Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

Cho X là một không gian Metric tách được và µ là một độ đo trên X... 1.3 Tính chất Radon Bây giờ ta sẽ nghiên cứu một lớp nhỏ hơn các độ đo trên không gian Metric - Các độ đo chặt.. Các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI

———————————–

NGUYỄN THẾ LÂM

ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM

VÀ KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mục lục

1.1 Tính chính quy 1

1.2 Giá của một độ đo 2

1.3 Tính chất Radon 3

1.4 Độ đo hoàn hảo 4

1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo 6

1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo 12

1.7 Sự hội tụ của phân phối mẫu 19

2 Độ đo xác suất trên không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu 21

2.2 Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact 21

2.3 Một ước lượng của phương sai 30

2.4 Phân phối chia vô hạn 34

2.5 Tiêu chuẩn compact 40

2.6 Luật kết hợp 46

3 Độ đo xác suất trên C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu 51

3.2 Các độ đo xác suất trên C [0, 1] 52

3.3 Một điều kiện cho sự tồn tại một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo trong C[0, 1] 55

3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian 56

3.5 Phân bố của biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian 60

Tài liệu tham khảo 65

Lời mở đầu

Độ đo xác suất trên không gian metric là một lĩnh vực quan trọng của xác suấtthống kê Để giúp độc giả hiểu rõ hơn về độ đo, các tính chất của độ đo, vai tròcủa độ đo cũng như mối liên hệ của độ đo với các lĩnh vực toán học khác, tôi đãhoàn thành luận văn này

Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục tàiliệu tham khảo và phụ lục

Chương 1: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric

Chương 2: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian Hilbert

Chương 3: Trình bày về độ đo xác suất trên C[0,1]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.ĐặngHùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên -ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoahọc mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoànthành luận văn

Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện,những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn.Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tôingày một hoàn thiện hơn về chuyên môn Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới giađình và người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian làm luận văn.Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn của em đượchoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2013

Danh mục các ký hiệu

1 C (X): Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên X;

2 C [0, 1]: Không gian các hàm liên tục trên [0, 1];

3 Cµ: Giá của µ;

4 d (x, A) = inf

y∈Ad (x, y);

5 ¯µ là độ đo xác định bởi : ¯µ (A) = µ (−A);

6 µ (A): Độ đo của tập A;

7 |µ|2 := µ ∗ ¯µ;

8 ˆµ (y): Hàm đặc trưng của µ;

9 µα ⇒ µ: µα hội tụ yếu tới µ;

10 µ ∗ ν: Tích chập của µ và ν;

11 M (X): Không gian các độ đo xác suất trên X;

12 f|A: f hạn chế trên A;

13 W: Độ đo wiener

Định nghĩa 1.1 Cho µ là một độ đo trên không gian Metric X Một tập Borel

A ⊆ X được gọi là µ−chính quy nếu

µ (A) = supµ (C) : C ⊆ A, C đóng

= infµ (U ) : A ⊆ U, U mở Nếu mọi tập Borel là µ−chính quy ta nói rằng µ là chính quy

Định lý 1.1 Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo trong X Khi đómột tập A ∈BX là µ−chính quy khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại tập mở Uε vàtập đóng Cε sao cho:

Bởi vì φ, X vừa là tập đóng, vừa là tập mở ⇒ φ ∈ B, X ∈ B B là đóng đối vớiphép lấy phần bù Thật vậy , cho A ∈B và ε > 0 Khi đó tồn tại tập mở Uε ⊇ A

và tập đóng Cε ⊆ A sao cho µ(Uε− Cε) < ε Ta có

Uε0 ⊆ A0 ⊆ C0

ε, Cε0 − U0

ε = Uε− Cεµ(Cε0 − U0

Ai Cho ε > 0 cố định nhưng tùy

ý Do An ∈ B nên tồn tại tập mở Un,ε và tập đóng Cn,ε sao cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε

∞

T

n=1

Un Do µ(Un) → µ(C) ⇒ ∃n0 :µ(Un0 − C) < ε Lấy Cε = C, Uε= Un0 ⇒ µ(Uε− Cε) < ε

⇒ C ∈B

1.2 Giá của một độ đo

Định lý 2.1 Cho X là một không gian Metric tách được và µ là một độ đo trên

X Khi đó tồn tại duy nhất một tập đóng Cµ thỏa mãn:

i) µ(Cµ) = 1,

ii) Nếu D là tập đóng nào đó sao cho µ(D) = 1 thì Cµ ⊆ D Hơn nữa Cµ là tậptất cả các điểm x ∈ X sao cho µ(U ) > 0 với mọi tập mở U chứa x

Chứng minh ĐặtU ={U:U mở,µ (U) = 0} Bởi vì X là tách được ⇒ có nhiều đếmđược các tập mở U1, U2, sao choS

Định nghĩa 2.1 Tập đóng Cµ trong định lí 2.1 được gọi là giá của µ

Hệ quả 2.1 Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo trên X sao chovới E ⊆ X, E là tập Borel tách được, µ(X − E) = 0 Khi đó µ có một giá táchđược và Cµ ⊆ E

