Sức bền vật liệu - Chương 7

Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không

Chương 7 thanh chịu lực phức tạp

I Khái niệm

⇒ Khi trên MCN của thanh xuất hiện từ hai thμnh phần nội lực trở lên thì

gọi lμ thanh chịu lực phức tạp Ví dụ, một trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu

uốn, một tường chắn vừa chịu nén vừa

chịu uốn, …

⇒ Tổng quát nhất khi thanh chịu lực

phức tạp, nội lực trên MCN có thể có 6

thμnh phần (hình 7.1)

⇒ Phương pháp tính: áp dụng nguyên

lý cộng tác dụng: ứng suất hay biến dạng

do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ, độ

lún của gối tựa, …) gây ra đồng thời trên

một thanh thì bằng tổng ứng suất hay

biến dạng do từng yếu tố gây ra trên

thanh đó

II Uốn xiên

1 Định nghĩa

⇒ Khi trên mọi MCN chỉ có hai thμnh phần nội lực lμ Mx vμ My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của MCN (hình 7.2) Khi chú ý đến lực cắt trên MCN có thể có các thμnh nội lực Mx, Qy , My vμ Qx

⇒ Gọi M lμ vectơ tổng của các vectơ Mx vμ My, nằm trong mặt phẳng V

chứa trục z, nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm

nμo Giao tuyến của mặt phẳng nμy với mặt phẳng cắt ngang gọi lμ đường tải trọng

⇒ Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua trọng tâm nhưng không trùng với

My

y

x

z

Mx

0 a)

V

b)

My

Mx

x

z

M

M

Mặt phẳng tải trọng

Đường tải trọng

α

Qy

Qx

x

y

z

Qz

Hình 7.1

2 ứng suất pháp trên MCN

⇒ Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên

M M

⇒ Mx, My coi lμ dương khi lμm căng phần chiều dương của trục y, trục x

⇒ Trong kĩ thuật người ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu

M M

⇒ Ta sẽ chọn dấu “+” hoặc dấu “-“ trước mỗi số hạng tuỳ theo các mômen

uốn Mx vμ My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

⇒ Nếu gọi α lμ góc của đường tải trọng hợp với trục x (hình 7.2b):

⇒ Góc α được gọi lμ dương khi quay từ chiều dương trục x đến đường tải

trọng theo chiều kim đồng hồ

3 Vị trí đường trung hoμ

⇒ Từ (7.1) ta thấy phương trình đường trung hoμ:

y x

M M

y y

y y

M J tg

M J

y

J 1 tg

β = ư

⇒ Đường trung hoμ lμ một đường thẳng đi

qua trọng tâm của MCN vμ không vuông góc

với đường tải trọng như trong uốn phẳng

⇒ Từ biểu thức (7.5) ⇒ đối với các MCN

có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm như

hình tròn, các đa giác đều cạnh, …( Jx= Jy nên

tgαtgβ = -1) thì không xảy ra hiện tượng uốn

xiên phẳng Vì đường tải trọng sẽ ≡ với một

trục quán tính chính trung tâm, còn đường

trung hoμ sẽ trùng với một trục quán tính

chính trung tâm thứ hai vuông góc với đường

tải trọng Bμi toán khi đó chỉ lμ uốn phẳng

4 Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

⇒ Theo (7.1) mặt ứng suất lμ mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều

trên đường thẳng song song với đường trung hoμ Do đó ta có thể vẽ biểu đồ

β D

Đường trung hoμ 0

σmax

C

Hình 7.3

σmin

phân bố ứng suất pháp trên MCN trong hệ toạ độ như hình 7.3 Trục tung lμ

đường trung hoμ, trục hoμnh vuông góc với đường trung hoμ

5 Điều kiện bền

⇒ Điểm nguy hiểm lμ các điểm xa đường trung hoμ nhất về phía kéo hoặc

nén ⇒ trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm lμ trạng thái ứng suất đơn

⇒ Điều kiện bền có dạng:

- Đối với vật liệu giòn: σm ax ≤ σ[ ]k (7.7) σmin ≤ σ[ ]n (7.8)

y x

M M

M M

⇒ Nếu MCN của thanh lμ những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ

nhật (hình 7.4):

x = x = x ⇒ yk = yn =ymax

m ax

M M

max

J

y

y max

J W

x

⇒ Trường hợp nμy điều kiện bền sẽ lμ:

M M

k

M M

⇒ Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bμi toán cơ bản sau:

- Kiểm tra bền theo (7.6) hoặc (7.7) hoặc (7.8)

- Tìm tải trọng cho phép Gọi [Pi] lμ tải trọng suy rộng cho phép, ta có:

[ ]

x 1 i

k1, k2 lμ các hằng số Từ điều kiện bền, ví dụ theo (7.12) ta suy ra:

1 i 2 i

k P k P

i

k k

W W

≤ σ ⎜⎜ + ⎟⎟

- Chọn kích thước MCN

⇒ Vì chưa biết trị số Jx, Jy, xk, xn, yk, yn ⇒ ta có thể chọn thử tính theo uốn

phẳng do thμnh phần mômen đòi hỏi kích thước lớn, rồi thử dần

⇒ Đối với các mặt cắt (hình 7.4), đầu tiên ta có thể tính theo công thức:

[ ]

x

≥

W C W

Hình 7.4

⇒ Đối với hình chữ nhật có chiều cao h vμ bề rộng b thì C = h/b Đối với mặt cắt hình chữ I lúc đầu có thể lấy C = 8, vμ hình chữ U lấy C = 6, sau đó kiểm tra tính toán lại

Ví dụ 7.1: Cho dầm chịu lực như hình 7.5 Xác định số hiệu mặt cắt dầm

thép chữ I, vị trí đường trung hoμ Cho P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m;α =

300; [σ] =16000N/m2

Bμi giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngμm có:

2

x

q

2

y

M = P sin l α = 2400Nm

Thử lần thứ nhất ta lấy C = 8

Theo công thức (7.39):

[ ]

x

Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị

Wy=23,1cm3

Thử lại: σmax = ưσmin

x max

M M

17000N / cm

[ ]

16000

Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm3 , Wy = 28,2cm3

Khi đó:

x max

M

14500N / cm

ứng suất nhỏ hơn:

[ ] [ ]

16000

Vì giữa thép có số hiệu 20 vμ 20a không còn số hiệu nμo khác nên ta chọn dầm thép có số hiệu 20a

Xác định vị trí đường trung hoμ Tra bảng với I(20a) ta có Jx=2030cm4;

Jy=155cm4. Do đó tại mặt cắt ngμm, phương của đường trung hoμ lμ :

σmin

Hình 7.5

P

q

y

α

x

A

B

β x

y n

σmax

x y max

y x max

ì

ì

hay β = +68 500

III Uốn - kéo (nén) đồng thời

1 Định nghĩa

⇒ Một thanh được gọi lμ chịu uốn - kéo (nén) đồng thời khi trên MCN của

thanh có các thμnh phần nội lực lμ lực dọc Nz, mômen uốn Mx, My (hình 7.6)

⇒ Ví dụ ống khói vừa chịu nén do trọng lượng bản thân G, vừa chịu uốn

do tải trọng gió q (hình 7.7)

⇒ ứng suất pháp tại một điểm trên MCN được xác định theo công thức:

y

z

M

M

trong đó: F - diện tích MCN;

ix, iy - bán kính quán tính chính:

i = J / F ; iy = J / Fy ;

Jx, Jy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN;

x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất

⇒ Quy ước dấu của Nz (chương 2), của Mx, My như trong uốn xiên

⇒ Công thức kỹ thuật có dạng:

Hình 7.7

q

G

Hình 7.6

z

Nz

O

My

x

y

Mx

z

M

⇒ Các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối Còn lấy dấu “+” hoặc “-” trước mỗi

số hạng tuỳ theo lực dọc lμ kéo hay nén vμ các mômen uốn Mx, My gây ra

ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

3 Vị trí đường trung hoμ

⇒ Từ (7.18) ta suy ra phương trình đường trung hoμ lμ:

y

M

z x z y

M M

⇒ Đường trung hoμ lμ một đường

thẳng không đi qua trọng tâm của

MCN như trong uốn xiên

4 Biểu đồ ứng suất pháp trên

MCN

⇒ Tương tự như trong uốn xiên do

mặt cắt ứng suất lμ phẳng, nên ứng

suất pháp phân bố đều trên đường

thẳng song song với đường trung hoμ Biểu đồ phân bố ứng suất được vẽ như

hình 7.8

5 Điều kiện bền

⇒ Điểm nguy hiểm lμ các điểm ở chu vi, xa đường trung hoμ nhất về phía

kéo hoặc phía nén Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm lμ trạng thái ứng

suất đơn ⇒ điều kiện bền lμ :

