Sức bền vật liệu - Chương 6

Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không

Chương 6 Uốn phẳng

I Khái niệm về uốn phẳng

⇒ Mặt phẳng chứa các lực vμ

mômen được gọi lμ mặt phẳng

tải trọng (hình 6.1)

⇒ Đường tải trọng lμ giao

tuyến giữa mặt phẳng tải trọng

vμ MCN của thanh

⇒ Mặt phẳng quán tính chính

trung tâm tạo nên bởi trục của

thanh vμ một trục quán tính

chính trung tâm của MCN

⇒ Một thanh chủ yếu chịu

uốn gọi lμ dầm Trục của dầm

sau khi bị uốn cong vẫn nằm

trong một mặt phẳng quán tính

chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi lμ uốn phẳng

⇒ Uốn phẳng chia ra lμm hai loại: uốn thuần tuý vμ uốn ngang phẳng

⇒ Uốn thuần tuý phẳng: Trên MCN của dầm chỉ có một thμnh phần

mômen uốn Mx (My) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

⇒ Uốn ngang phẳng: Trên MCN của nó có hai thμnh phần nội lực lμ lực

cắt Qy vμ mômen uốn Mx (hoặc Qx vμ My)

II dầm chịu uốn phẳng thuần tuý

1 ứng suất trên MCN của dầm chịu uốn thuần tuý

b) Thí nghiệm

⇒ Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có MCN hình chữ nhật trước vμ sau khi biến dạng (hình 6.2)

Hình 6.2

Hình 6.1

Trước khi biến dạng Sau khi biến dạng

Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý ⇒ một số giả thiết:

⇒ Giả thiết về MCN phẳng: MCN của thanh trước vμ sau biến dạng

vẫn phẳng vμ vuông góc với trục của thanh

⇒ Giả thiết về các thớ

dọc: trong suốt quá trình

biến dạng các thớ dọc luôn

song song với nhau vμ song

song với trục thanh

⇒ Thớ không bị dãn, không

bị co gọi lμ thớ trung hoμ Các

thớ trung hoμ tạo thμnh mặt

trung hoμ (lớp trung hoμ)

Giao tuyến của mặt trung hoμ

với MCN gọi lμ đường trung

hoμ

b) ứng suất trên MCN

⇒ Xét một MCN nμo đó vμ chọn hệ trục toạ độ như hình 6.1 với trục Ox

lμ trục đường trung hoμ

Trên MCN chỉ có ứng suất

pháp, không có ứng suất

tiếp vì ứng suất tiếp lμm

MCN sẽ bị vênh đi góc sẽ

không còn vuông nữa

⇒Theo định luật Húc:

σ = ε (a)

⇒ Thớ trung hoμ không

bị biến dạng:

O O = Δ → z O O = ρ Δϕ

⇒ Xét một thớ mn (hình 6.4): Trước khi biến dạng ta có: mn = Δ = ρΔϕ z Sau khi biến dạng, ta có: mn=(ρ+y)Δϕ

⇒ Độ dãn dμi tỷ đối của thớ mn bằng: z

(ρ + Δϕ ư ρΔϕy) y

ρΔϕ ρ (b)

⇒ Thay (b) vμo (a), ta được: z

y E

σ =

⇒ Tại một MCN bán kính ρ có trị số xác định, E lμ một hằng số Vậy quy

luật phân bố ứng suất pháp trên MCN lμ phẳng như trên hình 6.5a Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với MCN chính lμ trục trung hoμ (đường trung

Hình 6.4

z y

Hình 6.3

hoμ) Rõ rμng ứng suất pháp trên các đường thẳng song song với trục trung

hoμ có trị số như nhau Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp như

trên hình 6.5b

Hình 6.5

Ta có quan hệ giữa mômen uốn Mx vμ ứng suất pháp σz:

x

M 1 EJ

=

So sánh (c) vμ (6.2) ta suy ra công thức ứng suất pháp trên MCN:

x z

x

M y J

2 Vị trí trục trung hoμ

Uốn phẳng thuần tuý ⇒ trên mọi MCN thμnh phần lực dọc Nz = 0 Ta có:

= σ∫ =

F

F

E

⇒ Đẳng thức trên được thoả mãn, khi: ∫ = x =

F

trong đó S x lμ mômen tĩnh của MCN đối với trục trung hoμ

⇒ Vậy trục trung hoμ lμ một trục trung tâm

3 ứng suất kéo vμ nén lớn nhất

⇒ σz có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm mép trên hay mép dưới

⇒ Nếu trục trung hoμ lμ đối xứng, ví dụ MCN lμ hình chữ nhật, hình tròn, chữ I,

⇒ σz kmax = σz nmax Tổng quát ta viết: x

z max

x

M W

x max

J W

y

⇒ MCN mμ đường trung hoμ không chia đều chiều cao (hình 6.6) ⇒

z max z max

σ ≠ σ Kí hiệu khoảng cách từ điểm xa nhất tới trục trung hoμ lμ

max max

y (y ) ⇒ ứng suất kéo (nén) lớn nhất: σ k = x = x

J y W (6.6)

y

_

+

σ n = x = x

x max x

trong đó, đại lượng: x ( )3

x max

J

y

chống uốn của MCN đối với trục trung hoμ

Ví dụ, MCN hình chữ nhật

x x

W

Hình tròn:

3

3 x

x

d / 2 32

π

Hình vμnh khăn: 3( 4) 3( 4)

x

D

32

π

D

η =

⇒ Điều kiện dầm có độ bền đều: σz max k = σz max n

⇒ Nếu dầm lμm bằng vật liệu dẻo thì MCN phải đối xứng qua đường trung hoμ, nếu dầm lμm bằng vật liệu giòn thì MCN phải thoả mãn điều kiện:

[ ] [ ]

k k

max

n n

max

y y

σ

= σ

⇒ Biểu thức trên cho thấy: cùng MCN có diện tích F, nếu môđun chống uốn lớn thì cμng tiết kiệm vật liệu ⇒ người ta đưa vμo tỷ số không thứ nguyên x

3

W F

ξ = , được gọi lμ mômen chống uốn riêng của mặt cắt

⇒ ξ cμng lớn thì mức độ tiết kiệm vật liệu cμng tốt MCN hợp lý khi dầm

chịu uốn lμ tính chất lμm tiết kiệm nguyên vật liệu Việc chế tạo các thép cán

định hình có MCN hình chữ I, hình chữ C dựa trên tính chất hợp lý nμy

4 Điều kiện bền

⇒ Dầm lμm từ vật liệu dẻo vì n

ch

k

ch = σ

σ theo (6.5), ta có:

[ ]

x

z max

x

M W

⇒ Dầm lμm từ vật liệu giòn, vì k n

σ ≠ σ ⇒ phải viết 2 điều kiện bền:

[ ]

x

M W

σ = ≤ σ (6.14); n n x [ ]

x

M W

σ = σ = ≤ σ (6.15)

⇒ Tìm vị trí MCN có ứng suất pháp lớn nhất Nếu dầm có MCN không thay đổi vμ vật liệu của dầm lμ dẻo thì lấy ở MCN có mômen uốn lớn nhất Trường hợp dầm có MCN thay đổi ta phải lấy MCN có ứng suất pháp lớn nhất Trường hợp dầm lμm bằng vật liệu giòn ta phải tìm MCN thoả mãn các biểu thức (6.14), (6.15) (kéo - nén)

Hình 6.6

III Uốn ngang phẳng

⇒ Uốn ngang phẳng, trên MCN của thanh có ứng suất pháp do mômen uốn vμ ứng suất tiếp do lực ngang gây ra Hình 6.7 mô tả hiện tượng uốn ngang (trục bị uốn cong), lμm cho các MCN ban đầu không còn phẳng nữa sau khi bị uốn ngang

Hình 6.7

1 ứng suất pháp

Trong uốn phẳng, lực cắt ⇒ ứng suất tiếp Các ứng suất tiếp phân bố theo chiều cao mặt cắt không đều Do ảnh hưởng đó, các biến dạng góc cũng có trị số thay đổi theo chiều cao của MCN lμm cho mặt cắt sau khi bị uốn không còn phẳng nữa mμ hơi bị vênh theo chữ S (hình 6.8)

