Ôn Thi ĐH - Các BĐT Lượng giác trong tam giác và Ứng dụng

cơ bản trong tam giác và ứng dụngTrong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán vàê bất đẳng thứctrong tam giác và trình bày lời giải.. ., n với i ≠ j.1.2 Các bất đẳng thức lợng giác cơ

cơ bản trong tam giác và ứng dụng

Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán vàê bất đẳng thứctrong tam giác và trình bày lời giải Trong qua trình trình bày lời giải, chúng tôi

có áp dụng một số bất đẳng thức kinh điển và một số bất đẳng thức cơ bảntrong tam giác

1.1 Một số bất đẳng thức kinh điển

1.1.1 Bất đẳng thức Cô - si Với n số không âm a 1 , a 2 , , a n ta có bất

n n

n

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a i = a j , i, j = 1, 2, , n  i ≠ j.

1.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacốpxky Giả sử a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n

b b  i, j = 1, 2, , n với i ≠ j.

1.1.3 bất đẳng thức Trêbsêp Cho hai dãy số đơn điệu cùng chiều a 1 ≤ a 2

≤ ≤ a n với b 1 ≤ b 2 ≤ ≤ a n Khi đó ta có bất đẳng thức

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a i = a j hoặc b i = b j ,  i, j = 1, 2, , n với i ≠ j.

1.1.4 Bất đẳng thức Jen - sen Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị lõm

trong khoảng (a; b) Khi đó ta có bất đẳng thức

x i (a; b) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i = x j  i, j = 1, 2, ., n với i ≠ j.

1.2 Các bất đẳng thức lợng giác cơ bản

Trong tam giác có nhiều bất đẳng thức lợng giác, tuy nhiên chúng tôichọn 9 bất đẳng thức sau đây làm bất đẳng thức cơ bản vì tần suất xuất hiệncủa chúng tơng đối cao trong các chứng minh những bài toán về bất đẳng thứclợng giác khác

Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức cơ bản:

Trong chín bất đẳng thức trên, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

1) sinA + sinB + sinC ≤ cos A + cos B + cos C

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B

Tơng tự sinB + sinC 2cos

2

 A (2) Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C

Tơng tự sinC + sinA 2cos

2

 B (3)Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi C = A

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

2) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức

và dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi tam giác ABC là tam giác đều

5) Nếu tam giác ABC không nhọn thì cosA.cosB.cosC ≤ 0, suy ra bất đẳngthức đúng Giả sử tam giác ABC là nhọn Khi đó

0 < cosA.cosB ≤ sin2

2

C,

và 0 < cosB.cosC ≤ sin2

2

A,

và 0 < cosC.cosA ≤ sin2

2

B

Từ ba bất đẳng thức trên ta suy ra cosA.cosB.cosC ≤ sin sin sin

và dấubằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài toán 2 Trong mọi ABC, ta có các bất đẳng thức sau

+ 4sin sin sin

3) cotgA + cotgB + cotgC ≤ 9

 3  (cosA + cosB + cosC) ≥ 7

2sin sin sin

2) Do cosA = sinBsinC  cosBcosC,

và cosB = sinAsinC  cosAcosC,

và cosC = sinBsinA  cosBcosA

suy ra sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA

= cosA + cosB + cosC + cosBcosC + cosAcosC + cosAcosB

Hơn nữa cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA ≤ 1

3(cosA + cosB + cosC)2 và

áp dụng bất đẳng thức cơ bản cosA + cosB + cosC ≤ 3

2 và công thức

cosA + cosB + cosC = 1 4sin sin sin

sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA ≤3

4 + cosA+ cosB + cosC

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khitam giác ABC là tam giác đều.

3) Tính toán đơn giản ta có

cotgA + cotgB + cotgC =

2sin sin sin

thức cần chứng minh đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC

là tam giác đều

Bài toán 3: Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

1 2

2) 3(cotgA + cotgB + cotgC) ≥ cotg +cotg +cotg A B C

sin A.sin B sin B.sin C sin C.sin A sin A sin B sin C

sin A.sin B.sin Csin A.sin B.sin C

(sinAsinB sinBsinC)2+(sinBsinC  sinCsinA)2+(sinCsinA  sinAsinB)2≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

2) Ta có cotgA + cotgB = sin C

cot g cot g cot g

sin A.sin B.sin C sin A.sin B.sin C

Do đó 3(cotgA + cotgB + cotgC) ≥

cot g  cot g  cot g

 3( sin2A + sin2B + sin2C) ≥ (sinA + sinB + sinC)2

 (sinA  sinB)2 + (sinB  sinC)2 + (sinC  sinA)2 ≥ 0

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khitam giác ABC là tam giác đều