1.3 Tính chất Radon

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu một lớp nhỏ hơn các độ đo trên không gian Metric - Các

độ đo chặt Các độ đo chặt được xác định bởi các giá trị của chúng đối với các tậpcompact

Định nghĩa 3.1 Một độ đo µ trên một không gian Metric X được gọi là chặt nếu

∀ε > 0 tồn tại một tập compact Kε ⊆ X sao cho µ(X − Kε) < ε

Định lý 3.1 Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo chặt trên X Khi

đó µ có một giá tách được và với tập Borel bất kì E và ε > 0 nào đó, có một tậpcompact Kε ⊆ E với µ(E − Kε) < ε

Chứng minh Giả sử Kn là một tập compact sao cho µ(X − Kn) < n1 Một tậpcompact trong một không gian metric là tách được và do đó S

n

Kn là tách được.Nếu E0 =S

n

Kn ⇒ µ(E0) = 1 Do đó khẳng định thứ nhất được suy ra từ hệ quả2.1 Bây giờ giả sử E ∈BX Theo định lí 1.2, tồn tại một tập đóng Cε⊆ E sao choµ(E − Cε) < ε2 Với N đủ lớn, µ(X − KN) < ε2 Đặt Kε = Cε∩ KN Bởi vì Cεđóng ,

Kεcompact Hơn nữa, Kε ⊆ Cε ⊆ E µ(E −Kε) ≤ µ(E −Cε)+µ(X −KN) < ε

Bổ đề 3.1 Cho X là một không gian Metric đủ và K ⊆ X, K- đóng Giả sử vớimỗi n, tồn tại một số nguyên kn sao cho K ⊆

k n

S

j=1

Snj , Snj là hình cầu đóng bánkính n1 trong X Khi đó K là compact

Định lý 3.2 Cho X là một không gian metric tách được thỏa mãn tồn tại mộtkhông gian metric tách được, đủ X sao cho X được chứa trong∼

∼

X như một tập contôpô và X là một tập con Borel của X Khi đó mọi độ đo µ trên X là chặt Đặc∼biệt nếu X là một không gian metric tách được, đầy đủ thì mọi độ đo trên X làchặt

Chứng minh Giả sử X ⊆X ,∼

∼

X là không gian metric tách được, đầy đủ và X làmột tập con borel của X Cho trước một độ đo µ trên∼ BX Ta định nghĩaµ trên∼lớp B∼

X bằng cách đặt

∼

µ(A) = µ(∼ A ∩X),∼ A ∈∼ B∼

X.Bởi vì X ∈ B∼

X ⇒ ˜µ ˜X − X

= 0 Suy ra ∼µ là một độ đo chặt trên X Thực∼vậy, giả sử điều này đã được thiết lập Bởi vì X là một tập borel trong X ⇒∼

∀ε > 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact trong X sao cho∼ ∼µ(X − Kε) < ε (định lí 3.1)

Kε cũng là compact trong X bởi vì X là một tập con tôpô của X Hơn nữa∼µ(X − Kε) =∼µ(X − Kε) < ε Điều này chỉ ra rằng µ là chặt Do đó ta có thể giảđịnh rằng X là một không gian metric tách được, đầy đủ Chọn và cố định ε > 0.Giả sử d là khoảng cách trong X Với số nguyên n bất kì, hình cầu bán kính n1 baoquanh mỗi điểm thiết lập một cái phủ của X Bởi vì X là tách được, ta có thể tìmthấy nhiều đếm được Sn1, Sn2, sao cho X =S

j

Snj Rõ ràng X =S

j

Snj và do đótồn tại một số nguyên kn sao cho

1.4 Độ đo hoàn hảo

Định nghĩa 4.1 Một không gian với độ đo (X,B, µ) được gọi là hoàn hảo nếuvới hàm f nhận giá trị thực B- đo được bất kì và tập A bất kì trên đường thẳngthực sao cho f−1(A) ∈B có các tập borel A1 và A2 trên đường thẳng thực sao cho

A1 ⊆ A ⊆ A2 và µf−1(A2− A1) = 0

Bổ đề 4.1 Cho X là một không gian metric và µ là một độ đo trên X Nếu f làhàm đo được borel bất kì trên X và ε > 0 tùy ý thì tồn tại một tập đóng Cε sao cho:

i)µ(X − Cε) ≤ ε;

ii)f|C ε là liên tục

Chứng minh Cho {fn} là một dãy các hàm đơn giản hội tụ theo từng điểm tới

f Cho trước ε > 0 , theo định lí Egoroff tồn tại một tập borel E ⊆ X sao choµ(X − E) < ε2 và fn hội tụ đều đến f trên E Bởi vì fn là đơn giản trên E, ta có thểviết fn =

