Luận văn sư phạm Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Không gian Metric ..... Do đó, dãy xn là dãy Cauchy.

L I C M N

B n khóa lu n này đ c hoàn thành t i tr ng đ i h c S ph m Hà N i

2 d i s ch b o h ng d n t n tình c a th y giáo – ti n s Bùi Kiên C ng

Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y đã giúp đ em trong quá trình em h c

t p và hoàn thành b n khóa lu n: “Ánh x liên t c trong không gian Metric”

Em xin chân thành c m n các th y cô trong khoa Toán nói chung, các

th y cô trong t b môn gi i tích nói riêng đã t o đi u ki n t t nh t đ em

hoàn thành khóa lu n t t nghi p c a mình

L I CAM OAN

Khóa lu n t t nghi p này là nh ng nghiên c u c a em d i s h ng

d n t n tình c a th y giáo – Ti n s Bùi Kiên C ng Bên c nh đó em c ng

đ c s quan tâm , t o đi u ki n c a các th y cô trong khoa Toán – Tr ng

M C L C Trang

Ph n 1 M U 1

Ph n 2 N I DUNG CHÍNH 2

Ch ng 1 M t s khái ni m và k t qu v không gian Metric 2

§1 Không gian Metric 2

§2 S h i t Không gian đ 5

§3 T p h p m , t p h p đóng 8

Ch ng 2 Ánh x liên t c trong không gian Metric 13

§1 Ánh x liên t c 13

§2 nh lý m r ng 19

§3 Hàm th c và ph c liên t c 24

§4 S liên t c đ u………26

§5 Phép đ ng phôi, hai metric t ng đ ng vƠ phép đ ng c 32

§6 S h i t đ u c a dãy hƠm………35

Ch ng 3 Ánh x co và ng d ng 44

§1 Ánh x co 44

§2 ng d ng c a ánh x co………49

Ph n 3 K T LU N

TÀI LI U THAM KH O

M U

Gi i tích hàm là m t ngành Toán h c đ c xây d ng vào kho ng n a

đ u th k XX và đ n nay v n đ c xem nh m t ngành Toán h c c đi n

Trong quá trình phát tri n, Gi i tích hàm đã tích l y m t n i dung h t s c

phong phú; nh ng ph ng pháp và k t qu m u m c c a Gi i tích hàm đã

xâm nh p vào t t c các ngành Toán h c có liên quan Chính đi u đó đã m ra

ph m vi nghiên c u r ng l n cho các ngành Toán h c

V i mong mu n đ c tìm hi u và nghiên c u sâu h n v b môn này

và b c đ u ti p c n v i công vi c nghiên c u khoa h c, em đã ch n đ tài:

“ Ánh x liên t c trong không gian Metric ’’ trong khóa lu n t t nghi p c a

mình

N i dung khóa lu n g m có:

Ch ng 1: M t s khái ni m và k t qu v không gian Metric

Ch ng 2: Ánh x liên t c trong không gian Metric

Ch ng 3: Ánh x co và ng d ng

Nh s gi ng d y c a các th y cô trong khoa Toán, s c g ng h c t p nghiên c u c a b n thân và nh ng góp ý c a các b n sinh viên mà em đã có

đ ki n th c đ hoàn thành khóa lu n này Qua đây em xin g i l i c m n

chân thành và sâu s c t i các th y cô giáo và các b n sinh viên trong khoa

Toán, đ c bi t là TS Bùi Kiên C ng đã t n tình ch b o, giúp đ em trong

Hà N i, tháng 4 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th H ng M n

Ch ng 1

M t s khái ni m và k t qu v không gian Metric

§1.Không gian metric

M3: d x y ( , )  d x z ( , )  d z y ( , );  x y z , ,  X ( Tiên đ tam giác);

Ta g i là không gian metric, m t c p (X, d), trong đó X là m t t p h p g i là

t p h p n n và d là m t metric trong X Khi đó m t ph n t x  Xcòn đ c

g i là m t đi m và d(x, y) đ c g i là kho ng cách gi a hai ph n t x, y X

Th thì d là m t metric trong X và không gian metric (X, d) còn đ c g i là không gian metric r i r c

