Sức bền vật liệu - Chương 3

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

Chương 3

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

3.1 KHÁI NIỆM

3.1.1 Khái niệm

Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

α σ

= τ

α σ

= σ

α

α

) b ( 2

sin 2 1

) a ( cos2

Trong đó α là góc giữa pháp tuyến của mặt cắt và trục thanh Rõ ràng khi α thay đổi, các ứng suất pháp σα,ứng suất tiếp τα đều thay đổi theo qui luật (a) và (b) Nhưng trong những thanh chịu lực phức tạp hơn (thanh bị uốn, xoắn v.v ) thì vấn đề xác định qui luật biến thiên của ứng suất theo góc nghiêng α của mặt cắt cũng phức tạp hơn

Trong chương này, chúng ta sẽ xác định qui luật biến thiên đó Vì thế nếu biết được qui luật biến thiên ứng suất tại một điểm thì ta có thể xác định được tại điểm đó mặt cắt nào có ứng suất lớn nhất

Định nghĩa trạng thái ứng suất: Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái

chịu lực của điểm đang xét, được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị ứng suất pháp và ứng

suất tiếp trên những mặt cắt vô cùng bé (VCB) khác nhau đi qua điểm đó

Để xác định ứng suất tại một điểm trong vật thể đàn hồi, ta tách riêng ra một hình hộp có kích thước

vô cùng bé VCB (gọi là phân tố) bao quanh điểm

đó Chú ý rằng các cạnh của phân tố là VCB, nên ta

có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố được xem như ứng suất trên các mặt đi qua điểm đó Trong lý thuyết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng: "Tại một điểm bất kỳ thuộc vật thể đàn hội chịu lực, ta luôn luôn

có thể tách ra được một phân tố sao cho trên các mặt của nó

chỉ có các ứng suất pháp mà không có ứng suất

tiếp, τ = 0"

Phân tố đó được coi là phân tố chính, các

mặt của phân tố gọi là mặt chính, các ứng suất

pháp trên các mặt gọi là các ứng suất chính,

phương pháp tuyến của các mặt gọi là phương

chính

Một phân tố hình hộp có sáu mặt, như vậy

nói chung có sáu thành phần ứng suất chính

Nhưng do điều kiện cân bằng, các mặt đối diện

có các thành phần ứng suất chính bằng nhau về trị số và ngược chiều nhau, do đó chỉ có

ba ứng suất chính Ta ký hiệu các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 với thứ tự qui ước σ1 >σ2 >σ3

(so sánh như số thực)

Hình 3.1:Phân tố vô

Hình 3.2: Phân

tố chinh

σ1

σ3

σ3= -10KN/cm 2

σ2= 3 KN/cm 2

σ2

Ví dụ: σ1 = 2KN/cm2; σ2 = 3KN/cm2; σ3=-10KN/cm2

3.1.2 Phân loại trạng thái ứng suất

Căn cứ vào các ứng suất chính trên một phân tố chính, ta phân ba loại trạng thái ứng suất:

a) Trạng thái ứng suất đơn: Trên phân tố chính chỉ có một ứng suất chính khác không và hai ứng suất chính khác bằng không Đó là trường hợp thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm, (xem hình 3.3a)

b) Trạng thái ứng suất phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác không và một ứng suất chính bằng 0, (xem hình 3.3b)

c) Trạng thái ứng suất khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác không, (xem hình 3.3c)

Trong giáo trình sức bền vật liệu, chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm đến trạng thái ứng suất phẳng Từ đó có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn.Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi

3.2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

3.2.1 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Giả sử tại K, ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song song

với mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt chính không có ứng suất pháp tác dụng (hình 3.4), còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng suất

Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau:

- Ứng suất pháp σ có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng (σx - Ứng suất pháp theo phương x)

- Ứng suất tiếp có hai chỉ số: Chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng suất tiếp (τxy là ứng suất tiếp trên mặt phẳng có pháp tuyến ngoài là x và ứng suất này nằm theo phương y)

c )

σ2

σ2

σ1

b )

σ1

σ1

a

)

σ1

Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Trạng

thái ứng suất đơn; b-Trạng thái ứng suất

phẳng; c- Trạng thái ứng suất khối.