∞

T

n=1

Cn ⇒ Cε đóng.Hơn nữa

Bổ đề 4.2 Cho X là không gian metric bất kì và µ là một độ đo chặt trên X Nếu

f là một hàm đo được và ε > 0 thì tồn tại một tập compact Kε sao cho:

i)K1 ⊆ K2 ⊆ , Kn− compact, f|Kn liên tục và µ(X − Kn) → 0,

∼

Kn) = 0, µ(E − f−1(A1)) = 0

1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo

Ở đây ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo Cho X

là một không gian metric và C(X) là không gian các hàm thực liên tục và bị chặntrên X Với f ∈ C(X), ta kí hiệu kf k = Sup

x∈X

|f (x)| ⇒ (C(X), k.k)−không gianBanach

Định nghĩa 5.1 Một phiếm hàm tuyến tính ∧ trên C(X) là một ánh xạ

∧ : C(X) → R

f 7→ ∧(f )sao cho ∧(αf + βg) = α ∧ (f ) + β ∧ (g) với mọi hằng số α, β, với mọi f, g ∈ C(X)Một phiếm hàm tuyến tính ∧ được gọi là dương nếu ∧(f )> 0 ∀f > 0

Chú ý rằng nếu ∧ là một phiếm hàm tuyến tính dương thì ∧(f ) 6 ∧(g),

∀f 6 g

Kí hiệu 1 là hàm nhận giá trị 1 mọi nơi Cho trước độ đo µ bất kì trên X , mộtphiếm hàm ∧µ : g →R gdµ dễ thấy là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C(X)với ∧µ(1) = 1 Trong phần này ta sẽ chứng minh rằng khi X là compact mọi phiếmhàm tuyến tính dương có thể được tạo ra theo nghĩa này Từ giờ trở đi ta sẽ xétmột phiếm hàm tuyến tính dương cố định ∧ trên C(X) với ∧(1) = 1 X là mộtkhông gian metric F0: lớp tất cả các tập con đóng của X, G0: lớp tất cả các tậpcon mở của X

∧(f h) + ∧(f (1 − h)) > λ(C1) + λ(C2) ⇒ λ(C1 ∪ C2) ≥ λ(C1) + λ(C2) v) là hiểnnhiên.

Bây giờ ta định nghĩa cho tập mở bất kì G

τ (G) = Sup{λ(C) : G ⊇ C ∈F0} Định lý 5.2 τ là một hàm được định nghĩa tốt trên G0 và có các tính chất sau:i) 06 τ (G) 6 1 ∀G ∈ G0;

Chứng minh Bởi vì 0 6 λ(C) 6 1 ∀C ∈ F0 ⇒ τ là được định nghĩa tốt và

0 6 τ (G) 6 1 ∀G ⇒ i) ii) và iv) là hiển nhiên (tầm thường)

Chứng minh iii) : Ta chỉ cần chứng minh với N = 2

Cho G1, G2 là hai tập mở và C ⊆ G1∪ G2 ⇒ C − G1 và C − G2 là các tập đóngrời nhau Do đó tồn tại các tập mở

Bây giờ ta định nghĩa cho tập A ⊆ X bất kì, µ∗(A) = inf{ τ (G):A ⊆ G } Định lý 5.3 µ∗ là một hàm được định nghĩa tốt trên lớp tất cả các tập con của X

Chứng minh i), ii) và iii) là tầm thường

iv): Chọn Gj ⊇ Aj sao cho τ (Gj) 6 µ∗(Aj) + Nε

Cho trước ε > 0 ⇒ tồn tại f ∈ C(X) sao cho f ≥ χC và ∧(f )6 λ(C) + ε2

Với số γ bất kì thỏa mãn 0 < γ < 1, kí hiệu Gγ = { x:f(x) > γ}

Vậy λ(C) = µ∗(C)

Định lý 5.5 Nếu G là tập mở bất kì thì với tập A ⊆ X bất kì,

µ∗(A) > µ∗(G ∩ A) + µ∗(G0∩ A)

Chứng minh Cho G1 là tập mở bất kì sao cho A ⊆ G1 Cho tập đóng C1 ⊆ G ∩ G1

sao cho λ(C1) > τ (G ∩ G1) − ε và cho C2 là một tập con đóng của G1− C1 sao choλ(C2) > τ (G1− C1) − ε Bởi vì C1 và C2 rời nhau

Với độ đo cộng tính hữu hạn bất kì µ (µ(X) = 1) trênAX ta định nghĩa tínhkhả tích và tích phân của một hàm đúng như trong trường hợp của một độ đo thôngthường Ta xét sự phân hoạch của toàn bộ không gian thành các tập thuộc vào

AX và thiết lập các tổng Darboux trên và dưới Nếu infimum của tất cả các tổngDarboux trên bằng Supremum của tất cả các tổng Darboux dưới thì hàm được gọi

là khả tích Mỗi hàm nhận giá trị thực, bị chặn thỏa mãn f−1((a, b]) ∈AX ∀(a, b]

có thể được xem là khả tích Đặc biệt các hàm liên tục, bị chặn là khả tích Tíchphân của f theo µ được kí hiệu : R f dµ

Định lý sau cho ta các tính chất của tích phân:

∧(f ) =

Z

f dµ, f ∈ C(X)

Ngược lại, nếu µ là một độ đo cộng tính, hữu hạn trênAX thì ánh xạ ∧ : f →R f dµ

là không âm, tuyến tính và ∧(1) = 1

Chứng minh Cho µ là độ đo cộng tính hữu hạn đạt được bằng cách hạn chế µ∗trên AX , µ∗ được định nghĩa như trong định lí 5.3 Cho f là hàm bất kì trongC(X) sao cho 0 6 f 6 1 Trước hết ta sẽ thiết lập ∧(f ) > R

X

f dµ Để hoànthành điều này ta cho n là số nguyên bất kì và đặt Gi = { x:f(x) > ni} Khi

đó G0 ⊇ G1 ⊇ ⊇ Gn = ∅ Cho φi là hàm liên tục trên khoảng đơn vị [0, 1]sao cho φi(t) =

i

Λ (fi)

!