Th t v y, các tiên đ M1, M2 là hi n nhiên ki m tra M3, v i các ph n t

Trong không gian metric r i r c (X, d) (ví d 1.1.1) : Dãy ( xn) h i t

t i đi m a X khi và ch khi :

0( 1); n : ( d x an, ) ; n n

Rõ ràng v i metric đã cho trong không gian r i r c thì đi u này x y ra khi và

ch khi d x a ( n, )    0; n n 0 ; ngh a là xn    a ; n n 0 V y, trong không gian metric r i r c, m t dãy là h i t khi và ch khi là dãy d ng

Do đó, dãy ( xn) là dãy Cauchy

i u ng c l i không đúng Ch ng h n t p Q các s h u t là m t không gian metric v i metric xác đ nh b i (1.1.3) Tuy nhiên, dãy x p x g n đúng c a

2 : x1 1, 4; x2  1, 414, là dãy Cauchy trong Q, nh ng không h i t (trong Q)

M t không gian r i r c là không gian metric đ y đ

Th t v y, gi s ( xn) là m t dãy Cauchy trong không gian r i r c X Theo

đ nh ngh a thì v i m i 0    1t n t i s t nhiên n 0 sao cho:

Th t v y, gi s xn  x tn( ) là dãy Cauchy trong không gian C[a, b] Th thì

dãy hàm { ( )} x tn h i t đ u trên [a, b ] v m t hàm x t 0 ( ) trên [a, b] Theo tính

ch t c a dãy hàm h i t đ u thì hàm gi i h n x t 0 ( ) c ng là hàm liên t c trên

[a, b], suy ra xn  x0 trong không gian C[a, b]

Cho không gian metric (X, d), x A và r > 0

1.V i đi m b t kì x B(a, r), ta có d(x, a) < r t  = r – d(x, a)

Th thì   0 v i m i y  B x ( , )  ta có:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

d y a  d y x  d x a    d x a  r

Suy ra B x ( , )   B a r ( , )  x là đi m trong c a B( a, r) V y, B(a, r) là t p h p

m

2 V i b t kì x B’(a, r) thì d(x, a) > r, do đó  = d(x, a)- r > 0 và ta có ( , ) \ '( , ).

B x   X B a r

Th t v y, n u gi s ng c l i thì t n t i y  B x ( , )  sao cho d(y, a)  r

Khi đó : d(x, a)  d(x, y) + d(y, a) <  + r = d(x, a) là đi u phi lý Vì v y, x

là đi m trong c a X \ B’(a, r), suy ra X\ B’(a, r) là t p h p m , nên B’(a, r) là

lân c n c a đi m x, kí hi u là U(x, )

*Ta g i ph n trong c a t p h p A là t p h p t t c các đi m trong c a A kí

* B ng ngôn ng lân c n, ta có th nói: đi m x A là đi m trong c a t p

h p A n u t n t i m t lân c n (hay lân c n) U c a x, U A và n u U là lân c n c a đi m x thì x là đi m trong c a U

Ta có th phát bi u m t s tính ch t c b n c a ph n trong, bao đóng c a m t

t p h p trong không gian metric Ch ng minh c a các m nh đ này hoàn toàn

nh các m nh đ t ng ng trong không gian Tô Pô

Cho không gian metric X, F X

1 i m x  X là đi m dính c a t p h p F khi và ch khi t n t i m t dãy

( xn)  F sao cho xn  x n ; (   ).

2 T p h p F là đóng khi và ch khi v i m t dãy ( xn)  F ,xn  x n ;(   ) thì

.

x  F

(i)N u m t s d ng  tho mãn đi u ki n trên thì m i s   1  c ng

th a mãn i u này là hi n nhiên b i vì khi x  A và dX( , ) x a   1 c ng đúng

v i x  A và dX( , ) x a   Do đó, s  trên không t n t i duy nh t

(ii) Trong đ nh ngh a liên t c, ta đã không h n ch b t kì đi u gì v b n

ch t c a các mi n A c a hàm s Có th x y ra a là đi m cô l p c a A t c là

có m t lân c n c a a không ch a đi m nào khác c a A ngoài a Trong tr ng

h p này, hàm f liên t c t i a không phân bi t nó đ c xác đ nh nh th nào t i các đi m khác c a A Tuy nhiên, n u a là đi m gi i h n c a A và  x n là dãy

