bài giảng sức bền vật liệu, chương 5 doc

KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải

Chương 5

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

PHẲNG 4.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang

hai trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b

M P

h

Hình 4.1: Dầm có

tiết diện đứng

(a) và nằm ngang

(b)

D

Hình 4.2: Dầm có tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b)

Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực

tốt hơn trường hợp (b) Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh

4.2 MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN

QUÁN TÍNH

Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa

độ của điểm A nào đấy thuộc F Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF

4.2.1 Mô men tĩnh Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với

trục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau:

Sx  FydF



 xd F

Trong đó: Sx, Sy có thể âm, dương, hay bằng không

y



y y

yo

x



tích của

bề mặt

cắt

ngang

y

x

Hình 4.3 Xác

định mô

men tĩnh

* Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào bằng không thì trục

đó gọi là trục trung tâm

* Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt ngang

Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với hệ trục Oxy Giả

sử có hai trục trung tâm Cxo , Cy0 cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với Ox, Oy, hình 4.4

Theo định nghĩa ta có: Sxo = Syo = 0 (a) Gọi (xC,yC) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và

trục Cxoyo

thì:

(xo,yo) là tọa độ của A trong hệ

x  x c  x o



y  yc  yo

F

Sx = ycF + Sxo = ycF

[Sxo = 0 theo (a)]

Tương tự: Sy = xcF

Vậy, ta có:

x0 xC

F





x (4-1)

Sy  x

c F

Tính chất cơ

bản:

 S y

c F

Hình 4.4: Xác định toạ

độ trọng tâm của mặt cắt ngang

y Mọi trục đối xứng của mặt cắt

ngang đều là trục trung tâm (hình

4.5) Thực vậy, nếu trục y là trục đối

xứng của mặt cắt ngang thì:

xdF  | x | dF 
xdF

dF dF B A

F2

Trong đó F1, F2 diện tích của hai nửa

Sy  

F

Vậy y là trục

trung tâm

* Ví dụ 1:

Hình 4.5: Trục đối xứng của mặt cắt ngang là trục

trung tâm

a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt

ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6)

74 h

2

6

phân tố diện tích dF = bdy, ta có:

dF

S x

 ydF





tự : Sy

= x

0 F

hb2 2

2 (4-3)

O b/2

Hình 4.6: Tính mô

men tĩnh và toạ độ

trọng tâm

Sy

2b h

 b

h

y c



2

mặt cắt ngang chữ

mô men tĩnh Sx và tung độ trọng tâm yc của hình tam giác đối

Theo hình 4.7, ta có:

dF = b(y)dy ,

=> dF

=

b

dy h

h b

h

bh 2

b(y)

x O

b

2

mô men tĩnh và tung độ

y

S x

bh / 6 h

c  F

bh / 2 3

trọng tâm mặt cắt

c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn

=> dF =

2R2cos2d



b(y)



O

(4-5)

=>Sx = R sin.2R2

=> Sx =

2 R3 3

Hình 4.8 Tính

mô men tĩnh và

tâm m

Sx c F

 4



y  

y

d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với

có:

1

S x

F

 4a(6a) 2

F1 2

 2



F 2 3a(6a ) 2 6

2

xC = 0 3a

3 a

 180a

5a

5 a

F
42
9

 a 2



Hình 4.9 Tính mô

men tĩnh và tung độ

trọng tâm mặt

ắt ngang h

trục (gọi tắt mô men

quán tính).

4.2.2 Mô men quán tính đối với một

Ta gọi mô men quán tính của diện tích F

trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau:

Diện tích mặt cắt

dF

y



dF F

đơn vị m4,

Jx, Jy luôn luôn dương

4.2.3 Mô men quán tính độc cực (đối

với một điểm).

Ta gọi mô men quán tính độc cực

của diện tích

F đối với gốc tọa độ O

là biểu thức tích phân:

Hình 4.10: Xác

định mô men quán

y

tính

J P 

=> J

 (x2  y

2 )dF F

Jp = Jx + Jy cũng như mô men

quán tính, mô men quán tính độc cực bao

giờ cũng dương

4.2.4 Mô men quán tính ly tâm.

Ta gọi mô men quán tính ly tâm

của diện tích

F đối với hệ trục Oxy là biểu thức

tích phân:

x -x Ox

Hình 4.11: Xác định mô men quán tính li

J xy  xydF đơn

x, y có thể có dấu ngược nhau => Jxy có thể âm, dương, hay bằng không

Khi Jxy = 0, thì Oxoyo gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt

hệ trục chính)

* Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm

* Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình 4.5)