Luận văn sư phạm Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Rinaman, 1994, “ Foundations of Probability and Statistics”, Sounders College.. Roussas, 1998, “ A course in Mathematical Statistics”, Academic Press.

M C L C

L I C M N 3

L I CAM OAN 4

L I NịI U 5

Ch ng 1 Ki n th c chu n b 6

1.1 Hàm phân ph i xác su t 6

1.1.1 M t s đ nh ngh a 6

1.1.2 Hàm phân ph i xác su t c a m t s b.n.n đ c l p 6

1.2 Hàm sinh mômen 8

1.2.1 nh ngh a hàm sinh mômen 8

1.2.2 Hàm sinh mômen c a m t s b.n.n đ c l p 10

Ch ng 2 Phơn ph i xác su t c a hƠm các bi n ng u nhiên 13

2.1 K thu t d a trên hàm phân ph i xác su t đ ng th i 13

2.1.1 Mô t ph ng pháp 13

2.1.2 Phân ph i xác su t c a Max và Min 14

2.1.3 Phân ph i c a t ng và hi u hai bi n ng u nhiên 18

2.1.4 Phân ph i c a tích và th ng 21

2.2 K thu t d a trên hàm sinh mômen 24

2.2.1 Mô t ph ng pháp 24

2.2.2 Phân ph i c a t ng các bi n ng u nhiên đ c l p 27

2.3 K thu t d a trên phép bi n đ i Yg X  32

2.3.1 Tr ng h p bi n ng u nhiên có phân ph i r i r c 32

2.3.2 Tr ng h p bi n ng u nhiên có phân ph i liên t c 34

K T LU N 43 TẨI LI U THAM KH O 44

L I C M N

hoàn thành khoá lu n này, tr c h t em xin bày t lòng bi y n sâu s c

đ n các th y, cô giáo trong khoa toán nói chung và các th y, cô giáo trong t

Toán ng d ng nói riêng đã t o đi u ki n cho em trong su t th i gian làm khoá

lu n

c bi t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình t i th y giáo

hoàn thành khoá lu n

L I CAM OAN

Khoá lu n c a em đ c hoàn thành sau m t th i gian mi t mài nghiên c u

cùng v i s giúp đ t n tình c a th y giáo, Th c s Nguy n Trung D ng

Trong quá trình làm khoá lu n em có tham kh o m t s tài li u nh đã nêu

L I NịI U

Ngày nay, “ LỦ thuy t xác su t” đã không còn là m t l nh v c toán h c

ch v lý thuy t mà nó còn có ng d ng r ng rãi trong nhi u ngành khoa h c k

Ch ng 1: KI N TH C CHU N B

1.1 HẨM PHÂN PH I XÁC SU T

1.1.1 M t s đ nh ngh a

nh ngh a 1.1 Hàm s FX x P:X  x, x฀ đ c g i là hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X

nh ngh a 1.2 Cho vect ng u nhiên XX X1, 2 Hàm s FX X1, 2x x1, 2 xác

c Phơn ph i chu n (phơn ph i Gauss)

nh ngh a 1.5 B.n.n X đ c g i là có phân ph i chu n v i tham s ( 2

nh ngh a 1.9 Cho bi n ng u nhiên X Hàm sinh mômen c a X kí hi u là

nh lỦ 1.1 Cho bi n ng u nhiên X có hàm sinh mômen là mX t Khi đó, bi n

ng u nhiên Y = aX + b v i a, b là các h ng s th c có hàm sinh mômen là

1.2.2 HƠm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên th ng g p

a Bi n ng u nhiên có phơn phôi nh th c

b Bi n ng u nhiên có phơn ph i Poisson

k t k

c Bi n ng u nhiên có phơn ph i chu n

 

2

2 t

X

m t e

Ch ng minh

Ta có

2 2

2

t t X

N u X tuân theo phân ph i Gamma G r , thì X 

1 1

1 22

y

z

e dzz

, 0

1 22

0, 0

y

Y

e yy

2.1.2 Phơn ph i xác su t c a Max vƠ Min

Gi s X1,,Xn là các bi n ng u nhiên xác đ nh trên cùng không gian xác su t  , , P Ta kí hi u

T các công th c trên ta th y r ng hàm phân ph i xác su t c a Y Y có th bi1, n u

1 10

1

, 010

0, 0

y

e yy



 

2.1.3.Phơn ph i c a t ng vƠ hi u hai bi n ng u nhiên

nh lỦ 2.3 Gi s X và Y là hai bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác

z x

2.2 K THU T D A TRÊN HÀM SINH MÔMEN

Ph ng pháp tìm hàm phân ph i xác su t d a trên khái ni m hàm sinh

mômen đ c g i là k thu t d a trên hàm sinh mômen

ây là m t k thu t khá m nh trong s các k thu t tìm phân ph i xác su t

đ c

c bi t, v i k=1 thì hàm sinh mômen là hàm c a m t bi n s nên ta có

k>1 thì k thu t nay s b h n ch vì ta ch có th đoán nh n đ c m t vài hàm

phân ph i t ng ng v i hàm sinh mômen tìm đ c

1

12

22

t

4 2

1414

1

12

22

Ví d 2.8 Gi s X1,,Xn là các bi n ng u nhiên có phân ph i Bernoulli, ngh a

là P X i  1 p P X,  i    và 0 1 p   , 1

i

t X

i

t X

Ví d 2.10 Gi s X1,,Xn là các bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i m v i

cùng tham s  Tìm mXi  t và  

1

n i i

tX X

i

n n

n

X

x e xn

2

n

i i

i i i

ây là hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên có phân ph i chu n v i trung bình

1

xexp

-22

n

i i i

n

i i i n n

a X

i i

i i

i i

a

aa

M t trong nh ng ng d ng không th không nh c t i c a k thu t này là

đ nh lý gi i h n trung tâm ó là m t đ nh lý vô cùng quan tr ng c a lý thuy t xác su t

nh lỦ 2.6 ( nh lỦ gi i h n trung tơm) N u v i m i s nguyên d ng n,

2 12, 1, 4, ,

2 1

0, 0,1, 4, ,

Y

an

18

18

18

18

Tìm phân ph i xác su t c a Y1 g X X X1 1, 2, 3 X1X2 X3và

Y g X X X  X  X



2

1

,2

1

, 02

nh lỦ 2.10 Gi s X X là các bi1, 2 n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác

su t đ ng th i fX X1, 2x x1, 2 Gi s A có th phân tích đ c thành các t p

1 2

, ,2

1

1, 02

K T LU N

Trên đây là toàn b n i dung c a khóa lu n “ PHÂN PH I XÁC SU T

C A HẨM CÁC BI N NG U NHIÊN” Khóa lu n mang tính ch t t ng quan

nên em đã c g ng ch ng minh m t s đ nh lý, b đ và đ a ra m t s ví d áp

d ng đ làm n i b t các v n đ mà khóa lu n đ c p

Do là l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c H n n a

do th i gian và n ng l c b n thân còn h n ch nên khóa lu n không tránh kh i

nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a các th y cô và các b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n

[1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of

Statistics”, MC Graw- Hill

[2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”,

Sounders College

[3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”,

Academic Press