Phép biến hình phép tịnh tiến toán 11

Phương pháp: + Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất điểm Mcủa mặt phẳng.. + Phép dời hình: Phép dời hình là phép biến hình kh

Phương pháp:

+ Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất điểm

Mcủa mặt phẳng Điểm Mgọi là ảnh của M qua phép biến hình đó

 Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và Mlà ảnh của M qua phép f Ta viết: M  f M hay

 

f M M hay f M: M hay MfM

Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, Mlà ảnh

+ f là phép biến hình đồng nhất  f M M , M H Điểm M gọi là điểm bất động, điểm kép, bất biến

+ f1,f2 là các phép biến hình thì f f2 1 là phép biến hình

 Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M  f M , với MH , tạo thành hình Hđược gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H  f H 

+ Phép dời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là

với hai điểm bất kì M N, và ảnh M N , của chúng, ta luôn có: M N  MN.(Bảo toàn khoảng cách)

Dạng 1: Tìm ảnh qua phép biến hình

Phương pháp:

+ Cần nhớ cách viết phương trình đường thẳng, đường tròn, elip

+ Sử dụng công thức của phép biến hình để tìm ảnh

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP BIẾN HÌNH

Bài 1 Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M x M;y M có ảnh là điểm

Bài 4 Cho phép biến hình sau: : ( ; ) ( ) 2 1

Dạng 2: Kiểm tra phép biến hình có phải phép dời hình không

Phương pháp:

Bước 1: Lấy hai điểm M N, và tìm ảnh của hai điểm M N, qua phép biến hình là M N', '

Bước 2: Tính khoảng cách MN M N, ' '

Bước 3: Nếu MN  M N' ' thì đây là phép dời hình và ngược lại

Bài 1 Cho phép biến hình : f M x y( ; )  M  (f M)  (3 ; )x y Đây có phải là phép dời hình không?

Nếu x1 x2  M N MN Đây không phải là phép dời hình

Bài 2 Cho hai phép biến hình sau, hãy chỉ ra đâu là phép dời hình

g không phải là phép dời hình

Bài 3 Cho hai phép biến hình sau, hãy chỉ ra đâu là phép dời hình

g không phải là phép dời hình

Bài 4 Cho phép biến hình: : f M x y( ; )  M  f M( )(x3 ;y1) Chứng minh f là phép

dời hình

Bài 5 Cho phép biến hình: : f M x y( ; )  M  f M( ) (x1;y2) Chứng minh f là phép

dời hình

Bài 6 Cho phép biến hình: : f M x y( ; )  M f M( )(x3 ;y1) Chứng minh f là phép

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho , ,a b là các số thực Xét phép biến hình biến M thành

M’ sao cho: ' .cos .sin

c) Phép biến hình trên có phải là phép dời hình không

d) Khi 0 Chứng tỏ phép biến hình trên là phép tịnh tiến

* Giả sử qua 2

( ; ) '(3 ; 4 ):

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy xét các phép biến hình sau:

- Phép biến hình F biến điểm 1 M x y( , ) thành M'(y x, )

- Phép biến hình F biến điểm 2 M x y( , ) thành M'(3 , 4 )x y

Trong hai phép biến hình trên phép nào là phép dời hình

Dạng 1: Tìm ảnh, tọa độ, phương trình của ảnh qua phép tịnh tiến

2) Biết ảnh của điểm M là M'(10; 3) Tìm tọa độ M

3) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : 3d x4y 5 0 qua T u

4) Tìm ảnh của đường tròn   2 2

( ) :C x5  y6 9 qua

u

T

5) Biết ảnh của đường thẳng (d) là ( ') :d x3y 2 0 Tìm (d)

6) Biết ảnh của đường tròn ( )C là   2 2

(C') : x2  y1 16 Tìm ( )C HD:

Vậy phương trình đường tròn ( ') : (C x9)2 (y 4)2 9

Cách 2: Để viết phương trình đường tròn ta cần biết tâm và bán kính, mà qua phép tịnh tiến bán

kính không đổi nên ta chỉ cần tìm ảnh của tâm I(5;6) qua phép tịnh tiến

Vậy phương trình đường tròn ( ') : (C x9)2 (y 4)2 9

5) Biết ảnh của đường thẳng (d) là ( ') :d x3y 2 0 Tìm (d)

6) Biết ảnh của đường tròn ( )C là   2 2

Bài 3 Qua T với u u(1;5)

