bài giảng sức bền vật liệu, chương 7 potx

Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH.. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chí

Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG

THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH.

4.5.1 Hệ trục quán tính chính Đối với một hình phẳng có một

trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm) Và việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính đó được Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định

một hệ trục vuông góc Oxy sao cho Jxy=0 và Sx=Sy=0, thì ta gọi

hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm.

O

Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục

quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính

trung tâm” Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử

dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán tính chính trung tâm Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các

mô men quán tính khi xoay trục

4.5.2 Công thức xoay trục của mô men quán tính.

Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18 Giả sử biết Jx,

Jy, Jxy của mặt cắt ngang Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O

một góc , ta được hệ trục mới Ouv Tìm

giữa Jx, Jy, Jxy với JU, JV, JUV

Ta có công thức chuyển trục:

y

F

A dF u

u  x cos

v  y cos

Nên

:

J u

 

y cos
x sin 2 dF x x

 J x cos2   Jsin2 
2Jxysin 2

Cuối cùng ta

có: J x

 J y J x
J y

J u  sin 2 cos 2
J xy

Hình 4.18: Sơ đồ

xoay trục để tính

Chú ý: Dùng công

thức:

va

Tương tự:

cos 2   1  cos 2

2 sin 2   1
cos 2

2

mô men quán tính



 J U



  Jx

J

x  J y 2

 J

J x

J

2

J y

2

J y

cos 2

J xy sin 2

 J V 

 2
2 2 cos  J xy

sin 2 (4-10)

  Jx

 UV

J y 2

sin 2  J xy

cos 2

Đó là công thức xoay trục của mô

men quán tính Ta rút ra những nhận

xét :

* JU + JV = Jx + Jv

* Các công thức trên giống công thức tính U, V, UV

* Điều kiện để xác định hệ trục chính là: JUV = 0

Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất UV = 0

Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để

xác định hệ trục chính và mô men quán tính chính

J max/ min  J

x

 J y

 1

(J

x
J

y )

 4J

C

2

 J

J

.

tg1 / 2

 J xy

J y
J max/

min

(4-12)

4.6 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.

Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình phẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán trạng thái ứng suất Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) với các biểu thức xác định các ứng suất chính và phương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự nhau

Từ (4-10) với lập luận và thực hiện các

phép biến đổi như đối với việc xây

dựng vòng tròn Mohr ứng suất, ta

sẽ có vòng tròn Mohr quán tính

Juv

2

Phương trục chính có Jmin

1 Khi biết Jx, Jy và Jxy thì tâm

tròn quán tính có toạ

x



 J y 2



,0





 Jmin Jy



 O C

Jmax

u Jx

và bán kính sẽ là:

R 

(J

x





J y 2

) 2

2

xy





 Phương trục chính có Jmax Cuối cùng ta có thể dựng

vòng tròn

quán tính và cách xác định các

trục chính và giá trị các mô men

quán tính chính như trên hình 4.19

Hìmh 4.19: Vòng tròn

Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục

tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị mô men quán tính luôn luôn dương

Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có thể tìm vị trí các trục có mô men quán tính chính theo biểu thức:

tg1  tg(180

) 


J

J xy

J xy max

J y

 J xy

J y

J

m ax

(4-13)

tg 2 J y

J min