Sức bền vật liệu - Chương 7

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

Chương 7

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Trong các chương trên, chúng ta chỉ mới xét các trường hợp thanh chịu lực đơn

giản như: kéo nén đúng tâm, xoắn thuần túy và uốn phẳng.Trong chương này ta sẽ xét sự

chịu lực của thanh mà trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực

Đó là sự kết hợp giữa các trường hợp thanh chịu lực đơn giản Để giải các bài toàn này ta

dùng "nguyên lý độc lập tác dụng"

Phát biểu nguyên lý "độc lập tác dụng": Nếu trên một thanh đồng thời chịu tác

dụng của nhiều lực thì ứng suất hay biến dạng bằng tổng ứng suất hay tổng biến dạng do

tác dụng của riêng từng lực gây ra trên thanh đó

Điều kiện áp dụng nguyên lý:

- Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi

- Biến dạng bé

Nói chung ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh không đáng kể so với các

nội lực khác, nên trong mọi trường hợp chúng ta đều không xét đến lực cắt

A- THANH CHỊU UỐN XIÊN:

Định nghĩa: Một thanh chịu uốn xiên là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt

cắt của nó chỉ có hai thành phần nội lực là mô men uốn M x , M y nằm trong các mặt phẳng

quán tính chính trung tâm

Ta có thể biểu diễn Mx, My bởi các véctơ Mr y

tính chính trung tâm nào của mặt cắt ngang Mặt phẳng (v) được gọi là mặt phẳng tải

trọng Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng

Từ đó ta có một định nghĩa khác về uốn xiên: Một thanh chịu uốn xiên là một

thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần mô men uốn

M nằm trong mặt phẳng chứa trục z nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính

chính trung tâm nào của mặt cắt ngang

7.1 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG:

7.1 Ứng suất pháp :

Gọi α là góc tạo bởi trục x và đường tải trọng Nếu biểu diễn các mô men uốn

bằng các vectơ và như trên hình 7.1, ta có:

⎭

⎬

⎫α

=

α

=cosMM

sinMM

y

x

(a) α>0 khi chiều quay từ trục x đến đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (vì trục

y hướng xuống dưới)

Ta có hệ số góc đường tải trọng:

y

xM

M

tgα = (7-1)

M x M y

Dấu của Mx, My được qui ước giống như trong uốn phẳng

Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất tại điểm có tọa độ (x, y) thuộc mặt cắt ngang

sẽ là: x

J

MyJ

M

y

y x

|

|y

|J

|M

|

y

y x

|J

|M

|

|y

|J

|M

|

A y

y A

x

=σ

7.1.2 Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất:

Nếu ứng suất tại mỗi điểm được biểu diễn bằng một vectơ, thì (7-2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích của những đầu mút của các vectơ ứng suất Mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng

ứng suất

Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất và mặt cắt ngang là qũi tích những điểm có

σ = 0 Giao tuyến đó chính là đường trung hòa, phương trình của nó là:

xJ

JM

My0xJ

MyJ

M

y

x x

y y

y x

yJ

JM

Đường tải trọng

Hình 7.1:Tải trọng trong uốn xiên

A

hay

y

xJ

Jtg

1tg

α

β =− (7-5)

Từ (7-5) có nhận xét:

a) tgα và tgβ luôn luôn trái dấu nhau, vì Jx > 0, Jy > 0 Do đó, đường trung hòa

và đường tải trọng không bao giờ cùng nằm trong một góc phần tư của hệ trục Oxy (hình7.2b)

b) Từ (7-5) suy ra:

y

xJ

Jtg

x ≠ thì đường trung hòa không vuông góc với đường tải trọng Đó

là trường hợp uốn xiên

* Nếu 1

J

J

y

x = (tức Jx=Jy), thì đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng

và đồng thời bất kỳ trục nào đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang cũng là trục quán tính chính trung tâm (đã trình bày ở chương 4)

2

JJ

Juv = x − y α+ xy α = Vậy Ouv là hệ trục quán tính chính trung tâm)

