Phơng pháp tam giác đều thể hiện một cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm trong hình
vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau Giúp cho việc giải bài toán đợc thuận lợi Nhất là dạng toán tính số đo của góc
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân ở A, A = 80o Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho OBC = 30o , OCB=100 Tính COA
*Hớng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc
ABC cân tại A, A=800 B = C = 500
*Liên quan đến góc của tam giác đều
500 + 100 = 600
Vậy để dựng tam giác đều: Nh hình vẽ
Nối D với A : CBO = CDA (c.g.c)
CA=CO
*Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thờng là góc đặc biệt hoặc góc đợc gắn vào tam giác đặc biệt ( Cân, Vuông cân, một nửa đều…) hoặc gắn vào tam giác đã biết đợc số đo các góc của nó
Các bài toán
Bài 1 Cho ABC cân tại A, A=1000 Gọi O là một điểm trên tia phân giác của C Sao cho CBO = 300 Tính CAO
Bài 2 Cho ABC Cân tại A, A=1000 Trên tia AC lấy điểm D Sao cho AD = BC Tính CBD
Bài 3 Cho ABC Cân tại A, A=800 Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BAI =500
Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho ABK=300 Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H :
CM rằng HIK Cân
6