≥ 1nX

G 1

f dµ − 1

nµ (G1)

≥Z

Nếu f là hàm bất kì trên C(X) ta có thể tìm thấy một hằng số ´c sao cho f + ´c > 0,

Bây giờ ta giả sử rằng ν là độ đo cộng tính , hữu hạn chính quy khác trong AX

sao cho ∧(f ) =R f dν Khi đó ta cóR f dµ =R f dν ∀f ∈ C(X) Cho C là tập đóngbất kì Vì µ và ν là chính quy, ta có thể tìm thấy hai dãy Gn và Hn các tập mởsao cho G1 ⊇ G2 ⊇ và H1 ⊇ H2 ⊇ , C được chứa trong tất cả Gi và Hi và

lim

n→∞µ(Gn) = µ(C),lim

n→∞ν(Hn) = ν(C)Nếu đặt Un= Gn∩ Hn thì rõ ràng

lim

n→∞µ(Un) = µ(C)lim

n→∞ν(Un) = ν(C)Theo định lí 1 (Phụ lục) , ta có thể xây dựng một hàm liên tục fn sao cho

U n −C

fndµ6 µ(Un− C) = µ(Un) − µ(C), R

U n −C

fndν 6 ν(Un− C) = ν(Un) −ν(C)

Cho n → ∞, ta được µ(C) = ν(C) Vì C là một tập đóng tùy ý và µ và ν là chínhquy ⇒ µ = ν Phần cuối của định lí dễ dàng chứng minh được từ tính chất củatích phân đã được đề cập

Định lý 5.9 Cho X là một không gian metric compact và ∧ là một phiếm hàmtuyến tính không âm trên C(X) với ∧(1) = 1 Khi đó tồn tại duy nhất một độ đotrên BX sao cho ∧(f ) = R f dµ, f ∈ C(X)

Chứng minh Thật là đủ để chứng minh rằng hàm tập µ∗ của định lí 5.3 là một

độ đo ngoài Khi đó định lí sẽ suy ra từ định lí 5.5 Do đó ta chỉ phải chỉ ra rằng

Từ chứng minh của định lý 5.7, rõ ràng nếu µ và ν là 2 độ đo vàR f dµ = R f dνvới mọi f ∈ C (X) thì µ = ν

Định lý 5.10 Cho X là một không gian metric, U(X) là không gian các hàm liêntục đều, nhận giá trị thực và bị chặn và µ và ν là hai độ đo sao choR f dµ=R f dν

∀f ∈ U (X) Khi đó µ = ν

Chứng minh Cho C là tập đóng bất kì và Gn = x : d (x, c) < 1

n ⇒ Gn là mở(Định lí 2-Phụ lục) và

1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo

Cho X là một không gian metric và M(X) là không gian các độ đo trên BX Mộtphần tử µ ∈M(X) là một hàm tập không âm, cộng tính đếm được, được xác địnhtrên BX với µ(X) = 1 C(X) là không gian các hàm thực , liên tục và bị chặn trênX

Xét họ các tập có dạng

Vµ(f1, f2, , fk; ε1, , εk) = { ν:ν ∈ M(X), R fidν −R fidµ < εi,i = 1,2, ,k} ,

với f1, f2, , fk là các phần tử của C(X) và ε1, ε2, , εk là các số dương Thật là dễ

để thử lại rằng họ các tập đạt được bằng cách thay đổi k, f1, f2, , fk ,ε1, ε2, , εkthỏa mãn các tiên đề của một cơ sở cho một tôpô Ta sẽ đề cập tới điều này nhưtôpô yếu trongM(X)

Ta thấy rằng một lưới {µα} các độ đo hội tụ yếu tới một độ đo µ nếu và chỉ nếu

R f dµ α →R f dµ ∀f ∈ C(X), kí hiệu µα ⇒ µ Trừ khi được phát biểu cách khác ,M(X) sẽ luôn được xem như một không gian tôpô với tôpô yếu

Trước hết ta sẽ chứng minh một định lí mà cho ta vài định nghĩa tương đương vềtôpô yếu

Định lý 6.1 Cho µα là một lưới trongM(X) Khi đó các khẳng định sau là tươngđương:

(a) µα ⇒ µ;

(b) lim

α R gdµ α =R gdµ ∀g ∈ U (X), U(X) là không gian các hàm liên tục đều, nhậngiá trị thực và bị chặn;

(c) limαµα(C) 6 µ(C), với mọi tập đóng C;

(d) limαµα(G) > µ(G), với mọi tập mở G;

(e) lim

α µα(A) = µ(A), với mọi tập borel A mà biên của A có µ− độ đo 0

Chứng minh Vì U (X) ⊆ C(X) nên a ⇒ b Bây giờ ta sẽ chứng minh b ⇒ c.Cho C là tập đóng bất kì và Gn = { x:d(x,C) < 1n} với d(x, C) = inf

y∈Cd(x, y) Khi

đó C và G0n là các tập đóng rời nhau sao cho inf

x∈C,y∈G 0

n

d(x, y) > 1

n Do đó theođịnh lí 1 (Phụ lục), tồn tại hàm fn ∈ U (X) sao cho 0 6 fn 6 1, fn(x) = 1 với

x ∈ C, fn(x) = 0 với x ∈ Gc

n Hơn nữa G1 ⊇ G2 ⊇ và ∩ Gn = C Do đólimαµα(C) 6 limαR fndµα =R fndµ 6 µ(Gn)

Cho n → ∞ ⇒ limαµα(C) 6 µ(C) (c) ⇔ (d) là hiển nhiên bởi vì các tập mở làphần bù của các tập đóng và ngược lại, và toàn bộ không gian có độ đo là 1 vớimọi độ đo Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng (c) và (d) ⇒ (e) Kí hiệu A là bao đóng của

A và A là phần trong của A Khi đó0

0

A ⊆ A ⊆ A A là đóng và

0

A là mở Giả sửµ(A −A) = 0 Khi đó0

(e) ⇒ (a) Cho g là phần tử bất kì của C(X) và lim

α µα(A) = µ(A) với mọi tậpborel A sao cho µ(A −A) = 0.0

Kí hiệu µg là độ đo trên đường thẳng thực xác định bởi µg(E) = µ{ x:g(x) ∈ E}với tập borel E bất kì trên đường thẳng thực Bởi vì g là một hàm bị chặn µg tậptrung trong một khoảng bị chặn(a,b) Độ đo µg có thể có nhiều nhất một số đếmđược các chất điểm Do đó , cho trước ε > 0 ta có thể tìm thấy các số t1, , tm saocho

Với mỗi điểm x ∈ X , kí hiệu px : độ đo suy biến tại x

Bổ đề 6.1 X đồng phôi với tập con D = { px:x ∈ X}

Chứng minh Với điểm x bất kì và g ∈ C(X) ta có R gdpx = g(x) Nếu xα → x0thì g(xα) → g(x0) Do đó pxα ⇒ px0 Ngược lại cho pxα ⇒ px0 Nếu xα không hội

tụ tới x0, có một tập mở G và một lưới con xβ sao cho x0 ∈ G và xβ ∈ X − G ∀β.Cho g là một hàm liên tục sao cho 06 g 6 1, g(x0) = 0 và g(x) = 1, x ∈ X − G.Khi đóR gdpxβ = 1 trong khi R gdpx 0 = 0 (mâu thuẫn)

Bổ đề 6.2 D là một dãy các tập con đóng của M(X)

Chứng minh Cho {xn} là một dãy các điểm trong X sao cho px n ⇒ q Giả sử {xn}không có dãy con hội tụ nào.Khi đó tập S = {x1, x2, } là đóng và do đó mọi tập

C ⊆ S là đóng Bởi vì pxn ⇒ q ,theo định lý 6.1 ta có q (C) ≥ limpxn(C) với C ⊆ S

Do đó với mỗi tập con vô hạn S1 ⊆ S, q (S1) = 1, Điều này là vô lý do q là một độ

đo Do đó có 1 dãy con {xnk}, xnk → x Theo bổ đề 6.1, q = px Do đó D là dãycác tập đóng

Bổ đề 6.3 Nếu X là một không gian mêtríc hoàn toàn bị chặn thì U (X) là mộtkhông gian Banach tách được với chuẩn Sup

Định lý 6.2 M(X) là không gian metric tách được ⇔ X là không gian metrictách được

Định lý 6.3 Cho X là một không gian metric tách được và E ⊆ X Khi đó tậptất cả các độ đo mà có giá là tập con hữu hạn của E là trù mật trong M(X).Chứng minh Tập hợp các độ đo có giá là tập con hữu hạn của X là trù mật trongM(X) Ta sẽ ký hiệu lớp các độ đo như thế là F (X) Rõ ràng độ đo bất kỳ tậptrung trong 1 tập con đếm được của X là một giới hạn yếu của các độ đo từ F (X)

Do đó thật là đủ để chứng minh rằng,độ đo bất kỳ là giới hạn yếu của các độ đo màtriệt tiêu ở bên ngoài các tập con đếm được của X Chọn và cố định µ ∈M(X) Bởi

vì X là tách được, với mỗi số nguyên n, ta có thể viết X =S

j

Anj, Anj ∩ Ank = φnếu j 6= k, Anj ∈BX ∀n, j và đường kính của Anj ≤ 1

n ∀j Cho xnj tùy ý ∈ Anj.Cho µn là độ đo với khối lượng µ Anj
lần lượt tại các điểm xnj Cho g ∈ U (X)tùy ý, đặt :

P R

Anj

g − g xn j

dµ

cho g1 ≡ 1, kgnk ≤ 1 và {gn} trù mật trong hình cầu đơn vị bao quanh 0 trong

C (X)