Bài toán 4 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

1) sin sin sin A B C

sinA + sinB ≥ 2 sin A.sinB ,

và sinB + sinC ≥ 2 sin B.sin C ,

và sinC + sinA ≥ 2 sin C.sin A Suy ra (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) ≥ 8sinA.sinB.sinC Hơn nữa

≤ (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.

sin sin sin

≥ 8 Suy ra bất đẳng thức 2) đợc chứng minh

Bài toán 5 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

vµ 1 sinCtgA + sinAtgC 2sin sinA C

cos cos cos (6)

H¬n n÷a cosA + cosB + cosC = 1 4sin sin sin

2 DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi x = y

x ,  x  (0; 2

)

Vậy hàm f(x) là lồi trên (0;

2

) Do đó f(x) + f(y)  2tgx + y

2 , với mọi

x, y  0; 2  

  Bổ đề đợc chứng minh

Bài 6 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

1/ cos 2 B-C +cos 2 C - A +cos 2 A- B 24sin sin sin A B C

cosx + cosy + cosz = 4cosx ycosy zcosz x

.Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

cosx + cosy + cosz  4cosx cosy cosz

Do đó cos2xcos2ycos2z  2 x y 2 y z 2z x

Hơn nữa (cosx + cosy + cosz)2 = 16 2 x y 2 y z 2z x

 16cos2xcos2ycos2z

Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh

3/ Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

(1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC)  cosAcosBcosC (*)Nhận xét rằng (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) > 0

Do đó nếu tam giác ABC không nhọn thì cosAcosBcosC  0

Vậy bất đẳng thức đúng Vậy chúng ta chỉ cần xét tam giác ABC là nhọn.Tính toán ta có

(*)  tgA tgB tgC  cotg cotg cotgA B C

 tgA + tgB + tgC  cotgA +cotg B + cotgC

áp dụng bổ đề ta có

CtgA + tgB 2cotg

2AtgB + tgC 2cotg

2BtgC + tgA 2cotg

2) 3(cosA + cosB + cosC )  2( sinA sinB + sinB sinC + sinC sinA).

3) ( 3-sinA)( 3-sinB)( 3-sinC)  sinA sinB sinC.

Chứng minh 1) áp dụng công thức

cosA + cosB + cosC = 1 4sin sin sin

2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

áp dụng công thức

sinA =

2

A2tg2A1+tg

2 Do đó

Bài 8 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

1) 1 + cosA cosB cosC  3sinA sinB sinC.

tg 2 + tg 2 + tg 2 - tg 2 tg 2 tg 2 ³

27 . 3) 3[sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C ]

 ( sinA + sinB + sinC )(sin2A + sin2B + sin2C ).

tg

2 , y =

Btg

2 , z =

Ctg

2 Khi đó x, y, z > 0 và xy+ yz + zx = 1 áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-acop -xki ta có 3(x2y2 + y2z2 + z2x2)  (xy + yz + zx)2

và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

Hơn nữa đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

3) Trờng hợp 1 Tam giác ABC là nhọn Giả sử A  B  C Khi đó

sinA sinB sinCsin2A sin2B sin2C

Trờng hợp 2 Tam giác ABC không nhọn Giả sử A  B  C Khi đó bất đẳngthức cần chứng minh tơng đơng với

(sinA sinB)(2sin2A2sin2B -2sin2C)

+ (sinC  sinB)(2sin2C 2sin2B 2sin2A)  0

Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh Hơn nữa dấu đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều

Bài toán 9 Trong mọi tam giác ABC ta luôn có

2 3

2) cosA + cosB + cosC  2p -a + 2p -b + 2p -c

3) tg +tg A B +tg C

2 9R 4S .

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

2 3

(p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b) 3 Sp(p- a)  p(p- b)  p(p- c) p p .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Hơn nữa ta cũng có cosA + cosB + cosC  3

2 Từ đây suy ra bất đẳng thứccần chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.3) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

2(a+b+c)

2 Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều

Tiếp theo , chúng ta có một số bài toán về hằng đẳng thức trong tam giác có liên quan độ dài các cạnh, diện tích, bán kính các đờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp và số đo các góc của tam giác.

