Giáo ân 12. Ôn tập chương 1. Các dạng toán về tiếp tuyến

CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 Nêu không chứng minh phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại Mx0; y0 thuộc đồ thị... Biết tọa độ tiếp điểm hoặc biết hoành độ x0 hoặc bi

TIEÂT 45

MOÔT SOÂ BAØI TOAÙN VEĂ

TIEẪP TUYEÂN BAØI TAÔP OĐN CHÖÔNG II

CÂU HỎI 1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k?

Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y0

2) Cho biết ý nghĩa hình học của đạo hàm?

Trả lời:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm

tại x0, có đồ thị ( C) và M(x0; y0)

là một điểm thuộc (C), khi đó hệ

số góc của tiếp tuyến của (C) tại

M(x0; y0) là: k = f’(x0)

y

x

M

O x0

y0

(C)

2

CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH

TIẾP TUYẾN

3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; y0) thuộc đồ thị

Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0

Hãy nêu các dạng toán về phương trình tiếp tuyến đã học?

?

1 Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 hoặc biết tung độ y0 của tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến tại

điểm M(x 0 ; y 0 ) )

2 Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

3 Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x0; y0) cho trước

4 Hai đường tiếp xúc nhau

4 Trả lời:

O x

y (C) : y = f(x)

M

x0

Nếu chỉ biết x0, ta thay x0 vào

công thức của hàm số để tính y0

Tính f(x) rồi tính f(x0)

Thay các giá trị x0, y0, f(x0) vào phương trình (1)

ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x 0; y 0 ) của tiếp điểm

Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 (1)

Nếu chỉ biết y0, ta thay y0 vào

công thức của hàm số để tính

x0

Ví dụ 1:

Cho đường cong (C):

Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2

Giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng x0 là: y = f(x0).(x – x0) + y0

Theo đầu bài x0 = 2 Suy ra y0 = 1 và f(x0) = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 3

6

 

1

1









x

x x

f y

 Gọi (x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm

 Tính f(x) rồi giải phương trình f(x0) = k để tính x0

 Thay x0 vào hàm số để tính y0

 Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến

 Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = k(x – x 0 ) + y 0 (2) ; [với: k = f’(x 0 ) ] 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm Phương trình có dạng:

Theo giả thiết: f(x0) = 1 (1)

Với x0 = 0 thì y0 = – 1 Với x0 = – 4 thì y0 = 3

8

Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)=

Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C) Biết tiếp tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.

Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1

2

2



 x x

4

0







x

)

Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7

y = (x – x0) + y0

3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M

Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc

(C), cách giải như nhau.

Gọi k là hệ số góc của đường

thẳng (d) qua M(xM, yM) và tiếp xúc

với (C) Phương trình đường thẳng

(d) là: y = k(x  xM) +yM

hay: y = kx – kxM + yM (a)

(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau

đây có nghiệm

Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a),

ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M











 k )

x ( 'f

y kx

-kx

x

M

xM

yM

O

y



 M

 M

x

y

M

xM

yM 

O

Phương trình đường thẳng d qua M(0; 1) là:

y = k(x  xM) + yM  y = kx  1

d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

Thay giá trị của k ở (2) vào (1), ta được phương trình:

2x3 + 3x2  1= (6x2 + 6x)x  1

 4x3 + 3x2 = 0  x = 0 hoặc x =  3/4

Với x = 0 ta có k = 0, với x =  3/4, ta có k =  9/8

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là:

Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1)

10

Giải:



















) ( k

x x

) ( kx

x

x

2 6

6

1 1

1 3

2

2

2 3

1 8

9



y

Hai đường cong được

gọi là tiếp xúc nhau tại

điểm M nếu chúng có

chung điểm M và tiếp

tuyến tại M của hai

đường cong đó trùng

nhau.(SGK ; tr 101)

Đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số

y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm :











) (

' )

(

'

) (

)

(

x g

x f

x g x

f

y

M

y = f(x)

y = g(x)



4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc

(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)

Ví dụ 4:

Xác định a để đồ thị (C) của hàm số :

Giải : Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm

của hệ :

(2)  x2  4x + 4 = 0  x = 2

Thay x = 2 vào (1), ta được :

x x

x )

x ( f

3

2

3







 tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a

12











) (' )

('

) ( )

(

x g

x f

x g x

 



























2 2

4 2

1

4 3

2

2 2

3

x x

x

a x

x x

x

3

8



a

) P ( xúc tiếp

) C ( thì a

Khi :

ĐS

3 8



CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN

1

1









x

m x

m y

định xác

tập ý

chú )

m ( )

x (

) m x

(

















2 2

2

1 1

0



Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x

ĐS: Mọi m khác 1

Gợi ý: Như ví dụ 4 Điều kiện tiếp xúc

Bài số 1:

) (

x x

m x

) m

(

1 1

1









 2

1 1

1

2

2

2











) x

(

m )

m (

Đi đến:

ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.

Cho hàm số:

x

x )

x ( f

y







1

Gọi (C) là đồ thị Tìm phương trình tiếp của đồ thị

đi qua tâm đối xứng (nếu có)

Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1) Giống ví dụ 3

Phương trình tiếp tuyến qua điểm I

Bài số 3:

Bài số 2:

Cho hàm số

2

3 3

2











x

x

x )

x (f

y

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 =

0

Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến Vì (a) có hệ số góc 1/3

nên (d) có hệ số góc là – 3

Cho (C): y = f(x) = x3  3x2 + 2 Tìm trên

đường thẳng y =  2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc

16

Bài số 4:

Gợi ý: Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm





















) ( k

) x

( x

) ( )

a x

( k x

x

2 2

3

1 2

2

3

Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = 0

+ Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại)

+ Với 2x2 – (3a –1)x+ 2 = 0 (*) Để bài toán được thỏa thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – 1

  = (3a – 1)2 – 16 > 0

(3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 1

Giải hệ ta được

a = 55/27



Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + 4

Bài số 5:

Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

ĐS: Điểm A(0;4)

Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m

Điều kiện tiếp xúc: x4 – 12x2 + 4 = kx + m (1)

4x3 – 24x = k (2)

Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0 (3)

Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại

CHÚC SỨC KHỎE CÁC THẦY , CÔ GIÁO

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI