Chuyên đề bồi dường HSG Toán 7

- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài II.. Chuẩn bị : - Giáo án bồi d

65 2 13

10 10

2 3

5 3 11

Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;

OB = 6 cm Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm

78.210

12

+

16.3

16.39 10

= 3 + 3 = 6

0.50.50.5

0.5

2 a, Tìm được n = 2010

b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +

10.5

c  9 và 2b = a + c nên 3b  9 ⇒ b  3 vậy b ∈{0;3;6;9}

abc 5 ⇒c∈{ }0;5

Xét số abo ta được số 630Xét số ab5 ta được số 135 ; 765

0.5

3

P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k∈NDạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài

⇒p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9  3

⇒ p + 8 là hợp số

0.50.50.50.5

Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm) Vậy AB > AC ( 2 >1)

0.50.5

0.50.5

Thì 2 x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2

=> x = -

3

5

(Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- GV: Gọi học sinh trình bày

1 23

1 72

3 3

1 52

x x

x x

(5 2 0,5) : 2

A B

− +

− với x= 1

2(về nhà ) Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c

x – 7 = 2x -1 ⇒x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)

GV: Tổ chức cho học sinh làm bài

- Học sinh lên bảng trình bày

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x x

Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;

Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:

a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3

b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;

a b a

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

|

1 +

−

x

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.

Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2 Chứng minh rằng: |a – b| < 5.

Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:

A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|

n n

VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:

172007, 1921; 131003

Lời giải:

Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng

các ý trong nhận xét ở trên đ ây

đó 3366, 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 3366 +7755 – 2 tận cùng là 0 (đpcm)Bài tập: 1/ a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100

Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đ trình bày ở trên

nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9

Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chữ số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ

sẽ có chữ số tận cùng là 0 ta sẽ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẽ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng của tổng là 4)

Các bài toán cụ thể : Hãy chứng minh

Như vậy 16281997 + 12921997  10 (vì chữ số tận cùng của tổng này sẽ là 0)

Ta cũng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tương tự

1717 = 174.173 ( 1)4 = ( 7) = số có tận cùng bằng 7Vậy 4343-1717 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10b) 3636 có tận cùng bằng 6 và có tổng các chữ số chia hết cho 9

910= (81)5 có tận cùng bằng 1 và chia hết cho 9Vậy là sô có tận cùng bằng 5 => chia hết cho 5, mỗi số hạng chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9

Số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9 nên chia hết cho 45c) 71000 =(74)250 = ( 1)250 = tận cùng bằng 1

31000 = (34)250 =( 1)250 tận cùng bằng 1 Vậy hiệu tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10d) Đặt thừa số chung

e) Đặt thừa số chung

f) Chứng minh: 175+244-1321

 10g) Chứng minh: 71999-43 100

h) Chøng minh r»ng: A= 36 38 + 41 33 chia hÕt cho 77

i) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã:

j) S = 3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hÕt cho 10

Dạng 3: So sánh hai lũy thừa

I Phương pháp : Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ

số hoặc cùng số mũ

- Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn

- Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0 ) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn

- Ngoài ra để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu ( Nếu a > b và b > c thì a >

c ) , tính chất đơn điệu của phép nhân ( Nếu a > b thì ac > bc với c > 0 )

II Các ví dụ

Ví dụ 1 : So sánh 1619 và 825

- Cách giải : Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta

tìm cách đưa 1619 và 825 về luỹ thừa cùng cơ số 2

- Cách giải: Ta thấy các số mũ 300 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa 2 số

2300 và 3200 về 2 cơ số có luỹ thừa bậc 100

- Cách giải: Ta thấy bài toán này không dùng cách như ví dụ 1 và ví dụ 2 được, nên phải

tìm cách so sánh gián tiếp qua một số khác ( hoặc có thể thêm, bớt, vận dụng một số tích chất khác )

0 )

1 5

1 5

5

1 5

1 5

5

1 5

1 5

1

5

1

5

1 5

1 5

⇒ H = 20082008

5 4

a a

1

1 1 1

3

2 + + + + (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d¬ng a ≠1)

