Mục đích yêu cầu: Kiến thức: Học sinh nắm đợc định lý cosin, định lý sin trong tam giác; biết cách chứng minh các định lý; vận dụng trong làm bài tập; củng cố kiến thức về vectơ.. Trọng
Trang 1Bài soạn hình học 10
Giáo viên: Nguyễn Quốc Hoàn
Tổ: Toán – Tin Trờng: THPT Nguyễn Gia Thiều
Ngày soạn: 04 – 08 – 2007.
(PPCT: 23 + 24 + 25 ; dạy tiết 23)
I Mục đích yêu cầu:
Kiến thức: Học sinh nắm đợc định lý cosin, định lý sin trong tam giác; biết cách
chứng minh các định lý; vận dụng trong làm bài tập; củng cố kiến thức về vectơ.
Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết
trong việc tiếp thu tri thức mới.
T duy: Phát triển năng lực chứng minh Toán học, bồi dỡng và phát triển năng lực
vận dụng sáng tạo lý thuyết toán vào việc giải bài tập toán.
Trọng tâm: Học sinh nắm đợc nội dung định lý cosin, định lý sin trong tam giác
và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan.
Thái độ: Cẩn thận, chính xác Biết quy lạ về quen.
II Phơng pháp, phơng tiện:
Phơng pháp: Sử dụng nhóm phơng pháp nhằm tích cực hoá hoạt động của học
sinh: đàm thoại, giải quyết vấn đề.
Phơng tiện: Kiến thức về vectơ, SGK Hình học 10, SBT Hình học 10, sách giáo
viên, giáo án, …
III Cấu trúc bài dạy:
Bài toán gợi động cơ Định lý cosin Ví dụ áp dụng
Bài toán có liên quan Bài toán gợi động cơ Định lý sin Ví dụ áp dụng
IV Tiến trình bài dạy:
Thời gian
5 – 7
tam giác và giải tam giác Bài toán 1: Cho ∆ABC có AB = 3 cm,
AC = 8 cm, Â = 600 Tính BC
Giải:
GV: ở lớp 8 các em đã đợc học về hệ thức lợng trong tam giác vuông Bài học hôm nay chúng ta nghiên cứu trờng hợp tổng quát hơn: Hệ thức lợng trong tam giác bất kỳ
GV: Để đi vào bài học hôm nay ta xét bài toán sau
GV: ∆ABC không có gì đặc biệt, các em cha học một công thức tổng quát nào để có thể tính trực tiếp BC Ta phải nghĩ cách khác (BC = BC )
GV: BC biểu diễn qua AC và AB ? HS: BC = AC – AB
GV: BC2 =?
HS: BC2 = (AC – AB)2
A
B
C D
Trang 210 – 12
BC2= BC2 = (AC – AB)2
= AC2 + AB2– 2.AC.AB
= AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cosÂ
= 82 + 32 – 2.8.3.cos600 = 49
Vậy BC = 7 cm
1 Định lý cosin trong tam giác:
Định lý: Với mọi tam giác ABC ta luôn
có:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Xem chứng minh trong SGK
cosA =
c b 2
a c
b 2 + 2 − 2
A = 900⇔ a2 = b2 + c2
A > 900⇔ a2 > b2 + c2
A < 900⇔ a2 < b2 + c2
Ví dụ: ∆ABC ở bài toán 1, lấy D trên
cạnh AC sao cho AD = 6 cm Tính góc
D của tam giác ABD, chứng minh tam
giác ABD vuông
Giải:
BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.cosA
= 9 + 36 – 2.36
2
1
= 27
⇒ BD = 3 3
AB2 = AD2 + BD2 – 2.AD.BD.cosADB
⇒ cosADB =
BD AD 2
AB BD
=
3 3 6 2
9 27
36 + −
=
2
3
⇒ ADB = 300
Rõ ràng:
= AC2 + AB2 – 2.AC
AB
= AC2 + AB2 – 2 AC
AB cos(AC ;AB)
Hay BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cos GV: ∆ABC; ký hiệu BC = a, CA = b,
AB = c; các góc ở đỉnh A, B, C cũng kí hiệu bởi A, B, C
GV: Từ bài toán 1, BC hay a đợc tính theo công thức nào?
HS: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA GV: Tơng tự b2 và c2 đợc tính nh thế nào? HS: …
GV: Đây chính là nội dung định lý cosin trong tam giác
GV: Phát biểu định lý bằng lời và cách ghi nhớ
GV: Tính cosA theo a, b, c? GV: Xét A = 900, A < 900, A > 900 sau đó
so sánh a2 với b2 + c2? HS: …
GV: Tơng tự cho cosB, cosC So sánh b2
với a2 + c2, c2 với a2 + b2 làm tơng tự trên
GV: Từ định lý cosin ta có thể tính đợc một cạnh của tam giác nếu biết hai cạnh còn lại
và góc giữa chúng Ngợc lại nếu biết ba cạnh của tam giác thì có thể tính đợc ba góc của tam giác đó
GV: Để tính đợc ADB phải tính đợc cạnh nào?