Như vậy, mặt phẳng tải trọng cũng là mặt phẳng quán tính trung tâm, sự uốn của thanh không còn là uốn xiên mà uốn thuần túy phẳng Đó là trường hợp các mặt cắt ngang của thanh hình tròn, đa giác đều Với các thanh đó thì không bao giờ chịu uốn xiên

Qua hình vẽ biểu diễn mặt phẳng ứng suất ta nhận thấy:

c)

b)

a)

O

Đường trung

hoà

Đường trung hoà

Đường tải trọng

β β

β

α

Hình 7.2: Xác định đường trung hoà

Đường trung hoà

a) Những điểm nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa thì

có ứng suất pháp như nhau

b) Trị số σ tại một điểm tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến đường trung hòa Dựa vào tính chất đó ta biểu diễn sự phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang bằng biểu đồ ứng suất trong mặt phẳng Biểu đồ được vẽ như trên hình 7.2c

Kéo dài đường trung hòa ra khỏi mặt cắt và vẽ đường thẳng góc với đường trung hòa làm đường chuẩn Ứng suất pháp tại những điểm ∈AB // đường trung hòa được biểu diễn bằng một đoạn thẳng ab có gốc trên đường chuẩn và phương nằm trên đường thẳng song song đó Biểu đồ ứng suất là một đường thẳng, miền có ứng suất kéo mang dấu +, miền có ứng suất nén mang dấu -

* Ví dụ 1: Một dầm bằng gỗ dài l = 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 13× 20cm

Dầm bị ngàm ở một đầu Đầu tự do chịu lực tập trung P = 2400N Lực P đặt thẳng góc trục dầm và hợp với trục y một góc ϕ = 300, hình 7.3 Xác định vị trí đường trung hòa và trị số ứng suất tại các điểm góc A, B, C và D ở mặt cắt ngang nguy hiểm nhất

Giải: Phân P ra Px , Py: Px = P sin ϕ = 2400⋅ 120N

PJ

JM

M

y

x y

x y

x x

− => β = 53048'

Hình 7.3: Xác định ứng suất khi uốn xiên

z

C D

Trục trung hoà

σA = |x |

J

|M

|

|y

|J

|M

|

A y

y A

W

|M

|W

|M

|

=

−+

Trong đó: Wx = 2 2 867cm3 0,867 10 3m3

6

20136

Wy = 2 2 563cm3 0,563 10 3m3

6

13206

Tương tự : σB = 9,05 MN/m2; σC = -0,53 MN/m2; σD = -9,05 MN/m2

Vậy ứng suất nguy hiểm sẽ là tại B và tại D ở 2 góc xa trục trung hòa nhất

7.2 ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN XIÊN

Để thiết lập điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên, trước hết ta phải tìm mặt cắt nguy hiểm, rồi trên mặt cắt ngang nguy hiểm đó ta xác định vị trí các điểm nguy hiểm và tính ứng suất tại các điểm đó Dựa vào biểu đồ Mx và My chúng ta sẽ tìm được mặt cắt ngang nguy hiểm, đó là mặt cắt có Mx và My cùng lớn nhất Nếu Mx và My không cùng lớn nhất tại một mặt cắt ngang, trong trường hợp này chúng ta xác định ứng suất cực trị (σmax, σmin) trên mỗi mặt cắt ngang và vẽ biểu đồ ứng suất pháp cực trị đó dọc theo trục dầm Mặt cắt ngang nguy hiểm chính là mặt cắt ngang có ứng suất pháp cực trị lớn nhất Những điểm có ứng suất pháp cực trị là những điểm cách xa trục trung hòa nhất

J

|M

|

|y

|J

|M

max y

y k

max x

|

|y

|J

|M

max y

y n

max x

x

σ Trạng thái ứng suất ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn

* Vật liệu giòn: σmax ≤ [σ]k ; |σmin| ≤ [σ]n

* Vật liệu dẻo: max (σmax = |σmin|) ≤ [σ]

* Đặc biệt, nếu cả hai trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang đều là trục đối xứng (hình 7.4a, b, c ), thì có:

a) Vật liệu giòn: + ≤

W

|M

|W

|M

|

y

y x

x [σ]k (7-7a)

b) Vật liệu dẻo: + ≤

W

|M

|W

|M

|

y

y x

x [σ] (7-7b)