Cho T là ánh xạ µ →R g1dµ,R g2dµ, Khi đó T ánh xạ M(X) vào không gian

I∞-Tích đếm được của các khoảng [−1, 1] I∞ là một không gian metric compact

T là một đồng phôi từM(X) vào I∞ Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng T (M (X)) làmột tập con đóng của I∞ Giả sử {µn} là một dãy các độ đo sao cho T (µn) hội tụtới (α1, α2, ) trong I∞ Cho g là hàm bất kỳ thuộc hình cầu đơn vị của C (X).Khi đó tồn tại một dãy gkr sao cho kgkr − gk → 0 khi r → ∞ Ta có:

Zfd˜µn− fd˜µ



≤ 2ε

Cho ε → 0 ⇒ điều phải chứng minh

1.7 Sự hội tụ của phân phối mẫu.

Mục đích của phần này là để chứng minh trong trường hợp không gian metric làtách được, một sự khái quát của bổ đề Glivenko-Cantelli, cái bổ đề mà khẳng định

sự hội tụ đều của phân phối mẫu của đường thẳng thực

Cho (Ω, S, P ) là một không gian xác suất, tức là Ω là không gian nào đó, S là một

σ - trường các tập con của Ω, P là một độ đo (P (Ω) = 1) trên S Cho ξ1, ξ2, làmột dãy các ánh xạ đo được được phân bố đồng nhất và độc lập từ Ω vào mộtkhông gian metric tách được X Điều này có nghĩa rằng:

1 P (ξn−1(An)) , ∀k và với mọi tập Borel

A1, A2, , Ak được chứa trong X Hơn nữa, tồn tại một độ đo µ trên X sao cho

P [ξn−1(A)] = µ (A) , ∀A ⊂ X, A-Borel, ∀n Với ω ∈ Ω, ký hiệu µω

n là độ đo có khốilượng 1n tại mỗi trong n điểm ξ1(ω) , , ξn(ω) µω

n được gọi là phân phối mẫu của

µ dựa trên n ánh xạ ngẫu nhiên ξ1, , ξn tại ω

Định lý 7.1 Cho ξ1, ξ2, là các ánh xạ ngẫu nhiên được phân bố độc lập và đồngnhất từ Ω vào một không gian metric tách được X và µ là độ đo cảm sinh thôngthường Cho µω

n là phân phối mẫu dựa trên ξ1, ξ2, ξn tại ω

r

Ngr thì P (N ) = 0 và ω ∈ Ω − Nchỉ ra rằng R grdµωn → R grdµ với mỗi r Định lí cũng chỉ ra rằng µωn ⇒ µ với

ω ∈ Ω − N Điều này hoàn thành chứng minh

Chương 2

Độ đo xác suất trên không gian Hilbert

2.1 Giới thiệu

Cho X là một không gian Hilbert tách được thực, (x, y) -Tích trong giữa x và y,

x ∈ X, y ∈ X, kxk - Ký hiệu chuẩn của x Với phép cộng véc tơ và chuẩn X trởthành một nhóm aben metric tách được, đủ Ký hiệu M(X) là không gian các độ

đo xác suất hoặc các phân phối trên X Sự hội tụ trong M(X) luôn hàm ý sự hội

tụ yếu

2.2 Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact

Định nghĩa 2.1 Với 2 độ đo bất kỳ µ và ν, tích chập µ ∗ ν được xác định nhưhàm tập hợp:

µ ∗ ν (A) =

Z

µ (A−x)dν (x) , A ∈ BX.Định nghĩa 2.2 Với mỗi µ ∈ M(X), hàm đặc trưng của nó ˆµ (y) , y ∈ X đượcxác định bởi công thức :

ˆ

µ (y) =R ei(x,y)dµ (x)Các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng được cho bởi định lí sau đây:Định lý 2.1

(1) ˆµ (y) là liên tục đều trong tôpô chuẩn

(2) Nếu ˆµ1(y) = ˆµ2(y) ∀y ∈ X thì µ1 = µ2.

(3) (µ ∗ λ)∧(y) = ˆµ (y) ˆλ (y) ∀y ∈ X và µ, λ ∈M(X)

ei(x,y1 )− ei(x,y 2 )

dµ (x)

=

Z

1 − ei(x,y1 −y2)

dµ (x)

= 4

Zsin2 1

2(x, y1− y2) dµ (x) Cho ε > 0 cố định nhưng tùy ý Khi đó ta có thể chọn một hằng số dương k saocho µ {x : kxk > k} < ε