HS: BD
BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.cosA GV: Em hãy giải tiếp bài toán
HS: …
Trang 310 –
12
AD2 = 36 = AB2 + BD2 = 9 + 27 = 36,
nên ∆ABD vuông tại B
Bài toán 2: Cho ∆ABC, A = 900 Xác
định bán kính R của đờng tròn ngoại
tiếp ∆ABC và biểu diễn sinA, sinB, sinC
theo R và a, b, c
Giải:
∆ABC vuông tại A, nên 2R = a
sinB =
a
b
=
R 2 b
sinC =
a
c
=
R 2
c
2 Định lý sin trong tam giác:
Với mọi ∆ABC, R là bán kính đờng
tròn ngoại tiếp tam giác, ta có:
A sin
a
=
B sin
b
=
C sin
c
= 2R
Chứng minh:
Ta chứng minh:
A sin
a
= 2R
Giả sử (O;R) là đờng tròn ngoại tiếp
∆ABC
Kẻ đờng kính CA’ của (O;R)
Xét tam giác vuông A’BC, ta có:
GV: Trong tam giác bất kỳ, cosin của các góc và các cạnh đợc liên hệ với nhau bởi
Định lý cosin Vậy thì sin của các góc trong tam giác đợc liên hệ với các cạnh nh thế nào? Trớc hết ta xét bài toán sau
HS: R =
2
1
BC ⇔ 2R = BC = a SinB =
a
b
=
R 2
b
⇔ 2R =
B sin b
SinC =
a
c
=
R 2
c
⇔ 2R =
C sin c
GV: Vậy
A sin
a
có bằng 2R không? HS: sinA = 1, nên
A sin
a
= 2R Vậy ∆ABC vuông, ta có:
A sin
a
=
B sin
b
=
C sin
c
= 2R GV: Công thức này có đúng cho mọi tam giác hay không ? Câu trả lời nằm trong
định lý sau
GV: Ta sẽ chứng minh:
A sin
a
= 2R
B sin
b
= 2R;
C sin
c
= 2R Nếu ∆ABC vuông thì theo ví dụ trên là
đúng, vậy bây giờ ta xét tam giác không vuông
GV: Hớng dẫn chứng minh:
A sin
a
= 2R ⇔ sinA =
R 2
a
Tơng tự bài toán 2 ta tạo ra một tam giác vuông có một cạnh góc vuông là a, cạnh huyền là 2R ⇒ xuất phát từ C hoặc B kẻ đ-ờng kính của (O;R), giả sử kẻ đờng kính CA’
GV: Góc A và A’ có mối liên hệ thế nào? HS:
= +
=
0
180 '
A A
' A A
GV: sinA và sinA’ có mối liên hệ nh thế
B
b
A
A’
B
C
A O
Trang 43
SinA’ =
R 2 a
Mặt khác A và A’ là hai góc bằng nhau
hoặc bù nhau, nên
sinA =
R 2
a
hay
A sin
a
= 2R
Các công thức còn lại chứng minh
t-ơng tự:
B sin
b
= 2R;
C sin
c
= 2R
Suy ra:
A sin
a
=
B sin
b
=
C sin
c
= 2R
Ví dụ: Cho ∆ABC có A = 1200,
a = 4 3 cm, b = 4 cm Tính góc B và
bán kính R
Giải:
áp dụng định lý sin trong ∆ABC, có:
A sin
a
= 2R ⇒ 2R =
3
3 4
.2 ⇒ R = 4 (cm)
B sin
b
= 2R ⇒ sinB =
R 2
b
=
4 2
4
=
2
1
⇒ B = 300 (Vì ∆ABC có A = 1200)
nào? HS: sinA = sinA’
GV: Trong tam giác vuông A’BC, sinA’ =? HS: sinA’ =
' CA
BC
=
R 2
a
GV: Từ đó sinA =
R 2
a
GV: Từ định lý sin trong tam giác ta thấy: Nếu biết hai cạnh và một trong hai góc
đối thì sẽ tính đợc cạnh còn lại và các góc còn lại
Nếu biết hai góc và một trong hai cạnh
đối thì tính đợc các cạnh còn lại và các góc còn lại
GV: Nếu biết 2 trong 3 yếu tố: cạnh, góc
đối diện và bán kính đờng tròn ngoại tiếp R thì có thể tính đợc các yếu tố còn lại
HS: …
Củng cố:
GV: ở bài này các em cần nắm chắc định
lý cosin và định lý sin trong tam giác, biết
đợc cách chứng minh định lý và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan
BTVN:
Chứng minh các công thức còn lại của các định lý sin và cosin
Làm bài tập trong SGK.
Bài tập dự trữ: Cho ∆ABC có b + c = 2a, chứng minh: 2sinA = sinB + sinC