đi m trong A sao cho x n  x thì f x ( n)  f a 

    sao cho dX( , ) x an 1

n

 Nh ng dY( ( f xn), ( )) f a   Dãy  x n h i t t i a nh ng f x ( n) không h i t t i f(a)  mâu thu n

 gi s f không liên t c t i a là sai



   s   0 sao cho dY( ( ), ) f x b   v i x  A và0  dX( , ) x a  

*Chú ý: Trong đ nh ngh a gi i h n; đi m a X ch c n là đi m gi i h n c a

A mà không c n thu c A H n n a, n u a A; ta có lim ( ) ( )

x a f x f a

M nh đ 2.1.5:

Cho (X, dX) và (Y, dY); A; f và a đ c đ nh ngh a nh trên

Khi đó lim ( ) lim ( n)

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian Metric, AX Cho f:

AY và a là m t đi m gi i h n c a A Th thì f liên t c t i a khi và ch khi lim ( ) ( )

M t ánh x f c a không gian metric (X, dX) và không gian metric

(Y, dY) liên t c t i a  X  v i m i   0, t n t i s   0 sao cho

Vì G m nên   sao cho  0 S f x( ( ), ) G Vì f liên t c t i x, theo m nh

đ 2.1.8; v i  này t n t i s   sao cho 0

L y F là t p con đóng c a Y Th thì Y\F là t p m trong Y nên 1

thì X f\ 1( )F là m trong X nên f1( \Y F)X f\ 1( )F là m trong X Vì

m i t p con m c a Y đ u có d ng Y/F, v i F là t p đóng nên theo đ nh lý

(iii) N u (X, d) là không gian metric r i r c thì m i hàm f X :  Y v i

Y là không gian metric tu ý liên t c L y a và X S f a ( ), là m t hình

c u m Ch n   thì 1 S a( , )  a nên f S a ( , )   f a( )S f a ( ),

N u X và Y là nh ng không gian Metric, A  X và f A :  Y liên t c thì li u

có t n t i ánh x liên t c m r ng g c a f V n đ này g p nhi u trong gi i tích và đã thu hút s chú ý c a nhi u nhà Toán h c D i đây, ta đ a ra m t vài ph ng pháp m r ng đ n gi n

và f: A  Y Th thì f có m t ánh x liên t c m r ng g X :  Y khi và ch khi

Theo đ nh ngh a gi i h n;  s d ng ,  s  > 0 sao cho ( ) ( ),

§4: S liên t c đ u

nh ngh a 2.4.1:

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric M t ánh x f: X Y

đ c g i là liên t c đ u trên X n u v i m i   0t n t i s   0 (ch ph thu c

vào ) sao cho dY(f(x1),f(x 2))< v i dX(x1,x2) < v i  x1, x2 X

M i hàm f liên t c đ u trên X thì liên t c trên X Tuy nhiên, đi u ng c l i không đúng

4 1

1 ) 1 2 ( ) ( ) (

2 2

(ii) Cho A X, v i (X,d) là không gian metric nh ngh a

f(x)=d(x,A)=inf {d(x,y); yA}; xX Ta ch ng minh r ng f liên t c đ u trên

Theo ví d (ii) ta có 2 ánh x x d(x,A) và xd(x,B) liên t c trên X

Vì A, B là t p đóng và r i nhau nên theo m nh đ 2.4.3 ta có

d(x,A)+d(x,B)>0 v i xX.( Vì n u d(x,A)+d(x,B)=0 v i xX thì d(x,A)=d(x,B)=0 x A  Avà x B  B xAB mâu thu n)

Cho (X,dX) là không gian metric và A, B là hai t p con đóng r i nhau

c a X Khi đó t n t i t p m G, H sao cho AG, BH và GH=

N u f và g là hai ánh x liên t c l n l t t các không gian metric

(X,dX) vào (Y,dY) và (Y,dY) vào (Z,dZ) thì g0f là ánh x liên t c đ u t (X,dX) vào (Z,dZ)

Ch ng minh:

Vì g liên t c đ u nên v i    0 ,    0 sao cho dY(f(x),f(y))<

d ((g f)(x), (g f)(y))< v i f(x), f(y) Y

Vì f liên t c đ u nên v i   0 trên, s   0 sao cho dX(x,y)<

liên t c trên X Dãy {

)}n1={n}n1 không là dãy Cauchy trong Y Tuy nhiên, ánh x liên t c

đ u bi n dãy Cauchy thành dãy Cauchy

nh lý 2.4.8:

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric và f: XY liên t c đ u n u

{xn}n1 là dãy Cauchy trong X thì {f(xn)}n1là dãy Cauchy trong Y

nh lý 2.4.9:

Cho f là ánh x liên t c đ u c a t p A trù m t trong không gian metric

(X,dX) vào không gian metric đ y (Y,dY) Khi đó t n t i duy nh t ánh x liên

t c g: XY sao cho g(x)=f(x) v i m i xA H n n a, g liên t c đ u

Ch ng minh:

Vì f liên t c đ u nên v i m i xA là đi m gi i h n c a X, gi i h n c a

f(y) khi yx không ch t n t i trong Y mà còn b ng f(x) Do đó, theo đ nh lý 2.2.4 đ ch ng minh s t n t i và duy nh t c a ánh x liên t c

Vì {xn}n  1 h i t nên nó là dãy Cauchy, theo đ nh lý 2.4.8

{f(xn)}n1c ng là dãy Cauchy trong không gian metric đ y (Y,dY) nên nó

h i t t i m t gi i h n là b Xét dãy {x’n}n1trong A v i x’n x và lim 'n

ch ng minh g liên t c đ u, l y x, x’ X sao cho dX(x,x’)<

i u ki n (Y,dY) là không gian metric đ y không th thi u đ c

Th t v y, cho X= ฀ v i metric t nhiên và Y= ฀ ; t p s h u t v i metric

c m sinh t ฀ L y A= ฀ , hi n nhiên A là t p trù m t trên X

Hàm f: AY; f(x)=x; liên t c đ u nh ng nó không là m r ng liên t c

t i X vì ch có m t hàm h u t liên t c trên X= ฀ là hàm h ng

§5: Phép đ ng phôi, hai metric t ng đ ng vƠ phép

đ ng c

nh ngh a 2.5.1:

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric và song ánh f: XY

đ c g i là phép đ ng phôi khi và ch khi f và f-1

l n l t liên t c trên X và Y

Hai không gian metric X và Y g i là đ ng phôi v i nhau khi và ch khi

t n t i m t phép đ ng phôi gi a chúng Y đ c g i là đ ng phôi lên nh c a

X

N u X và Y là đ ng phôi v i nhau thì phép đ ng phôi gi a chúng bi n t p m

thành t p m Vi t X ~Y t c là X và Y là đ ng phôi v i nhau D dàng ki m tra đ c m i quan h gi a chúng là ph n x , đ i x ng, b c c u

đ ng phôi nh ng ng c l i không đúng Hai không gian đ ng c có cùng tính

ch t metric Vi t X ~Y t c là X và Y là đ ng c v i nhau D dàng ki m tra

x trên (X,d1) khi và ch khi nó h i t t i x trên (X,d2) Khi đó ta nói d1 và d2 là

hai metric t ng đ ng trên X và (X,d1), (X,d2) là hai không gian metric

t ng đ ng

Chú ý 2.5.6:

Hai metric d1 và d2 trên t p X  là t ng đ ng khi và ch khi các ánh

x đ ng nh t id: (X,d1)(X,d2) và id: (X,d2)(X,d1) đ u liên t c khi và ch

khi id: (X,d1)(X,d2) là phép đ ng phôi

x y







d2(x,y)= (

1

n

i i i

3  2 (ii) Cho X=Y=[0;1] v i metric c m sinh t R và fn(x)=xn v i 0   x 1

(Y,dY) và hàm f: XY Gi s fn h i t đ u t i f trên X và fn liên t c trên X

v i n=1,2…Th thì f liên t c trên X Hay gi i h n h i t đ u c a dãy hàm liên

t c là hàm liên t c

Ch ng minh:

L y x0 X tùy ý và   0 cho tr c Vì fn f đ u trên X nên  s n0

(ch ph thu c vào  ) sao cho v i m i x X ta có:

Cho {fn}n1 là dãy hàm xác đ nh trên không gian metric (X,dX) v i giá

tr trong không gian metric đ y (Y,dY) Khi đó t n t i hàm f: XY sao cho fn

h i t đ u trên X khi và ch khi v i m i   0,m t s nguyên n0 sao cho v i

nh ngh a 2.6.7:

Cho f1, f2,…là dãy hàm th c xác đ nh trên X Ta nói

1 n n

Vì th hàm f không liên t c, h i t không đ u theo h qu 2.6.9

f x  }

Hi n nhiên A và B khác , r i nhau và đóng trong Y ( N u xY là

đi m gi i h n c a A và {xn}n1là m t dãy trong A h i t t i x, f liên t c nên f(x)=f(lim n

n x

 )=lim ( )

3

n n

2 ( ) ( )

g x   Mv i  xX\Y;

2 ( ) ( ) ( )

3

n

n k

1

1 2 ( )

3 3

n n

1 2 ( ) ( ) ( )

3 3

n k

i u ki n f b ch n trên Y có th không ph thu c b i vi c xét hàm

liên t c b ch n tan-10f thay cho f M t ng d ng c a đ nh lý 2.6.13 v i M=

2d x y



(m-n-1

+ m-n-2

+ + 1)d(x1, x0)

Gi s {xn}n  1 là m t dãy trong không gian metric (X, d) b t kì và k là

m t s nguyên d ng sao cho v i m i k, dãy con : { xmk j m } 1;

i i i

Nguyên lý ánh x co đ c s d ng đ ch ra s t n t i v nghi m duy

nh t c a ph ng trình vi phân d ng : dy dx = f(x, y) th a mãn đi u ki n nào đó

Tr c h t, ta s ch r ng nghi m c a bài toán giá tr ban đ u là t ng

t  t dt

 v i xI

( t ph ng trình này ta suy ra  ph i liên t c)

M nh đ 3.2.2.3 :

M t hàm  là nghi m c a bài toán giá tr ban đ u (3.2) trên kho ng I

khi và ch khi nó là nghi m c a tích phân (3.3) trên I

Ch ng minh :

Gi s  là nghi m c a bài toán giá tr ban đ u (3.2) trên kho ng I V y

thì ’(t) = f(t,(t)) trên I (3.4)

Vì  liên t c trên I và f liên t c trên R, hàm F đ c đ n ngh a trên I b i

F(t) = f(t, (t)) liên t c trên I L y tích phân (3.4) t x0

th ,  là m t nghi m c a bài toán giá tr ban đ u (3.2)

Ta c ng c n m nh đ sau đ ch ng minh đ nh lý Picard

M nh đ 3.2.2.4 :

Cho X là t p ch a các ánh x liên t c t [a, b] vào [l, m] Vì th X là

không gian con c a không gian C[a, b] g m t t c các hàm th c hi n liên t c

xác đ nh trên [a, b] th thì X là không gian đ y

Ch ng minh :

Vì X C[a, b] và là không gian đ y, đi u đó đ đ ch ra r ng X là t p

con đóng c a nó Ti p đó, ta gi s r ng f C[a, b] là đi m gi i h n c a X và

Th thì X là không gian đ y theo m nh đ 3.2.4

M  t  t dt

   theo (3.6)  M (x - x0 ) d(1, 2)

Vì đi u trên đúng v i m i 1, 2 tùy ý X nên ta có th l p l i v i T1 và T2

0 1 2

x x

Trong đ nh lý trên đi u c n thi t là R b ch n đ  sup K V i tr ng

h p quan tr ng c a ph ng trình tuy n tính có th thay đ i R b i m t d i

đ ng vô h n và ch ra s t n t i duy nh t nghi m trên toàn b các kho ng t o

nên d i đó

nh lý 3.2.2.6 : ( nh lý Picard trên m t d i đ ng )

Cho f liên t c trên R = {(x, y) : xI} v i I là kho ng b ch n N u M

> 0 sao cho |f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 - y2| (3.8)

V i (x, y1) , (x, y2) R thì v i (x0, y0) R tùy ý,  nghi m duy nh t  trên I

sao cho : ’(x) = f(x, (x)) v i x I và (x0) = y0 (3.9)

Hàm  là gi i h n đ u c a dãy {n} các hàm liên t c trên I sao cho :