Từ điều kiện bền, ta có ba bài toán cơ bản: Kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép, chọn kích thước mặt cắt ngang Riêng bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang phức tạp hơn vì trong các bất phương trình trên ta gặp hai ẩn là Wx, Wy

Cách giải bài toán này là theo phương pháp đúng dần Ta chọn trước một ẩn số, từ

đó xác định ẩn số thứ hai, xong kiểm tra lại điều kiện bền, làm như thế cho đến lúc xác định được kích thước hợp lý nhất Để giải bài toán nhanh chóng ta viết lại điều kiện bền dưới dạng: |M | [ ]

W

W

|M

|W

1

y y

x x

W rồi chọn tỉ số

y

xW

W Việc chọn này đơn giản hơn Đối với

hình chữ nhật, tỉ số

b

hW

Wy

x = Đối với mặt cắt , tỉ số đó thường chọn với trị số ban đầu khoảng từ 5÷7 Mặt cắt chữ I: 8÷10 (dựa vào bảng số liệu về kích thước của các thép định hình, tỉ số

y

x

W

W

chỉ biến thiên trong khoảng nhất định )

* Ví dụ 2: Một dầm thép mặt cắt ngang chữ I chịu lực như hình vẽ 7.5a Chọn số

hiệu thép chữ I của mặt cắt ngang, biết: [σ] = 16 kN/cm2, P = 11kN, P nghiêng với trục y một góc ϕ = 200

Bài giải: Phân P thành hai thành phần Px và Py

Mx và My đều có giá trị lớn nhất tại ngàm, ta có:

x

a

104,

1051,4317

104,

⋅

Chọn lại thép I số 24: Wx = 289 cm3, Wy = 34,5 cm3

5,34

1051,4289

104,

⋅

⇒ không bền

* Kết luận: Vậy thích hợp nhất ta chọn thép I số 24a

7.3 ĐỘ VÕNG CỦA DẦM CHỊU UỐN XIÊN

Gọi fx, fy là độ võng theo phương của các trục quán tính chính trung tâm x, y do My

và Mx gây ra Độ võng toàn phần f được tính bằng côg thức:

f = 2

y 2

x f

f +

* Ví dụ 3: Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm chịu lực như hình 7.6a

Độ võng theo phương y ở đầu tự do dầm là do lực Py gây ra Trị số của độ võng

đo bằng :

x

3 x x

3 x

3 y y

EJ3

lMEJ

3

l

cosPEJ3

lP

(a) (Giá trị này được xác định trong chương uốn phẳng)

xz

ϕ

l=2m

b)

y

3 y y

3 x x

EJ3

lMEJ3

lP

x x

y

J

JM

Mf

f

tgγ = = ⋅ (7-10) Đem nhân (7-4) và(7-10) vế với vế, ta được: tgγ⋅ tgβ = -1 (7-11) Vậy, phương của độ võng toàn phần luôn luôn vuông góc với đường trung hòa (xem hình 7.6b) Như vậy, phương của độ võng toàn phần không thể trùng với đường tải

trọng Mặt phẳng chứa phương của độ võng toàn phần được gọi là mặt phẳng uốn

Biểu thức (7-10) còn có thể viết dưới dạng: tgγ = tgα⋅

x

yJ

J (7-12)

Nếu Jx> Jy thì trị số tuyệt đối của tgγ nhỏ hơn tgα, nói cách khác mặt phẳng uốn gần trục quán tính chính cực đại ox hơn là mặt phẳng tải trọng

Chỉ cần α tăng lên một lượng bé thì góc γ sẽ giảm đi một lượng lớn, làm cho mặt phẳng uốn càng tiến sát tới trục ox Điều đó làm cho ứng suất cực đại trong thanh tăng lên và càng nguy hiểm khi Jx càng lớn so với Jy

* Ví dụ 4: Một dầm bằng thép có mặt cắt ngang hình chữ đặt lên hai vì kèo có

nhịp l = 5m chịu tải trọng phân bố đều q= 6000N/m Mái nghiêng so với mặt nằm ngang một góc ϕ = 300 (hình 7.7a,b) Chọn số hiệu của thép, biết rằng ứng suất cho phép [σ]