1) Biết ảnh của M là M'( 3; 2) Tìm tọa độ M

2) Biết ảnh của đường tròn ( )C là ( ') :C x2y22x4y 4 0 Tìm ( )C

HD:

1) M( 4; 3)  2) ( ) :C x2y214y400

Bài 4 Tìm véctơ tịnh tiến của phép biến hình biết:

1) M( 1;3) biến thành M'( 3; 2)

2) Đường tròn 2 2

( ) :C x y 6x4y 3 0 biến thành ( ') :C x2y2 4HD:

Bài 5 Nêu cách vẽ ảnh của đường thẳng, đường tròn, tam giác, hình vuông qua phép tịnh tiến theo

véctơ v và nói rõ quan hệ của ảnh với hình ban đầu

+ Để tìm ảnh ( ')C của ( )C qua T ta dựng v OO'v thì đường tròn ( ')C có tâm là O và bán kính 'bằng bán kính của đường tròn ( )C

Như vậy đường tròn ( ')C và ( )C là hai đường tròn bằng nhau

+ Để dựng ảnh ' ' 'A B C của tam giác ABC qua T , ta dựng v AA'v BB; 'v CC; 'v

Khi đó tam giác ABC và ' ' ' A B C là hai tam giác bằng nhau

+ Để dựng ảnh A B C D của hình vuông ABCD qua ' ' ' ' T , ta dựng v

AA v BB v CC v DD v Khi đó hình vuông A B C D và ABCD là hai hình bằng nhau ' ' ' '

Bài 6 Qua phép tịnh tiến

v

A'

B' C'

A D

B' C'

1) d trùng d’ 2) d song song d’ 3) d cắt d’

HD:

Lấy Md Gọi T u:M M'MM'u

1) Nếu d  d' M' d giá của véctơ u song song hoặc trùng d

2) d không song song ' d M'du MM, ' không cùng phương nên giá của véctơ u cắt đường thẳng d

3) d cắt 'd : Không xảy ra vì phép tịnh tiến chỉ biến đường thẳng thành đường thẳng song song

2) Biết M'(2;6) là ảnh của M qua T Tìm tọa độ M u

3) Tìm phương trình ảnh của đường thẳng ( ) : 4d x3y 7 0

4) Biết ảnh của đường tròn (C) là  2 2

(C') : x1 y 25 Tìm (C)HD:

2) Tìm tọa độ C sao cho A là ảnh của C qua T v

3) Tìm phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua T v

4) Tìm ảnh của đường tròn qua T v

Bài 12 Tìm v sao cho T M v( )M' biết

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn     2 2

+ Tìm điểm N sao cho tập hợp các điểm N là một hình (H) đã xác định

+ Từ giả thiết chỉ ra một phép tịnh tiến T biến N thành M v

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn ' ( ')O là ảnh của đường tròn ( )O qua T AB

Bài 2 Cho hai đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau tại hai điểm A B, Một đường thẳng d quay

quanh A cắt ( )O và ( ')O tại P Q, Tìm tập hợp điểm M sao cho 1

2

AM  PQ HD:

Gọi I J, là trung điểm AP AQ, , K là hình chiếu của O lên JO '

1

( )

AM  PQIJ OKMT K

Bài 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), cho ADR Dựng hình bình hành DABM và DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm trên một đường tròn cố định HD:

Vì DABM và DACN là hình bình hành nên:

Vậy tâm O' của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên ( )O

Bài 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính MN thay đổi Các đường thẳng

AM, AN cắt tiếp tuyến của (O) tại B lần lượt tại P, Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ, NPQ

1) Chứng minh HK là một véctơ không đổi

2) Tìm tập hợp các điểm H Suy ra tập hợp các điểm K

3) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

1) Chỉ ra H là trực tâm tam giác KABHKAB

MHNK nội tiếp đường tròn đường kính HK

01

Vì HK có hướng và độ lớn không đổi nên HK không đổi

2) Vì AHB1200 H nằm trên cung chứa góc 0

120 dựng trên đoạn AB

K

 là ảnh cung chứa góc 0

120 dựng trên đoạn AB qua T HK

AHKIH IK HIK  HAK   HIK

và HI không đổi I là ảnh của cung chứa góc 0

120 dựng trên đoạn AB qua T HI

Bài 6 Cho đường tròn (O) đoạn thẳng AB cố định và C là điểm di động trên (O) Vẽ hình bình hành ABCD