Nếu lực cắt bằng hằng số thì MCN đều vênh như nhau

⇒ sự vênh không ảnh hưởng đến độ dãn hoặc độ co

⇒ công thức tính ứng suất pháp (6.2) vẫn còn đúng

trong trường hợp uốn ngang phẳng:

x z

x

M y J

2 ứng suất tiếp

⇒ ứng suất tiếp trên MCN: τzx vμ τzy (hình 6.9a) Theo định luật đối ứng ứng suất tiếp (mặt ngoμi dầm không chịu ngoại lực theo phương z) ⇒ τzx

=0, có nghĩa tại điểm xét có τ = τzy Từ lý thuyết đμn hồi ⇒ giả thiết:

⇒ Tất cả các ứng suất tiếp trên MCN đều // với lực cắt

⇒ ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng của MCN

⇒ Tách từ dầm một đoạn có chiều dμi dz (hình 6.9), sau đó bằng mặt cắt ABCD song song vμ cách mặt phẳng Oxz một khoảng y chia đoạn thanh nμy thμnh hai phần vμ xét phần không chứa gốc O (ABCDEFGH)

Hình 6.8

⇒ Gọi σz1 va σz2 lμ ứng suất pháp trên các mặt cắt 1ư1 vμ 2ư2, b(y) = AB vμ

c

F lμ diện tích của mặt cắt ABEF, bc chiều rộng của phần diện tích đó tại

điểm cách trục trung hoμ y Có thể thấy:

+

⇒ Xét sự cân bằng phân tố phần dưới, ta có:

F = σ dF ư σ dF + τ b dz 0 =

⇒ Thay (a) vμo (b) vμ chú ý rằng x =

y

dM

Q

dz , ta có:

τ = τ = ∫

c

y

x F

Q y dF

c

c

ydF

trong đó c( )

x

S y lμ mômen tĩnh của diện tích Fc đối với trục trung hoμ x.Với

mặt cắt lμ dải chữ nhật hẹp:

c

c

ξ - toạ độ trọng tâm phần tiết diện bị cắt đối với trục trung hoμ

⇒ Công thức (6.16) được gọi lμ công thức Juravxky (1855) Công thức

nμy cho thấy: trị số ứng suất tiếp ứng với "lớp thớ dọc" bất kì cách trục

trung hoμ x một khoảng y, tỉ lệ thuận với lực cắt Qy vμ mômen tĩnh Sx(y)

của phần MCN giới hạn bởi "lớp thớ" đó, nhưng tỉ lệ nghịch với mômen

quán tính Jx của MCN vμ chiều rộng b(y) của "lớp thớ" được xét

x

y

Qy

τzy

τzx

τtp

Hình 6.9

3 ứng suất tiếp của một số mặt cắt đơn giản

a) MCN hình chữ nhật (hình 6.10): Ta có:

2 y

zy

1

⇒ Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN (hình 6.10):

⇒ τmax tại các điểm trên trục trung hoμ: y y

max

2bh 2F

b) MCN hình tròn

⎫ π

⎭ ⇒ y ( 2 2)

4Q

3 R

π

⇒ Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN cho trên hình 6.11:

4Q 4 Q

3 R 3 F

c) MCN chữ I (thép cán):

2

y x zy

x

Q S dy / 2

J d

x

Q S

J d

( cx x

y

S S d.y

2

x lμ mômen tĩnh một nửa chữ I)

⇒ Tại điểm A:

2

y x 1

x

d h

2 2

J d

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− −

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⇒ Tại điểm ở đế:

2

y x 2

x

d h

2 2

J b

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− −

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

τ =

⇒ Do d<b nên τ1 > τ2 nên khi kiểm tra bền chỉ chú ý đến τmaxzy vμ τ1

4 Điều kiện bền

⇒ Đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, việc tìm vị trí điểm nguy hiểm vμ viết điều kiện bền có phức tạp hơn Dựa vμo biểu đồ phân bố ứng suất pháp

vμ tiếp, dọc theo chiều cao ta thấy trên hình 6.13

Hình 6.13

• ở các điểm ngoμi mép xa trục trung hoμ nhất - điểm A (C):