Bµi gi¶i:

a.H= 1 + 1 + 12 + 13 + + 1a−1

a a

a a

(a-1)H = aH – H = (1 + 1 + 12 + 13 + + 1a−1

a a

a

a a

a a

1 1

1 1

a

) 1 (

5

1 5

1 5

4 1

b Chøng minh r»ng:

K= 2 3 2008

3

2008

3

3 3

2 3

4 3

§©y lµ mét bµi to¸n khã h¬n víi lêi gi¶i nh sau:

3K= 2 2007

3

2008

3

3 3

3

3 3

2

3

2008

3

3 3

2 3

= 2 3 2007 2008

3

2008 3

1

3

1 3

1 3 1

⇒ 2K < 2 3 2007

3

1

3

1 3

1 3

3

1 3

1 3

3

1

3

1 3

3

1 3

1

3

1

3

1 3

1 3

1

+ +

⇒ I <

4 3

Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:

Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a ≠1 thì:

a a

a a

1

1 1 1

16

a b c

1 3 3

1

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

15 16 81 10

15

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

8 8

3.2

3.2.31

= 35

b,

675 4

15 16 81 10

4

2

2 3 8

2 2 4 4 4 4

5.3.2

5.3.23.5

2 3 8

2 2 2 2 4

5.3.2

)13.5(5.3

=

3.2

124

4 =

3 2

7

- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức

có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài

II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7

- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề

III Tiến trình tiết dạy:

Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính

Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0 Hãy viết x12 dưới dạng:

a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?

b) Luỹ thừa của x4 ?

c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?

h) 1 2 3 4 5 .30 31.

4 6 8 10 12 62 64 = 2x;

+ +

Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)

Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :

- Tính giá trị của một biểu thức Thực hiện phép tính một cách hợp lý Bài toán

về dãy có quy luật

- Một số bài toán khác về biểu thức đại số

Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản Biết vận

dụng vào các bài toán khác tương tự Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng quát hóa cho các bài toán

Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài Cẩn thận, cầu tiến, không

nao núng khi làm bài

IIChuẩn bị:

GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các bài tập đầy đủ và đa dạng

Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan

III.Tiến trình tiết dạy:

b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000

Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xột số 100 Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0

và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18 Tổng cỏc chữ số của

50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1 ĐS: 901

b) Tương tự: ĐS: 27000001

Bài 5: Cho

1 2 3 4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S S S S

Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với số

mũ băng bao nhiờu?

Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:

Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )

II Dãy phân số có quy luật

1 Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo qui luật:

Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược

Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :

Hơn nữa ta cú :

Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau :

Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :

Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ; a44 thỏa món

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau

Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < < a44 < a45

và

Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?

Bài toán : Tính nhanh:

Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50.

b) Biến đổi số chia:

Bài toỏn 7: Cho

100

1 3

1 2

Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 26

với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100 Gọi k1, k2, …, k100 là cỏc thừa số phụ tương ứng, tổng

A cú dạng:

99

9 7 5 3

Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho

n

3

1 2

1

1 + + + +

= L Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số tự nhiờn

a) 45 510 1010

75 b) ( )

( )

5 6

0,8 0,4 c) 2 9153 34

6 8 d) 8104 41110

+ +

Bài 1: Khai triển các tích sau:

+ +

- Kiến thức :- Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ

số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp

- Kỹ năng :- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết

- Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề

II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi giỏi toán 7

- Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn

III Tiến trình tiết dạy :

a = ⇔ =+ NÕu a,b,c,d ≠ 0 th× :

a = hoÆc b a = d c = e f Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

*

d b

c a d b

c a d

c b

a

−

−

= +

+ +

=

=

=

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

z y

x = = vµ x+y+z= 18; b)

4 3 2

z y

+ +

=

=

=

8 4 2

6 3 2

4 2 2 2

9

18 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y

9 3 3

6 2 3 3

5

15 4 3 2 4 3 2

z y

x z

y x z y x

VD2: T×m x, y,z biÕt:

a)

5 4 3

z y

x = = vµ x+ 2y+ 4z= − 93; b)

