Hình tứ diện đều: a Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b Chân đường cao trùng với tâm của đáy hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy c Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nha
Trang 1ÔN TẬP CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sinα = AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cosα = AC
BC (KỀ chia HUYỀN)
3 tanα = AB
AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cotα = AC
AB (KỀ chia ĐỐI)
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)
2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC
4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 1 2 12
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN
2R sin A = sin B sin C = =
V ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a) AM AN MN
AB = AC = BC ; b) AM AN
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường:
a) S = 1
ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) − − − (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h = a 3
2 ; b) S =
2
a 3 4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3 Tam giác vuông:
a) S = 1
2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = 1
2a
2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2
5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3
2 d) S =
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S = 1
ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
α
B
A
N M
C B
A
C B
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trang 28 Hình thoi: S = 1
2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2
10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11 Đường tròn: a) C = 2πR (R: bán kính đường tròn)
b) S = πR2 (R: bán kính đường tròn)
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = 2
3BN; * BG = 2GN; * GN =
1
2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm
của tam giác đáy)
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2 Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α) Tức là:
a b a,b
∩
⊂ α
⇒d ⊥(α)
b)
( ) ( )
( ) ( ) a
α ⊥ β
α ∩ β =
⊥ ⊂ β
⇒d ⊥(α) c) Đt d vuông góc với mp(α) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(α)
G P
N M
C B
A
D
C B
A
S
D
C B
A
Trang 34 Góc ϕ giữa đt d và mp(α): d cắt (α) tại O và A∈d
Nếu AH ( )
H ( )
⊥ α
∈ α
thì góc giữa d và (α) là ϕ hay AOH ˆ = ϕ
5 Góc giữa 2 mp(α) và mp(β):
Nếu
( ) ( ) AB
α ∩ β =
thì góc giữa (α) và (β) là ϕ hay EMF ˆ = ϕ
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(α): Nếu AH ⊥(α) thì d(A, (α)) = AH (với H ∈(α))
IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2 Thể tích khối chóp: V = 1
Bh
3 (diện tích đáy là đa giác)
3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C
S.ABC
=
4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1
Bh
3 (diện tích đáy là đường tròn)
6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = π R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích của mặt cầu: S = 4π R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3
R
3 π (R: bán kính mặt cầu)
I THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạnh bên
SA vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA=a 2 và vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy là 450 Tính thể tích của khối chóp
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một Biết SA = a, AB = BC = a 3 Tính thể tích của khối chóp và tìm tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp
Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA= a, (a > 0 ) và đáy là tam giác đều Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt dáy bằng 600 Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0) Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 , (SAC) ⊥ (ABC) Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a
Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho 1 , 1
AM AB BN BC Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C Hãy tính thể tích của (H) và (H’)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC a= , = 3,mặt bên SBC là tam giác đều
và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 8: Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên gấp đôi cạnh đáy và bằng a
α
β
ϕ
F
E
M B
A
ϕ O H
A
d' d
α
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Trang 4Bài 9: Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , c nh bên SA vuông gócứ ạ ạ
v i đáy, c nh bên SC t o v i đáy m t góc 30ớ ạ ạ ớ ộ o
a) Tính di n tích xung quanh và th tích kh i chóp.ệ ể ố
b) Tìm tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.ặ ầ ạ ế
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều, tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB Chứng minh rằng: SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 12: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c và
· = 90 0
BAC Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Bài 13: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng
2
a
1 Tính chiều cao của tứ diện ABCD
2 Tính thể tích của tứ diện ABCD
Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng a
1.Tính chiều cao của hình chóp S ABC
2.Tính thể tích của hình chóp S.ABC
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành SA⊥ (ABCD) SA =
2
a
, AB = 2a, AD = 5a, góc BAD có số đo 30o Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng 3a 1.Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD
2.Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB
= 5a, AB = 3a , AC= 4a
1.Tính chiều cao của S.ABCD
2.Tính thể tích của S.ABCD
Bài 18: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh SA = AB = 3
2 1.Tính chiều cao của S.ABC
2.Tính thể tích của S.ABC
Bài 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = AB = 2a, BC = 3a Tính thể tích của S.ABC
Bài 20: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = AB = 5a, BC = 3a Tính thể tích của S.ABC
Bài 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = 5a, AB = 2a, BC = 3a
Tính thể tích của S.ABC
Bài 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng đáy
SC = AB = a/2, BC = 3a Tính thể tích của S.ABC
Bài 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = AC , AB = a, BC = 2AB Tính thể tích của S.ABCD
Bài 24: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng đáy
SC = AB = a/3, BC = 3a Tính thể tích của S.ABC
Bài 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = 2a , AB = a, AC = 3a
1) Tính thể tích của S.ABCD 2) Chứng minh BC⊥ (SAB)
Bài 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
3
a
, cạnh bên bằng 3a 1.Tính chiều cao của S.ABCD 2.Tính thể tích của S.ABCD
Bài 27: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và các cạnh bên tạo với đáy một
góc 600 Hãy tính thể tích của khối chóp đó
Bài 28: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và SA = a, SB = b, SC = c Tính
độ dài đường cao vẽ từ S của hình chóp S.ABC
Trang 5Bài 29: Cho tứ diện ABCD.M là điểm trên cạnh CD sao cho MC = 2 MD.Mặt phẳng (ABM) chia khối tứ diện
thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 30: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và các cạnh bên tạo với đáy một
góc α Hãy tính thể tích của khối chóp theo a và α
Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa SC với mặt đáy bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 32: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α Tính diện tích xung quanh của hình chóp và chứng minh đường cao của hình chóp bằng cot 2 1
2 2
α−
a
Bài 33: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết rằng AB = 3, BC = 4, SA = 6
1/ Tính thể tích khối chóp S.ADE 2/ Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 34: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp đó
Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA
= 3a, SB = 5a, AD = a
1.Tính độ dài AB 2.Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
II KHỐI CHÓP & PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a = 2 , SA vuông góc với đáy ABC ,
SA a =
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.(
3 2
1 1
SABC
a
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M,
N Tính thể tích của khối chóp S.AMN(
3
SAMN SABC
a
V = V = ) Bài 2 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a = Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a = Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.(VABCD a3
6
= ) b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD )
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF(
3
1
a
V = V = ) Bài 3 Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng (α)qua A, B và trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.(
5
3
.
=
ABCD ABMN
SABMN
V
V
) Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD(
3 D
6 6
S ABC
a
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF ( EMF 2 3 6 3 6
36 18
S A
V
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA a = 2 Gọi B’, D’
là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB D ' ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ (
3 ' ' ' ' '
2 2 2
9
S A B C D S AB C
a
II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang 6Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ(VABC.A B C′ ′ ′ =
3 3 4
b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C (VA BB C′ ′ = 1
3 VABC.A B C′ ′ ′ ĐS:
3 3 12
a )
Bài 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và
biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C∧ = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = a3 6
Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này
Bài 5: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ (VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3)
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích lăng trụ.(V = SABC.AA' = a 33
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ.(V = SABCD.DD'=
3
a 6
3 ;S = 4SADD'A' =
2 4a 6
Bài 7: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ (V = SABC.A'O = a3 3
4 )
II THỂ TÍCH KHỐI HỘP
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Bài 2: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích của hình hộp.(V B.h S= = ABCD.BB'=3a3
2 )
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm
trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.(SACC'A' = a 2;S2 BDD'B'= a2)
3) Tính thể tích của hộp (V a 23
2
Bài 4: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.(60o)
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.(V 3a3&S a 152
4