√ ε

k , ta có:

|ˆµ (y1) − ˆµ (y2)| ≤ 5ε

Điều này chỉ ra rằng ˆµ (y) là liên tục đều

Để chứng minh (2) ta chọn hệ tọa độ nào đó, tức là, một dãy {ei} các véctơ trựcchuẩn đầy đủ trong X Ta ký hiệu xi là tọa độ thứ i của véctơ x, xi = (x, ei).Khi đó không gian X là đẳng cấu với không gian l2 của các dãy số thực (x1, x2, )sao cho P x2

i < ∞ Đặt ϕ(j)n (y1, , yn) = ˆµj(y1e1+ + ynen) , j = 1, 2 Nếuˆ

µ1(y) = ˆµ2(y) , ∀y ∈ X, thì trong trường hợp đặc biệt, ˆµ1(y1e1+ + ynen) =ˆ

µ2(y1e1+ + ynen), với mọi số thực y1, , yn và n µ1 và µ2 cảm sinh ra các độ

đo ˜µ1 và ˜µ2 trong l2, thông qua phép đẳng cấu chính tắc tương ứng với cơ sở {ei}.Khi đó các hàm ϕ(1)n (y1, , yn) và ϕ(2)n (y1, , yn) lần lượt là các hàm đặc trưng củacác phân phối hữu hạn chiều ˜µ1 và ˜µ2, cái mà được cảm sinh bởi phép chiếu(x1, x2, ) → (x1, x2, , xn)

Do đó ˜µ1 = ˜µ2 Điều này chỉ ra rằng µ1 = µ2 Các tính chất (3) và (4) là hiểnnhiên từ tính song tuyến tính của tích trong

Bổ đề 2.1 Nếu một dãy {µn} , µn ∈ M(X), n = 1, 2, là compact có điều kiện

và ˆµn(y) → ϕ (y) khi n → ∞ với mỗi y ∈ X, khi đó tồn tại µ ∈ M(X) sao choˆ

µ (y) = ϕ (y) và µn ⇒ µ

Chứng minh Giả sử dãy {µn} không hội tụ Khi đó tồn tại 2 dãy con Z1 và Z2 lầnlượt hội tụ tới µ1 và µ2, µ1 6= µ2.

Theo định nghĩa về sự hội tụ yếu, ∀y ∈ X,

lim

n,µ n ∈Z i

ˆ

µn(y) = ˆµi(y) , i = 1, 2Theo điều kiện của bổ đề

Một điều kiện đủ cho tính compact được thể hiện trong định lí sau

Định lý 2.2 Một tập X ⊆M (X) là compact có điều kiện nếu

Theo định lí 6.7, chương 1 suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.3 µ ∈M (X) sao cho R kxk2

dµ < ∞ Khi đó toán tử hiệp phươngsai S của µ là toán tử Hecmit được xác định duy nhất bởi dạng toàn phương

(Sy, y) =

Z(x, y)2dµ (x)

Định nghĩa 2.4 Một toán tử Hecmit nửa xác định dương A được gọi là một S-toán

tử nếu nó có hữu hạn vết, tức là với cơ sở trực chuẩn {ei} nào đó,

∞

P

1

(Sei, ei) < ∞.Trong một trường hợp như thế bất đẳng thức cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 2.5 Một họ {Sα} các S-toán tử được gọi là compact nếu các điềukiện sau được thỏa mãn:

(Sαei, ei) = 0 với dãy trực chuẩn đầy đủ e1, e2,

Khi S là toán tử hiệp phương sai của một độ đo µ ∈M (X)

Chứng minh Trước tiên, ta sẽ chứng minh điều kiện cần Ở đây R là ký hiệu phầnthực Giả sử X là compact có điều kiện Theo định lí 6.7 chương I ta có thể tìmđược một tập compact K ⊆ X sao cho

Sup

µ∈X

µ (K0) < ε

2.

K

[1 − cos (x, y)]dµ + ε

≤ 12Z

Để chứng minh điều kiện đủ ta sử dụng 2 bổ đề sau:

Bổ đề 2.2 Để X ⊆M (X) là compact có điều kiện, hai điều kiện sau là đủ:(a) Với mỗi N,

lim

N →∞Sup

µ∈X

JN(µ) = 0,Với JN(µ) =R 1 − exp −1

2r2

N(x)
dµ, xi = (x, ei) và {ei} là một dãy trực chuẩn

cố định

Chứng minh : Cho trước ε > 0, δ ≤ 1 Với 0 ≤ δ ≤ 1, 1 − e−δ ≥ δ

JN (µ) ≤ ε.δ

2

16, µ ∈ X (2.2)Bất đẳng thức (2.1) và (2.2) chỉ ra µnx : r2

Ở đó JN,P ( ) = (2π)−2 R

P lan

R ( )exp −1

2r2 N,P (y)
dyN dyN +P −1

Định lý 2.4 Để một hàm ϕ (y) , y ∈ X là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất

µ, hai điều kiện sau là cần và đủ:

(i) ϕ (0) = 1, ϕ (y) là xác định dương theo y;

(ii) ϕ (y) là liên tục trong S-Tôpô

Chứng minh : Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ

Ta chọn và cố định một cơ sở trực chuẩn {ei} Bởi vì S-tôpô là yếu hơn tôpô chuẩn

Do đó ϕ (y) liên tục trong tôpô chuẩn

Đặt ψn(y1, y2, , yn) = ϕ (y1e1+ + ynen).Khi đó ψn(y1, y2, , yn) là một hàmxác định dương, liên tục theo n biến thực Do đó theo định lí 3 (phụ lục), tồn tạimột độ đo xác suất ˜µn trên không gian véctơ thực n - chiều sao cho