⇒ Điều kiện đối với vật dẻo: x [ ]

z

x

M max

W

σ = ≤ σ (6.20)

⇒ Vật liệu giòn: k x [ ]

x

M max

W

x

M max

W

σ = ≤ σ (6.21)

• Điểm trên trục trung hoμ - điểm O (hình 6.13): maxτmax ≤ τ (6.22) [ ]

• Những điểm có cả ứng suất pháp vμ ứng suất tiếp - điểm B ⇒ đưa về ứng suất tương đương σtđ Vậy điều kiện được viết lμ: max σtđ ≤ [σ] (6.23)

⇒ Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, ứng suất tính toán tương

đương tại điểm B, có dạng: σ td(B) = σ2z(B) + τ 4 2zy(B) (6.24)

5 Chọn kích thước MCN, xác định tải trọng cho phép

⇒ Khi chọn kích thước của MCN hoặc xác định tải trọng cho phép, đầu tiên ta xuất phát từ điều kiện cơ bản (6.20), (6.21) Sau đó, nếu cần thiết ta mới kiểm tra điều kiện bền về trượt vμ điều kiện bền khi có cả ứng suất pháp

σz vμ ứng suất tiếp τ (ví dụ, mặt cắt chữ I) Tại chỗ tiếp giáp giữa lòng vμ đế ứng suất σz vμ τ đều khá lớn vμ người ta cũng chỉ quan tâm khi trên mặt cắt

đó giá trị mômen uốn, lực cắt đều rất lớn

6 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 6.1: Một dầm bằng vật liệu có ứng suất pháp cho phép khi kéo

k 3,5kN / cm

n 11kN / cm

σ = , chịu lực như trên hình 6.14a

Kiểm tra độ bền của dầm

Bμi giải: Trình tự các bước thực hiện

- Vẽ biểu đồ mômen uốn, cho trị số maxMx = 4,5kN.m

Hình 6.14

- Tìm các đặc trưng cần thiết của MCN (hình 6.14c), ta được các trị số:

4 x

y =2, 67cm; y =7,33cm

- Tính các giá trị maxσkz; maxσ : nz

Vậy dầm đủ bền

Ví dụ 6.2: Cho dầm chịu lực như trên

hình 6.15 Chọn đường kính của dầm cho

hai trường hợp: dầm có MCN không đổi,

dầm có ba bậc như hình 6.15 Biết l=80 cm,

P=5kN, [ ]σ = 16kN / cm 2, [ ]τ = 8kN / cm 2

Bμi giải

- Dầm có MCN không đổi Theo điều

kiện bền cơ bản (6.13), ta có:

[ ]

3

x max

0,1d ≥M / σ

trong đó: M x max = 5.80 / 4 10 kN.cm = 2

⇒ d ≥ 310 / 0,1.16 2 ( ) = 4cm

- Dầm ba bậc (hình 6.16) Trị số d1, d2

được xác định theo công thức (6.20)

Đối với đoạn giữa: max M x = 10 kNcm2

Đối với đoạn hai đầu:

x

M = 30.P / 2 30.5 / 2 75kNcm = =

Từ điều kiện bền cơ bản (6.13), ta có:

2

Với kích thước đã chọn dầm lμm việc đủ

bền

16

Hình 6.15

+ +

Hình 6.16

IV Chuyển vị của dầm chịu uốn

⇒ Khi dầm chịu uốn

phẳng ⇒ trục của dầm

bị uốn cong gọi lμ đường

đμn hồi (hình 6.17)

⇒ Chuyển vị đứng

của MCN tại K gọi lμ độ

võng y(z) của dầm

⇒Góc lập bởi tiếp tuyến với đường đμn hồi tại điểm K’ vμ trục của dầm

trước khi biến dạng gọi lμ góc xoay ϕ(z)

1 Phương trình vi phân gần đúng của đường đμn hồi

⇒ Từ (6.1) ta có bán

kính cong ρ của đường

đμn hồi được xác định

bởi công thức:

x

x

M

1

EJ

=

⇒ Mặt khác ta có:

( 2)3/ 2

1 y

′′

= ±

⇒ Từ (a) vμ (b) suy ra: ( ) x

x

M

y z

EJ

⇒ Dấu “-” do mô men uốn (y′ 2 ≈ 0 do biến dạng lμ vô cùng bé) vμ độ lồi

(lõm) của dầm lμ trái dấu nhau (hình 6.18)

2 Tính độ võng, góc xoay bằng phương pháp tích phân không

định hạn

⇒ Muốn tính góc xoay vμ độ võng tại mặt cắt bất kỳ của dầm, ta lần lượt

tích phân phương trình (6.28) hai lần:

1 x

M

EJ

x

M

EJ

⇒ Các hằng số tích phân C1 vμ C2 xác định từ các điều kiện biên tại các

mặt cắt đặt liên kết vμ điều kiện liên tục của độ võng vμ góc xoay tại vị trí

tiếp giáp giữa các đoạn dầm

Hình 6.17

Hình 6.18

Ví dụ 6.3: Xét dầm công-xôn chịu

mômen uốn M0 tại đầu tự do (hình 6.19),

biết độ cứng của dầm EJx = const Tính độ

võng vμ góc xoay tại điểm A

Bμi giải: Xét mặt cắt 1-1, ta có: Mx = M0

Thay vμo (6.28) vμ tích phân lần lượt hai

lần ta được:

0 x

M y

EJ

1 x

M

EJ

x

M

EJ

Điều kiện biên:

( ) ( )

⎪

⎪⎩

2

l

l

Vậy độ võng, góc xoay tại A lμ: ( ) 0 2

x

M y

2EJ

= ư l

l ; ϕ = ′( )= 0

A

x

M y

EJ

l l

Dấu “-” chứng tỏ điểm A chuyển vị lên trên, ngược chiều dương của trục y Góc xoay tại A quay ngược chiều kim đồng hồ

Ví dụ 6.4: Cũng với dầm như trên nhưng chịu lực tập trung P (hình 6.20)

Tính độ võng, góc xoay tại A?

Bμi giải: Tại mặt cắt 1-1, ta có:

Mx = -P.z (dấu “-” do Mx lμm căng thớ trên)

Thay vμo (6.28), ta có:

x

P.z y

EJ

′′ =

Tích phân liên tiếp 2 lần:

2

1 x

P.z

2EJ

x

P.z

6EJ

Điều kiện biên:

( ) ( )

⎧ = ư

⎪

⎪⎩

2 1

x

2

P C

C

l l

l

Vậy độ võng tại A lμ: ( ) 2 3

x

P

3EJ

Góc xoay tại A lμ: ( ) ( ) 1 2

x

P

2EJ

′

yA > 0 chứng tỏ điểm A chuyển vị xuống dưới Còn ϕA < 0 chứng tỏ góc xoay tại A quay cung chiều kim đồng hồ

Hình 6.19

Hình 6.20

3 Phương pháp hμm gián đoạn

⇒ Phương pháp hμm gián đoạn cho phép biểu diễn mômen uốn thμnh biểu thức duy nhất trên toμn chiều dμi của dầm, vμ chỉ có 2 hằng số tích phân xác

định từ điều kiện biên ⇒ việc tính toán độ võng góc xoay tại mặt cắt bất kỳ trên toμn dầm được đơn giản hoá rất nhiều ⇒ có thể áp dụng tin học hoá

⇒ Hμm gián đoạn được định nghĩa như sau:

( )n

n x a khi x a

x a

⎪

ư = ⎨

<

⎪⎩ với x ∈ R, n ∈ N, n ≥ 0, a = const ∈ R

⇒ Có nghĩa lμ hμm gián đoạn chỉ có giá trị khác 0 khi đối số lμ không âm Khi đó các dấu ngoặc nhọn có thể coi như dấu ngoặc tròn thông thường Còn khi đối số âm thì hμm gián đoạn bằng 0