5 4 3

z y

x = = vµ − 2x+ y− 3z= 34

Gi¶i:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

+ +

12 4 3

9 3 3 3

31

93 20

8 3

4 2 20

4 8

2 5 4 3

z y

x z

y x z y z y x

−

− +

8 4 2

6 3 2 2

17

34 15

4 6

3 2

15

3 6

2 5 4 3

z y

x z

y x z

x z y x

4 4

3 3

+ +

=

=

=

30 15 2

32 16 2

36 18 2 2

110

220 60 32 18

4 2 15

16 18

z y

x z

y x z y x

17

51 10 7

2 5

x y

x y

x

b) Từ

a

y b

x y b x

b x a

b

a b a b

y x a

z y

24 6

-Víi k = − 2 ⇒x= − 4 ;y= − 6

b) §Æt x y z k x 2k;y 3k;z 4k

4 3

2 1

1 24

24 4 3

.

z y

x k

k k

k k

z y

z y x

b) Tõ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

2 y z x

z y

z y

z y x

y a

ny ma

mx c

z b

y a

x = = ⇒ = =

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

mx = = ta đợc:

k k k k k k k k k k k k k k k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny ma

mx

+ +

= + +

+ +

a = ≠ ≠ ± ≠ ±Chứng minh rằng:

a)

d c

d c b a

b a

a d

c b

a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

d c

b a d c

b a d

b c

a

−

−

= +

d c b a

b a d c

b a d c

b a

Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:

Đặt

1 1 1 1

d c b a

b a

−

+

=

− +

a d

c b

a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

a d

c b

a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

= 7a -10b 7c -10d

m'a+n'b m'c+n'd m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd

Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài ta nên chọn c ách giải hợp lý nhất.

VD 3: Cho tØ lÖ thøc:

d c

d c b a

b a

Bài 6: Ba người cựng gúp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết rằng 3

lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tớnh số vốn mà từng người đó gúp

Bài 7: Cho tỉ lệ thức: ab =dc ; Chứng minh rằng:

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b + + + Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bµi 13: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho:

a+b-c a-b+c -a+b+c= =

T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: M (a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

Bµi 14: Cho biÓu thøc: P=x+y y+z+ + z+t + t+x

z+t t+x x+y z+y T×m gi¸ tri cña biÓu thøc P biªt r»ng:

x y z t

y+z+t = z+t+x = t+x+y = x+y+z

Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008 ≠ 0 và 1 2 2007 2008

Bài 7: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b + + + Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Ngày dạy :22/12/10

Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Tiếp theo ).

I Mục tiêu

- Kiến thức : - Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ

số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp

- Kỹ năng : - Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết

- Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề

- II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi giỏi toán 7

- Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn

II Tiến trình tiết dạy :

Bài 1: Tìm phân số a

b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị

của phân số đó không thay đổi ?

Mở rộng: Với một phân số bất kỳ ab ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số y Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số ab không thay đổi sau khi cộng ?

Bài 2: Cho a b c;

b = = c a CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa

Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b + + + Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bài 4: Cho tỉ lệ thức: ab =dc ; Chứng minh rằng :

a) 5a 3b5a 3b+ =5c 3d5c 3d+

7a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d

Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008

Bài 9: Cho dãy tỉ số : bza−cy =cxb−az =ay−cbx ; CMR: xa =yb =zc .

Bài 10: Cho biết : ' ' ' '

CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau

Bài 15: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng

cây

Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây

Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng được của

ba lớp bằng nhau ?

Hướng dẫn giải : Bài 11:

Ta có : c a d b =cd ab

+

+

2 2

2 2

b a d c d c

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a

cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

= + +

+ +

⇒

= +

+

= + +

+ +

c b

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b d c

a

b a

= +

+

= +

+

= +

+

= +

Bài 13: Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 14: Nhận xét: Trong 2002 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau

Thật vậy: Giả sử có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, ta gọi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 là 5 số khác nhau bất kỳ

Khi đó với 4 số đầu tiên ta có: a1.a2 khác a3a4;

a1a3 khác a2a4;