- Đối với vật liệu giòn: σmax ≤ σ[ ]k ; σmin ≤ σ (7.24) [ ]n

M

y

min

M

xk, yk lμ toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoμ nhất

xn, yn lμ toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoμ nhất

σ=N/F

Hình 7.8

B

Hình 7.9

σmin

σmax

A

B

⇒ Nếu MCN của thanh có dạng như trên hình 7.9 thì lí luận tương tự như

trong uốn xiên ta có:

y

max

M

y

min

M

Ví dụ 7.2: Cho một thanh chịu lực như hình 7.9a Tìm giá trị ứng suất σmax

vμ σmin, vị trí đường trung

hoμ vμ vẽ biểu đồ phân bố

ứng suất pháp trên mặt cắt

nguy hiểm Cho: P1 = 160

kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN;

q=2kN/m; l=2m; b=12cm;

h=16 cm

Bμi giải

Mặt cắt nguy hiểm tại

đầu ngμm Vị trí đường

trung hoμ vμ biểu đồ ứng

suất pháp được vẽ trên hình

7.9b

Lực dọc:

N = ư ư = ư P P (240 160) + = ư 400kN

Mômen uốn:

1 x

ì ì

2

y

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất vμ bé nhất theo (7.27), (7.28) lμ:

y

M

4, 75kNcm

y

M

8, 91kNcm

Vị trí đường trung hoμ: đường trung hoμ cắt trục x vμ trục y tại các điểm:

z y 0

y

N i x

M

= ư

;

2

z x 0

x

N i y

M

= ư

trong đó

2

x

h

12

y

b

12

z

N <0

; Mx >0

; My > 0

Khi thay bằng số ta được: x0 = 3, 53cm ; y0 = 5, 07cm

IV Uốn - xoắn đồng thời

1 Định nghĩa

⇒ Một thanh gọi lμ xoắn vμ uốn đồng thời Khi trên MCN của thanh có hai

thμnh phần nội lực lμ mômen xoắn vμ mômen uốn (hình 7.10)

MCN tròn - điều

kiện bền

⇒ ứng suất pháp

do mômen uốn gây

ra ứng suất tiếp do

mômen xoắn gây

nên phân bố như

trường hợp xoắn

thuần tuý (bỏ qua

ảnh hưởng của lực

cắt Q)

⇒ Điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm lμ giao điểm của đường tải

trọng với chu vi: điểm A hoặc B (hình 7.11) ứng suất pháp vμ tiếp có giá trị:

u

max min

M

+

p

M W

⇒ Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng:

[ ]

td max

σ = σ + τ

⇒ Thay các giá trị của σ vμ τ theo (7.29), (7.30) vμ chú ý Wp = 2Wu, ta có:

max

Hình 7.11 Hình 7.10

⇒ Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng :

max

3

M = M + M + 0, 75M (7.33)

trong đó:

2 2 1,3

[ ] [ ]

k n

σ

α = σ

Mtd đ−ợc tính theo các thuyết bền thích hợp (7.32), (7.33), (7.34)

Ví dụ 7.3: Một trục truyền bằng thép chịu lực nh− trên hình 7.12 Trọng

l−ợng Puli G = 3kN, công suất vμ số vòng quay của môtơ lμ: W = 50kN, n =

500vg/ph Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết

12kN / cm

Bμi giải: Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 7.12a, trong đó:

n 3,14 500

52, 4rad / s

30 30

M = = 0, 955 10 Nm ì = 95, 5kNcm ω

Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn:

T D t D t D M

D 80

ì

Hình 7.12

2 2 2

td

x

M

ì

Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó:

x

Gl

M 75 kNcm

4

= = ; My Pl 178 kNcm

4

Các biểu đồ nội lực được biểu diễn trên các hình 7.12b, c, d

Thay số vμo ta được:

[ ]

0,1 6

ì Vậy trục thoả mãn điều kiện bền

⇒ Giả sử tại MCN nguy hiểm có các thμnh phần nội lực Mx, My, Mz biểu diễn trên hình 7.13 Đối với

trường hợp đang xét, các điểm B,

D có ứng suất pháp cực trị:

y x

B

max

M M

y x

D

min

M M

⇒ Mômen xoắn sinh ra ứng

suất tiếp:

x A

max

p

M W

z C

p

M W

với Wp = αhb2

⇒ Chúng ta chưa biết được trong ba điểm A, B, C điểm nμo lμ nguy hiểm Vậy ta phải tính ứng suất tương đương cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm nμy, sau đó so sánh điểm nμo có σtđ lμ lớn nhất

M M

- Đối với phân tố ở điểm A (vừa có ứng suất pháp vừa có τmax ):

y C

B A D

z

x

Mx

My

Mz

h

b

Hình 7.13

⇒ Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

y

td

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

σ = σ + τ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

y

td

- Đối với phân tố ở điểm C:

⇒ Theo thuyết bền thứ ba, ta có:

2 2

td

⇒ Theo thuyết bền thứ t−, ta có:

2 2

td