Giả sử đã biết σx, σy và τxy, bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ song song với Oz

Tưởng tượng cắt phân tố bởi một mặt cắt (R) có pháp tuyến u làm với trục x một góc α Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phân tố ra hai phần (A) và (B), xem hình 3.5

Giả sử xét cân bằng phần (A) Gọi σu, τuv tác dụng trên mặt cắt nghiêng (α) Ta xét các lực tác dụng trên các mặt của phần (A), (xem hình 3.6, 3.7) Gọi các cạnh lần lượt

là dx, dy, dz, ds

Trên diện tích dy.dz có các hợp lực σxdydz và τxydydz

Trên diện tích dx.dz có các hợp lực σydzdx và τyxdzdx

Trên diện tích dz.ds có các hợp lực σudzds và τuvdzds

Dễ dàng xác định ds =

α

=

α sin

dx cos

dy

- Viết phương trình mô men với điểm O':

2

dy dzdx 2

dx dydz 0

∑

yx xy

yx

τ

Kết quả này được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc nhau

τyxdxdz

σydxdz

τxydydz

σxdydz

σudzds

τudzds α

u

v

y

z

x u

v

O

τuv

τy

x

τx

y

σ

x

σy

Hình 3.6: Các lực

tác dụng lên phần A

của phân tố

Hình 3 7: Các lực tác dụng lên phần A của phân tố

O

’

Hình 3.4:Phân tố có một

mặt chính không có ứng

suất pháp

σy

σy

σ

x

σ

x

σ

x

σ

x

z z

τxy

τ y x

τyx A

B

Hình 3.5: Thiết lập ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kì song song

τxy (R)

- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục u ta có:

∑ = ⇒ σ = σ +σ +σ −σ cos2α−τ sin2α

2 2

0

- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục V ta có:

∑ = ⇒τ = σ −σ sin2α+τ cos2α

2 0

Biểu thức (3-2) và (3-3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt nghiêng (α) song song với một phương chính (mặt cắt này vuông góc với mặt cắt đang xét) không có ứng suất

Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng (β), với β =

2

π +

⇒σ =σ +σ +σ −σ cos2β−τ sin2β

2

y x y x v

σ = σ +σ −σ −σ cos2α+τ sin2α

2

y x y x

Thực hiện phép cộng các phương trình (3-2) và (3-4) theo vế có:

σU + σv = σx + σy = const (3-5)

Biểu thức (3-5) được gọi là định luật bất biến bậc nhất của ứng suất pháp trên hai

mặt cắt vuông góc nhau

3.2.2 Phương chính và ứng suất chính

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp) Mặt cắt nghiêng (α) là mặt chính khi τuv = 0 (3-6) Gọi α0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3-6) và (3-3), ta có:

sin2 cos2 0

y x

y x

xy 0

2 2

tg

σ

− σ

τ

−

= α

=>

2

k 2

2

y x

σ

− σ

τ

−

= β

Hay

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

π +

β

= α

β

= α

2 2

2 02 01

Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của α0 là α01 và α02 chênh lệch nhau

π Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau Lần lượt thay α01, α02 vào (3-2)

ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu

Thực vậy u x y sin2 2 xycos2 2 uv

2

2 d

d

τ

−

= α τ

− α σ

− σ

−

= α σ

τuv = 0 , cũng có nghĩa là 0

d

d u = α σ

Như vậy, khi thay cos2α 1, cos2α , 2 sin2α và 1 sin2α , suy từ (3-7) với sự 2 biến đổi

α +

α

±

=

α

2 tg 1

2 tg 2

cos

α +

±

=

α

2 tg 1

1 2

sin

2 , ta có được hai giá trị ứng suất chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta

ký hiệu các ứng suất chính là σmax, σmin

xy

2 y x y

x min

2

1

+ σ

=

dấu + ứng với σmax, dấu − ứng với σmin

3.2.3 Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr)

Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: σu và τuv đều là hàm của góc nghiêng α Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó

Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:

α τ

− α σ

− σ

= σ + σ

−

2

y x y x u

α τ

+ α σ

− σ

=

y x uv

Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α τ

− α σ

− σ

= τ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

− σ

2

xy y

x 2

uv

2 y x

2

2

xy y

x

2 cos 2

sin

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α τ

+ α σ

− σ + Sau khi thu gọn ta được:

xy

2 y x 2

uv

2 y x

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

= τ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−

Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a)2 + (y-b)2 = R2; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó

Nếu lập hệ trục mà trục hoành là σu và trục tung τuv thì (3-9) chính là phương trình của một vòng tròn trong đó: σu, τuv - Tọa độ của những điểm trên vòng tròn

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ +σ

0 , 2

y x

- Tọa độ của tâm vòng tròn

2 xy

2 y x

2 ⎟⎟ +τ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

- Bán kính của vòng tròn

Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất

kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr)

Cách dựng vòng Mohr như sau:

Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất

σx, σy, τxy = -τyx , với giả thiết σx > σy > 0; τxy> 0

Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm2)

* Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp

* Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp

Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn OA=σy;OB=σx Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:

2 2

OB OA

=

+

=

* Tìm bán kính vòng Mohr:

Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ AD =τxy nằm về phía dương của trục tung (vì giả thuyết τxy> 0) CD chính là bán kính của vòng Mohr, vì:

2 2

xy

2 y x

2 ⎟⎟ +τ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr

D (σy, τxy ): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9)

y

Hình 3.8:Phân tố ứng suất phẳng

x

σx

σx

σ y

σ y

τxy

τxy

τyx

τyx

τuv

σu

τ xy

D

σy 2

y

x σ

σ +

σx

Hình 3.9: Vẽ vòng tròn Mohr

Chúng ta chú ý đến điểm Mo (σx, τxy), hình 3.11, tức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp σx, ứng suất tiếp τxy trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm Mo gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr

Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau:

- Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và

CMo là 2α, thì tọa độ điểm M đó sẽ là σu, τuv trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc α với trục x (xem hình 3.11)

Theo hình ta tính được: OT=OC+CT=OC+CMcos(γ+2α)

= OC+CMcosγ.cos2α−CMsinγ.sin2α

Vì

2 CB

cos CM cos

=

= γ

=

Và CMsinγ=CM0sinγ =BM0 =τxy

= σ +σ +σ −σ cos2α−τ sin2α

2 2

So sánh với (3-2) => OT=σu

Tương tự TM =τuv

Nối DM => MDM = α => DM // u 0

* Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị σx, σy, τxy trong hệ trục (σ, τ) cần lưu ý dấu b) α > o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x

Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc α = 300 so với trục x

* Tính theo phương pháp đồ thị:

Lập hệ trục σ // x; τ // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm2

y

Hình 3.10: Ứng

suất trên mặt cắt

xiên

x

τyx

τyx

τxy

τxy

σy

σy

σ

x

σ

x

σ u

τuv

α

O

u

τuv

α 2α γ

σ

x

D

M

M O

Hình 3.11: Cách dựng vòng tròn ứng suất

σy

Trên trục σ lấy OA=σy =4; OB=σx =8

Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M Đo tọa độ , ta nhận được:

σu = x( M) = 5,3 k/cm2; τuv - y( M )== 2,7k/cm2

* Tính theo phương pháp giải tích:

2 0

0

2

4 8 2

4

= σ

2 0

0

2

4 8

= +

−

= τ

* Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất chính

Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp Do đó để xác định phương chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không Đó là hai điểm M1, M2, các phương này hợp với phương ngang những góc α1 và α2 Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc α là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ Giá trị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (σ, τ)

Đó là các đoạn OM và 1 OM ;2 OM1 =σmax;OM2 =σmin, (xem hình 3.15)

Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:

2 xy

2 y x y

x 2 min

2 2

C M

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

− σ + σ

=

−

= σ

2 xy

2 y x y

x 1 max

2 2

CM

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ +

σ + σ

= +

= σ

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ 2 cm KN

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

cm

kN

σ 4

5,3 8

M

Hình 3.13: Cách tìm ứng suất trên mặt xiên bằng

vòng Mohr

O

Hình 3.12: Xác

định ứng suất

tại mặt xiên

y

30 0

4

2

8

τuv

u

x

O

A

Viết gộp: 2

xy

2 y x y

x min max/

2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

± σ + σ

=

dấu + ứng với σma x, dấu −ứng với σmin

Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự :

σ1 = σmax, σ2 = σmin, σ3 = 0

Gọi: α1- Góc giữa phương chính có σmax với phương ngang

α2- Góc giữa phương chính có σmin với phương ngang

thì từ vòng Mohr ta rút ra:

max y

xy

y max

xy

1 1

AM

AD tg

σ

− σ

τ

= σ

− σ

τ

−

=

−

= α

min y

xy

2 2

AM

AD tg

σ

− σ

τ

=

−

= α

Viết gộp: tg α1/2

min / max y

xy σ

− σ

τ

Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất Dựa vào vòng Mohr, ta có:

2 xy

2 y x 3

max

2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

=

= τ

2 xy

2 y x 4

min

2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

−

=

= τ

y

Hình 3.14:Phân

tố ứng suất

phẳng

x

σy

σy

σ

x

σ

x

τx

y

τx

y

τy

x

τy

x

σ2

σ1

σ1

σ

α1

α2

τx

y

O

M 2

M 1

D

σ

2

2

y

σ +

σ

x σ1

Hình 3.15: Xác định ứng suất chính bằng

vòng Mohr

Viết gộp: 2

xy

2 y x min

max/

2 ⎟⎟ +τ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ −σ

±

=

3.3 TRẠNG THÁI TRƯỢT THUẦN TÚY

Trạng thái trượt thuần túy tại một điểm trong vật thể đàn hồi

Nếu tại một điểm nào đó ta tách ra được một phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có ứng suất tiếp (không có ứng suất pháp, tức σ = 0) xem hình 3.16, trong trường hợp này, vòng tròn Mohr có tâm C ở gốc O, (vì σx = σy = 0)

Cực D (0, τ) ∈ trục tung

Dựa vào vòng Mohr, ta có: σ1 = σmax = τxy; σ2 = 0; σ3 = σmin = -τxy

Như vậy trạng thái trượt thuần túy có đặc điểm là hai ứng suất chính σ1 và σ3 bằng nhau nhưng ngược chiều (kéo, nén) Phương chính xiên góc 450 so với phương của ứng suất tiếp (hình 3.16; 3.17)

3.4 LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT

Trong trường hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố có các ứng suất pháp và ứng suất tiếp

3.4.1 Biến dạng dài theo một cạnh của phân tố

Đó là biến dạng do tác dụng của cả ba ứng suất pháp theo ba phương x, y, z gây ra

Để tính biến dạng này ta dùng nguyên lý độc lập tác dụng: "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố thì bằng tổng những tác dụng do các yếu tố riêng rẽ gây ra"

Nguyên lý đó thể hiện bằng biểu thức toán học sau:

z ) ( y x ) ( x ) ( x ) (

y z

y x

E

σ σ

σ σ

E

1 E E

z y

σ

(3-13)

Ta suy ra cho biến dạng các phương khác:

Hình 3.16: Trạng

thái ứng suất

trượt thuần tuý

y

x

τ

τ

σ1=τ

σ3=τ

σ1=τ

σ3=τ -τ τ

σ τ

D

Hình 3.17: Vòng Mohr để xác định ứng suất chính

y

Hình 3.18: Xác định

x

σy

σZ

σZ

σ

x

σ

x

O

dy

dx

dz