Δ vuông cân tại D nên DE  a

mà D( ')O E là hai đường tròn (O1);(O là ảnh của 2) ( ')O

qua T a và Ta

K

H N

O C A

D

O1

O2

Bài 7 Cho ( ; )O R và hai điểm A, B cô định trên đường tròn Lấy C di động trên đường tròn Tìm

tập hợp trực tâm H của ABCΔ

HD:

Kẻ đường kính AA'HCA B' là hình bình hành nên H T A B' ( )C

mà C( )O Hnằm trên đường tròn ( ')O là ảnh của ( )O qua T A B'

Bài 8 Cho B(2; 4);C(4; 6) và điểm A nằm trên đường tròn I; 2 2 , với I(0;3) Trực tâm H nằm trên đường thẳng x  y 1 0 Tìm tọa độ trực tâm H

Bước 1: Phân tích: Bài toán dựng hình thỏa mãn điều kiện (*) thường quy về dựng điểm M thuộc

một đường (L) cho trước

Điều kiện (*) thường liên kết điểm M phải dựng với điểm N thuộc một đường ( )C nào đó

C

I'

B'

H I

C B

A

Bước 3: Từ bước 2 ta phải chứng minh điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán

Bước 4: Biện luận

Ta xem trường hợp nào không dựng được M, trường hợp nào dựng được điểm M và dựng được mấy điểm M

Bài 1 Cho hai đường thẳng song song a b, Điểm A nằm ở nửa mặt phẳng bờ là a và không chứa

b Điểm B nằm ở nửa mặt phẳng bờ b và không chứa a Tìm hai điểm Ma N; b sao cho NM a và độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn nhất

HD:

Giả sử tìm được M N, thỏa mãn bài toán

Gọi M0a,N0b M N; 0 0  a M N0 0 MN không đổi

  là hình chiếu của M lên a

Vậy NN M'; M'thì độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn nhất

Bài 2 Cho tam giác ABC, dựng đường thẳng d song song BC sao cho d cắt AB, AC tại M và N sao

cho AM CN

HD:

Giả sử dựng được đường thẳng (d) thỏa mãn bài toán

Gọi KT NM( )C AK là phân giác góc A

Mà MN/ /BC K BC Vậy K là chân đường vuông góc của góc A

N0 N N'

A

M' M M0

B

x K

N

A

M

Bài toán có một nghiệm hình

Bài 3 Cho hai đường tròn đồng tâm ( ; ); ( ;O R O R Một điểm A trên 1) ( ; )O R , xác định điểm M trên

( ; )O R và điểm N trên ( ;O R sao cho MN1) OA

Bài 2 Cho tứ giác ABCD có 0 0 0

A B D AB CD Tính độ dài các cạnh AD và

BC

HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BA BC = 6, AD = 6 3

Bài 3 Cho ABC Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác Từ D và E lần lượt dựng các

đường vuông góc với AB, AC Chứng minh rằng hai đường vuông góc đó với đường cao AH của ABC đồng qui

HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BE , ABC AED

Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác ADA'ADa 2 3

Bài 5 Cho hai đoạn thẳng AB và CD có độ dài đều bằng 1 và cắt nhau tại I sao cho AIC 600

Chỉ ra ΔCDB' đều DB' 1 Thay vào (1) suy ra đpcm

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BH BK, HAD K; CD Gọi E là trực tâm

tam giác BKH Cho HK m BD; n Tính EB theo m, n

Bài 8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( ; )O R , ADR Dựng hình bình hành DABM DACN; Chứng

minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên ( ; )O R

Bài 9 Cho tam giác ABC, vẽ hình chữ nhật BCDE bên ngoài tam giác Gọi d d là đường thẳng qua 1, 2

D, E và vuông góc AB, AC d cắt 1 d tại K 2

1) Phép tịnh tiến theo EB biến d d và điểm K thành đường nào, điểm nào 1, 2

Bài 13 Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x  y + 5 = 0 Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là

ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:

a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 14 Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x1 2 y 22 4 Tìm phương trình của đường tròn (C)

là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:

x y  Tìm phương trình của elip (E) là ảnh của (E) qua phép

tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:

Bài 17 Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x Tìm phương trình của Parabol (P) là ảnh của (P) qua

phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:

a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 18 Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m) Tìm m để phép tịnh tiến T v biến d thành

chính nó

Bài 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho v 3; 4 và đường thẳng :x  y 6 0 Viết phương trình đường

thẳng 'là ảnh của  qua phép tịnh tiến T v

Bài 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho v 3; 2 và đường tròn   2 2

C x y  x y  Viết phương trình đường tròn  C' là ảnh của  C qua phép tịnh tiến T v