Định lý điểm bất động banach trong không gian metric từng phần

Năm 1994, Matthews đã đề xướng khái niệm metric từng phần partial metric và không gian metric từng phần được định nghĩa như sau: Năm 2005, Oscar Valero đã mở rộng Nguyên lý điểm bất động

PHẠM ÁNH NGỌC

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH

TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

PHẠM ÁNH NGỌC

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH

TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Hà Đức Vượng, thầy

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận

văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn

thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,

Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và

giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành

luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Phạm Ánh Ngọc

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luận văn

chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Định lý điểm bất động Banach

trong không gian metric từng phầndo tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Phạm Ánh Ngọc

Mục lục

1.1 Không gian tôpô 8

1.2 Không gian metric 11

1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach 20

2 Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric từng

2.1 Không gian metric từng phần 24

2.2 Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric

từng phần 31

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y (X, p) Không gian metric từng phần

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Cho tập hợp X khác rỗng tùy ý và ánh xạ f : X → X Nếu có phần tử

x ∈ X thỏa mãn f (x) = x thì x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f

trên tậpX

Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thu hút sự quan

tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Các kết quả nghiên cứu về lĩnh

vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory)

gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như Banach, Brouwer,

Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan,

Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo hai hướng chính:

Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh xạ liên tục,

mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912):

Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều

Ngoài ra còn một hướng thứ ba nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh

xạ không giãn Lớp ánh xạ này được xem như lớp ánh xạ trung gian giữa

lớp ánh xạ co và lớp ánh xạ liên tục Kết quả đầu tiên của hướng nghiên

cứu này do Kirk, Browder - Gohde công bố năm 1965

Năm 1994, Matthews đã đề xướng khái niệm metric từng phần (partial

metric) và không gian metric từng phần được định nghĩa như sau:

Năm 2005, Oscar Valero đã mở rộng Nguyên lý điểm bất động Banach

từ không gian metric sang không gian metric từng phần Kết quả được

công bố trong bài báo: "On Banach fixed point theorems for partial metric

spaces" đăng trên tạp chí Applied General Topology [3]

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động trên không gian

metric từng phần, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề

tài nghiên cứu: "Định lý điểm bất động Banach trong không metric từng

phần"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động Banach trong không gian metric từng

phần

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric từng phần, Định lý điểm bất động

Banach trong không gian metric từng phần

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric từng phần và điểm bất động trên lớp

không gian này dựa trên hai bài báo:

- "On Banach fixed point theorems for partial metric spaces" (2005) của

Oscar Valero [3];

- "Partial metric topology" (1994) của S G Matthews [4].

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức về giải tích hàm để phục vụ

cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động Banach trong không gian

metric từng phần

Luận văn gồm hai chương nội dung:

Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày

một số kiến thức cơ bản về không gian tôpô, không gian metric, không

gian metric đầy đủ cùng với ví dụ và phản ví dụ Cuối cùng, chúng tôi

trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach

Chương 2, Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric từng

phần Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niềm về metric từng

phần, sự hội tụ trong không gian metric từng phần Sau đó chúng tôi trình

bày về không gian metric từng phần đầy đủ, cơ sở lân cận trong không

gian metric từng phần Tiếp theo, chúng tôi trình bày về tựa metric, không

gian tựa metric và không gian tựa metric từng phần

Cuối cùng, chúng tôi trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach trong không

gian metric từng phần

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không

gian tôpô, cơ sở lân cận trong không gian tôpô, không gian metric, không

gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ minh họa

Cuối cùng chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach

1.1 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 [1] ChoX là một tập hợp khác rỗng, một họ τ các tậpcon của X thỏa mãn:

Thật vậy, hiển nhiên∅ ∈ τ, X ∈ τ và∅ ∪ X = X ∈ τ, ∅ ∩ X = X ∈ τ.

Ví dụ 1.1.2 Họ τ gồm tất cả các tập hợp con của X là một tôpô trên X

Định nghĩa 1.1.2 [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X

A được gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở G ∈ τ sao cho x0 ∈ Gvà

kiện trên thỏa mãn thì ta có thể xác định một tôpô duy nhất trên X, bằng cách xác định các tập mở sao cho với mỗix thì U (x)là tập hợp tất cả các lân cận của x Tập A ⊂ X là mở nếu ∀x ∈ A đều tồn tại U ∈ U (x) sao choU ⊂ A.

Một tập con V(x) của U (x) các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của xnếu với mỗi U ∈ U (x)đều tồn tại V ∈ U (x)sao cho V ⊂ U

Định nghĩa 1.1.3 [1] ChoX là một không gian vectơ trên trường K (thựchoặc phức) Một tôpô trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại sốcủa X nếu các phép toán cộng hai vectơ, nhân vô hướng với một vectơtrong X là liên tục

Ví dụ 1.1.3 R là không gian vectơ tôpô thực.

Chứng minh. Thật vậy R là không gian tuyến tính thực Họ các khoảngtrên R là một tôpô trên R (tôpô tự nhiên)

Phép cộng các số thực, phép nhân các số thực là liên tục nên tôpô tự nhiên

tương thích với cấu trúc đại số trên R Do đó R là không gian vectơ tôpôthực (hay không gian tuyến tính tôpô thực)

1.2 Không gian metric

Nhận xét 1.2.1 Cho(X, d) là một không gian metric Khi đó ta có:

3. |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), ∀x, y, u ∈ X.

Ví dụ 1.2.1 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, , xk),y = (y1, y2, , yk), thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó).

Ta đặt:

d (x, y) =

vuut

k

X

i=1

(xi− yi)2 (1.1)

Khi đó C[a,b], d
là một không gian metric.

Ví dụ 1.2.3 Cho tập hợpX 6= ∅ Với hai phần tử bất kìx, y ∈ X, ta đặt:

Nhận xét 1.2.3 Trong không gian metric(X, d), một hình cầu mở có tâm tại điểmx ∈ X, bán kính > 0 là

Bd(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < }

Metric d sinh ra một tôpô τ (d) trên X mà có cơ sở lân cận gồm một họ các hình cầu mở{Bd(x, ) : x ∈ X}.

Ta gọi τ (d)là tôpô sinh bởi metric d hay ngắn gọn là tôpô metric.

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho(X, d)là một không gian metric, dãy{xn}gồmcác phần tử trong X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X

Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian metric(X, d) Dãy {xn} ⊂ X được

gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu

lim

n,m→∞d (xn, xm) = 0

Tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xn, xm) < ε

Nhận xét 1.2.4 Cho(X, d)là một không gian metric Mọi dãy hội tụ trong

X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử (X, d) là một không gian metric, dãy {xn} ⊂ X là dãyhội tụ, tức là lim

n→∞xn = x0 Ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy

Vì lim

n→∞xn = x0 nên tồn tại số tự nhiênn0 sao cho

d(xn, x0) < ε

2, ∀n ≥ n0.d(xm, x0) < ε

Vậy{xn} là dãy Cauchy

Định nghĩa 1.2.4 [1] Không gian metric(X, d)gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.4 Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên[a, b],

kí hiệu C[a,b], với metric

d(x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y(t)|

là không gian metric đầy đủ.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn(t)} là một dãy Cauchy tùy ý trongkhông gian C[a,b]

Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0

thì

d(xn, xm) = max

a≤t≤b|xn(t) − xm(t)| < ε (1.2)Với mỗitcố định, dãy {xn(t)}là dãy số thực Cauchy, nên nó hội tụ tức làphải tồn tại giới hạn lim

n→∞xn(t).Giả sử

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b]

Vậy hàm số x(t)xác định trên [a, b]

Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi

m → ∞, ta được:

|xn(t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (1.3)

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy {xn(t)}hội tụ đều đến hàm số x(t)

trên[a, b] nên x(t) ∈ C[a,b]

Do đó dãy Cauchy{xn(t)}hội tụ đến x(t)trong không gian C[a,b]

Vậy không gianC[a,b] là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.2.5 Cho C[0,1]L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1] Khi đóC[0,1]L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định

Vậyd là một metric trên C[0,1]L Do đóC[0,1]L là một không gian metric.

Ta chứng minhC[0,1]L là không gian metric không đầy đủ

Thật vậy, với n ≥ 3xét dãy hàm {xn} ⊂ C[0,1]L như sau

Nếum ≥ n thì

d (xm, xn) =

1 2

Z

1 2

|m − n|

t − 12

dt +

1

2 + 1 n

Z

1

2 + 1 m

<

x1− x22

Lại có:

0 ≤

cosx1 + x2

2

≤ 1

Suy ra:

|T x1 − T x2| = |a sin x1− a sin x2|

= 2 |a|

...

Định lý 1.3.1 [1] Cho(X, d)là không gian metric đầy đủ vàT mộtánh xạ co trongX

Khi đó, tồn nhấtx∗ ∈ X mà T x∗ = x∗

Chứng minh. Lấy điểm. .. class="page_container" data-page="23">

1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach< /b>

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian metric< /b> (X, d), ánh xạ T : X → X

được gọi ánh xạ... x1,

Khi ta có dãy lặp xn+1 = T xn, với n = 0, 1, 2,

Theo định nghĩa ánh xạ co, ta có: d (x1, x2) = d (T x0, T x1)