=160MN/m2 (xem dầm đặt trên các vì kèo như đặt lên các gối tựa)

Hình 7.6: Độ võng trong uốn xiên

P x

P y y

x

l=2m

y

x

Phương độ võng

Đường trung hoà

γ O

Tính độ võng ở giữa nhịp của dầm Cho E = 2.105MN/m2

Bài giải: Phân cường độ q của tải trọng phân bố đều làm hai thành phần:

5.51968

lqM

2 2

lqM

2 2

|W

1

y y

x x x

Để sơ bộ chọn số hiệu thép ta lấy

y

xW

W

=5 Với tỉ số đó ta có:

6 16237 5 9375 394,4 10 m10

.160

Căn cứ vào trị số đó, ta có thể sơ bộ chọn loại thép chữ số hiệu 30 Với loại thép

chữ này, bảng số liệu cho ta các trị số như sau: (OCT 8240 - 56):

3871623710

.387

thép số hiệu 40, với loại thép này, ta có:

Wx= 761 cm3, Wy = 73,4 cm3 Kiểm tra lại điều kiện bền của dầm, ta có:

a)

ϕ=30

0

x

yq

Hình 7.7: Chọn mắt cắt trong

4,73

7611623710

.761

cosE

ql384

5f

y

2 x

B THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI VỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM

Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là: Các mô men uốn Mx,

My và lực dọc Nz (không xét đến lực cắt)

Ví như ống khói vừa chịu uốn do tác dụng của gió, vừa chịu nén do trọng lượng bản thân, hoặc cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không thẳng góc trục thanh, thành phần thẳng góc trục thanh gây ra uốn, thành phần theo phương trục thanh gây ra nén

7.4 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG.

Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm có các thành phần nội lực: Mx, My và Nz

Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ (x, y) thuộc mặt cắt ngang là :

F

NxJ

MyJ

y

y x

|

|x

|J

|M

|

|y

|J

|M

y

y x

* Ví dụ 5: Tính ứng suất pháp tại các điểm góc A,

B, C, D trên mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực như hình 7.8

C + −

D + + z

Ta có:

3 3

y

3 3

x

cm288012

)12(20J

cm000.812

2012J

602880

6105,1108000

104,

⋅

⋅+

602880

6105,1108000

104,

Tại điểm D ba thành phần nội lực đều gây ra kéo nên ở đây có giá trị σ lớn nhất

7.5 THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) LỆCH TÂM

1.Định nghĩa: Một thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có một thành phần lực song song với trục thanh nhưng điểm đặt lực nằm ngoài trọng tâm của mặt cắt đó

Ví như trường hợp chịu lực của một cần cẩu cố định Các lực đặt lên cần cẩu là những lực song song với trục giá cần cẩu, hợp lực của chúng phải là một lực nào đó song song trục giá (hình 7.9a) hoặc là bulông lệch tâm (hình 7.9b)

Ta thấy rằng thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là trường hợp đặc biệt của thanh

chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm Thật vậy ví như trên hình 7.10, tại điểm

C lệch tâm có một lực N song song với trục z tác dụng Nếu chuyển N về trọng tâm O của mặt cắt ngang ta sẽ được:

yz

xx

c y

c C N

Hình 7.10:Sơ đồ bài toán lệch

tâm

e

Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm Mặt phẳng tác dụng của mô men uốn M cắt ngang theo đường OC Giống như trong uốn xiên OC là đường tải trọng Chúng ta phân tích M ra 2 thành phần: Mô men uốn quay quanh trục x và quay quanh trục y:

M Mx = M sinα = Ne sinα = Nyc = Mx

My = M cosα = Ne cosα = Nyc = My

2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng

tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm, điều kiện bền là:

* Đối với thanh bằng vật liệu giòn:

σmax ≤ [ ]σ K; σmin ≤[ ]σ n

* Đối với thanh bằng vật liệu dẻo: maxσZ ≤[ ]σ

* Nếu mặt cắt ngang của thanh có dạng đối xứng cả hai trục như mặt cắt chữ nhật, chữ I hay hai chữ I ghép lại:

F

NW

MW

y

y x

MW

y

y x

x

σ (7-15b) Trong đó số hạng thứ ba lấy dấu (+) ,khi NZ là lực kéo và dấu (-) khi, NZ là lực nén

* Ví dụ 6: Kiểm tra sức chịu lực của đất dưới móng máy, biết rằng áp suất lớn nhất

mà đất có thể chịu được là 20 N/cm2 Trọng lượng P của máy = 80kN và được đặt ở điểm C(0.2,0.1) Trọng lượng riêng của móng máy γ = 25 KN/m3 (xem hình 7.11)

Bài giải: Đối với bài toán này,

chúng ta thấy ngoài P còn có R trọng

lượng của toàn móng máy, nên ta giải

như thanh chịu uốn đồng thời và nén

x

C

Khi xác định được Mx, My ,Nz thì căn cứ vào biểu thức xác định đường trung hoà

ta có:

J

MyJ

MF

N

y

y x

16y288,0

82,12

12

22,1J

;m288,012

2,12

Tư đây ta xác định được đường trung hoà như trong hình 7.11

Bây giờ ta tính ứng suất tại góc A và B:

2 2

z y

y x

x max

22,12006

22,1166

2,12

800F

NW

MW

x min

F

NW

MW

Vậy đất dưới đáy móng chịu được áp lực do P và R tác dụng

7.6 KHÁI NIỆM VỀ LÕI CỦA MẶT CẮT NGANG

7.6.1 Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm:

Những điểm trên đường trung hòa dĩ nhiên có giá trị ứng suất bằng không (theo định nghĩa), cho nên từ biểu thức (7-13) chúng ta cho vế phải bằng 0 thì sẽ tìm được

F

NxJ

MyJ

y

y x

x ⋅ + ⋅ + = (a) Trong trường hợp riêng (kéo hoặc nén lệch tâm) thì (a) sẽ là:

0

F

NxJ

x.NyJ

y.N

y

c x

xxFJ

yy1

y

c x

+ (c)

Ta đã biết 2

y y 2 x

F

J

;rF

yy

y

c 2 x

2 y

y

rb

;xr

Cuối cùng đường trung hòa có dạng: 1

b

ya

Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm có những tính chất sau:

1- Đường trung hòa không phụ thuộc vào giá trị của lực, mà chỉ phụ thuộc tọa

độ của điểm đặt lực, đường trung hòa và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong các góc phần

tư đối đỉnh qua gốc tọa độ (vì a, b bao giờ cũng ngược dấu với xc và yc , hình 17.12a) 2- Nếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì yc=0, do đó b = ∞; có nghĩa là đường trung hòa nằm song song với trục y và ngược lại

3- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không qua gốc tọa độ, thì đường trung hòa sẽ xoay quanh một điểm trên mặt phẳng của mặt cắt ngang

Điều này được chứng minh trên hình 7.12b, trong đó ta giả sử điểm đặt lực C di chuyển trên đường thẳng ∆ và rõ ràng lực P có thể phân thành hai thành phần theo hệ lực song song P1 và P2 mà các điểm đặt lực của nó nằm trên trục x là C1 và trục y là C2 Đường trung hoà tương ứng với lực P1 sẽ song song với trục y và vị trí đường trung hoà này đã xác địn Hai đường trung hoà này giao nhau tại điểm K Chúng ta chú ý một điểm tại điểm K, thì ứng suất do P gây ra cũng bằng không (vì theo nguyên lí cọng tác dụng thì ứng suất tại K do P gây ra cũng là bằng tổng ứng suất gây ra tại đó do P1 và P2 sinh ra bằng 0 Vậy điểm K cũng là điểm đi qua đường trung hoà ứng với lực P tác dụng Đến đây ta có thể nói các đường trung hoà đều xoay quanh điểm K khi điểm đặt lực chạy trên đường thẳng ∆, xem hình 7.12b

4-Nếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ (hình 7.12c), thì đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với chính nó Nếu điểm đặt lực C tiến gần về gốc toạ độ O, thì đường trung hoà sẽ lùi ra xa và ngược lại nếu điểm C lùi xa thì đường trung hoà sẽ tiến gần về gốc toạ độ O.Ta chứng minh điều này:

Đường trung hoà

x

K