ψn(y1, y2, , yn) =

Zexp [i (x1y1+ + xnyn)]d˜µn(x1, , xn)

Bây giờ ta hãy xác định độ đo xác suất trong X Giả sử Xn là không gian con sinhbởi các véc tơ e1, e2, , en Khi đó ˜µn có thể được xem như một độ đo trong Xn vàđiều này cho phép ta xác đinh một độ đo µn trong X như sau:

µn(A) = ˜µn(A ∩ Xn) Khi đó ta có

ˆ

µn(y) =

Zexp [i (x, y)]dµn=

n−N +1lan

Z[1 − Rϕ (yNeN + + ynen)]

Cho ε > 0 tùy ý, theo giả thiết tồn tại một S-toán tử Sε sao cho 1 − Rϕ (y) < ε

∀y thỏa mãn (Sεy, y) < 2 Bởi vì 1 − Rϕ (y) ≤ 2, ∀y ∈ X nên 1 − Rϕ (y) <(Sεy, y) + ε, ∀y

Do đó theo định nghĩa của J, ta có:

≤ 12Z

K

(x, y)2dµ (x) + ε

2.Cho A là S-toán tử được xác định bởi dạng toàn phương

(Ay, y) =

Z

K

(x, y)2dµ (x)

Nếu (ε−1Ay, y) < 1 thì 1 − Rˆµ (y) < ε Tính liên tục của ˆµ (y) trong S-tôpô suy ra

từ bất đẳng thức:

|1 − ˆµ (y)|2 ≤ 2 (1 − Rˆµ (y)) Bởi vì ϕ (y) = ˆµ (y), điều này hoàn thành chứng minh

Chứng minh : Giả sử S là một S-toán tử Khi đó ϕ (0) = 1, ϕ (y) xác định dương vàliên tục trong S-tôpô Do đó, theo định lí 2.4, tồn tại một độ đo P ∈M (X) sao cho

Z

ei(x,y)dP (x) = ϕ (y) Giả sử Fn là độ đo trên đường thẳng thực với hàm đặc trưng ˆFn(t) = ϕ (ten), ở đó{en} là một cơ sở trực chuẩn cố định

Khi đó theo định lí 2.4, (Sy, y) là liên tục trong S - tôpô Do đó với ε > 0 bất kỳ,tồn tại một S - toán tử Sε sao cho (Sεy, y) < 1 chỉ ra rằng (Sy, y) < ε Bây giờ cho

2.3 Một ước lượng của phương sai

Định nghĩa 3.1 Với µ ∈M (X) bất kỳ, hàm tập trung Qµ(t) được xác định với

(3) Nếu µn là compact dịch chuyển thì lim

µ2(St+ x0− x) dµ1(x) , x0 ∈ X

Điều kiện (3) suy ra từ định nghĩa của compact dịch chuyển và định lí 6.7 chương1.

(Một tập X ∈M (X) được gọi là compact dịch chuyển phải (trái) nếu với mỗi dãy

µn ∈ X , (n = 1, 2, ) có một dãy vn sao cho

(1) vn là một dịch chuyển phải (trái) của µn

(2) vn có một dãy con hội tụ )

Cho X1, X2, , Xnlà n biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập trong không gian Hilbert

X, tức là nếu µi là phân phối của Xi thì µi = ¯µi, i=1,2, ,n Bây giờ ta sẽ có đượcmột ước lượng cho phương sai E kX1 + + Xnk2

Định lý 3.2 Cho X1, X2, , Xn là n biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập trong X

và Sj = X1 + + Xj, j = 1, 2, , n Hơn nữa, cho Q (t) là ký hiệu hàm tập trungcủa phân phối µ của Sn = X1+ + Xn Nếu T được xác định bởi

T = Sup

1≤j≤n

kSjk ,Thì ∀t > 0,

P {T > 4t} ≤ 2 [1 − Q (t)] Chứng minh Cho các biến cố Ek được xác định như sau:

Ek = [kS1k ≤ 4t, kSk−1k ≤ 4t, kSkk > 4t] Khi đó {T > 4t} =

Ta hãy giả sử rằng Q(t) > 12 Cho µrn là phân phối của Sn− Sr Ta ký hiệu hàmtập trung của µrn là Qrn(t) Bởi vì µrn là một nhân tử của µ, theo định lí 3.1, ta

có Qrn(t) > 12

Do đó, với ε > 0 đủ nhỏ, bất kỳ, ∃x ∈ X sao cho

µrn(St+ x) > Qrn(t) − ε > 1

2. (3.2)

Do thật đủ để chứng minh rằng ,độ đo giới hạn yếu độ. .. (X) mộtkhông gian Banach tách với chuẩn Sup

Định lý 6.2 M(X) không gian metric tách ⇔ X không gian metrictách

Định lý 6.3 Cho X không gian metric tách E ⊆ X Khi tậptất độ đo mà có... {µα} độ đo hội tụ yếu tới độ đo µ

R f dµ α →R f dµ ∀f ∈ C(X), kí hiệu µα ⇒ µ Trừ phát biểu cách khác ,M(X) xem không gian tôpô với tôpô