⇒ Từ định nghĩa hμm gián đoạn ta có tính chất sau:

d

x a n x a dx

ư

n 1

n 1

+

ư

+

∫

⇒ Sử dụng hμm gián đoạn ta có thể biểu diễn mômen uốn của dầm đối với các loại tải trọng khác nhau:

a) Mô men tập trung

0

M = ưM z aư

Dấu “-” vì mô men uốn lμm căng

thớ trên

b) Lực tập trung

1 x

M = ưP z aư

c) Lực phân bố đều đến hết chiều

dμi dầm:

2 x

q z a M

2

ư

=

d) Lực phân bố đều trên một đoạn

của dầm

x

q z a q z b

M

⇒ áp dụng nguyên lý cộng tác tác dụng ta sẽ viết được biểu thức mômen uốn cho dầm với tác dụng đồng thời của nhiều tải trọng khác nhau Thay biểu thức của Mx vμo (6.28) vμo tích phân lần lượt hai lần giống như phương pháp tích phân không định hạn ta sẽ thu được độ võng, góc xoay tại mặt cắt bất kỳ Hai hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện liên kết của dầm

Ví dụ 6.5: Từ hình (6.19) ta có (chọn gốc toạ độ tại A): Mx =M z 00 ư 0

0 0

x

M z 0

y

EJ

ư

1 0

1 x

M z 0

EJ

ư

2 0

x

M z 0

2EJ

ư

Điều kiện biên: ( )

( )

⎪

⎪⎩

l

l

Vậy độ võng, góc xoay tại A lμ: ( ) 0 2

A

x

M

2EJ

A

x

M

y 0

EJ

′

Kết quả giống như phương pháp tích phân không định hạn

Ví dụ 6.6: Từ hình 6.20: M x = ư P z 0 ư 1 (chọn gốc toạ độ tại A)

1

x

P z 0 y

EJ

ư

2 1 x

P z 0

2EJ

ư

3

x

P z 0

6EJ

ư

Điều kiện biên:

( ) ( )

⎪

⎪⎩

l

l

Vậy độ võng, góc xoay tại A lμ: A ( ) 3

x

P

3EJ

x

P

y 0

2EJ

′

Kết quả giống như phương pháp tích phân không định hạn

Ví dụ 6.7: Tính độ võng, góc xoay

tại điểm giữa của dầm

Từ hình 6.21, ta có:

x

x

Điều kiện biên:

( ) ( )

3 1

2

qa

z 0 : y 0 0 C

24

⎧

Vậy độ võng vμ góc xoay tai C:

4 C

x

2 384EJ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟=

a

2

⎛ ⎞

′

⎝ ⎠

Hình 6.21

EJ = const

4 Phương pháp tải trọng giả tạo (phương pháp đồ toán)

⇒ Liờn hệ vi phõn giữa nội lực và ngoại lực như sau:

2

y x

2

dQ (z)

d M (z)

q(z)

⇒ Cũn đối với phương trỡnh đường đàn hồi, ta cú phương trỡnh vi phõn:

′

⇒ Ta cú sự tương đương nhau, do vậy nếu tạo ra một tải trọng giả tạo

x

gt

x

M

q

EJ

= ư , bằng phương phỏp mặt cắt xỏc định được Qgt và Mgt trờn dầm

giả tạo Giỏ trị đú chớnh là độ vừng và gúc xoay trờn dầm thực tương ứng

⇒ Điều kiện liờn kết của dầm giả tạo và dầm thực phải cú mối tương quan sao cho giỏ trị Qgt và Mgt trờn dầm giả tạo phải đỳng bằng giỏ trị độ vừng và gúc xoay trờn dầm thực tương ứng (bảng 6.1)

Bảng 6.1

⇒ Trỡnh tự giải bài toỏn bằng phương phỏp tải trọng giả tạo :

- Vẽ biểu đồ mụmen uốn Mx cho trờn dầm thực

- Vẽ dầm giả tạo với cỏc liờn kết phự hợp với điều kiện độ vừng, gúc xoay tương ứng trờn dầm thực