Bài 10 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

absin +bcsin +casin

sin A 2 sin B 2 sin C 2  2 3S ,

Tính toán đơn giản ta có

2aAtg2  4S,

2bBtg2  4S,

2cCtg2  4S

Chứng minh 1/ áp dụng định lý hám số sin ta có:

a 1 3 cot gA b 1 3 cot gB c 1 3 cot gC

= 4R sin A(12 2  3 cot gA) 4R sin B(1 2 2  3 cot gB)

2 24R sin C(1 3 cot gC)

3sin Asin Bsin C

sin Asin Bsin C và sinAsinBsinC 

 sin sin sin

 1

8 Vậy bất đẳng thức 2/ đợc chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khitam giác ABC là tam giác đều

Bài 12 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

2 2 2 28

(a + b +c) 8(a + b +c )

a + b + c ≤ 8( a2 + b2 + c2 ) (5)

Từ (4) và(5), ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi tam giác ABC là đều

3) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

Chứng minh 1) Do a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC nên

(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c) = (a - b - c)[a2 - b2 - c2 + 2bc]

= a2 ( a - b - c ) + b2(b + c - a) + c2(b + c - a) + 2bc(a - b - c) < 0

Suy ra a(c + a)(a + b) + b(a + b) + c(b + c)(c + a) + 3abc

< 2(a + b)(b + c)(c + a).Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức

Tiếp theo, áp dụng định lý hàm số sin

a + b + c = 2R(sinA + sinB + sinC) ≤ 3 3R

áp dụng công thức Hêrông và bất đẳng thức Côsi, ta có

2 Suy ra

2

b c

, lb =

B2ca cos

2

c a

, lc =

C2abcos

2

a b

suy ra

sin A sin B sin C  ≥ 3 1

3 sin Asin Bsin C ,

và sinA + sinB + sinC ≥ 3 sin Asin Bsin C3

Suy ra sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA

sin A sin B sin C 

≥ 18sinAsin sinB C

144sin sin sin

Vậy ta có bất đẳng thức 36r2 ≤ ab +bc + ca

Ta có sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA ≤ sin2A + sin2B + sin2C ≤ 9

4.

ab + bc + ca = 4R2(sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA) ≤ 4R2.9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài 15 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

D

BA

Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi vàchỉ khi b + c = 2a.

2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

A

2l

2 b

l  p(p-b) Hoàn toàn tơng tự lc2 p(p c)  , la2 p(p a) 

Do đó l2a l2a  ≤ pl2a 2 Hơn nữa ta cũng có

2 a

p(p b)(p c)r

p(p c)(p a)r

p(p a)(p b)r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài 16 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

m a b c ,Tơng tự ta có:

2

2 2 2 a

m a b c và

2

2 2 2 a

     Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Bài 17 Trong mọi tam giác ABC, ta luôn có:

1) mala + mblb + mclc ≥ p2,

2) 12 12 12

a b c ≤ 12

4r ,3) ab + bc + ca ≤ 2(p2 - r2 - 4Rr)

Chứng minh:

1) áp dụng công thức

2 a

Suy ra

(b  c)4  a2(b  c)2 ≤ 0 vì (b  c)4 = (b + c)4  8(b2 +c2) và (b  c)2  4bc

Do đó:

(b  c)4  a2(b  c)2 = (b + c)4  a2(b + c)2  8bc(b + c)2 + 4a2bc ≤ 0.Vậy (b + c)4  a2(b  c)2 ≤ 4bc(2b2 + 2c2  a2) Do đó

Suy ra mala +mblb + mclc ≥ p2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giácABC là tam giác đều

b) sinA + sinB + sinC ≥ 2 3(cosAcosB + cosBcosC + cosCcosA)

2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau:

a) cotgA + cotgB + cotgC ≥ 3 2

2 sin Asin Bsin C .

4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau:

Chơng II

Một số bất đẳng thức lợng giác trong vài dạng tam giác đặc biệt

Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán về bất đẳng thức lợnggiác trong tam giác nhọn, tam giác không nhọn, tam giác không tù và trìnhbày lời giải Phơng pháp chứng minh đối với các bài toán này phần lớn dựavào tính đơn điệu của hàm số

Các hàm số trong định nghĩa 2.1.1 đợc gọi là hàm số đơn điệu.

2.1.2 Định lý Cho hàm số y = f(x) xác định và khả vi trên khoảng (a, b) khi

đó các mệnh đề sau là đúng.

i) Nếu f'(x) > 0,  x  (a, b) thì hàm số tăng trên (a, b).

ii) Nếu f'(x) < 0,  x  (a, b) thì hàm số giảm trên (a, b).

2.1.3 Cực trị của hàm số

2.1.3.1 Định nghĩa Điểm x0 đợc gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm số y = f(x) nếu f(x) < f(x0) (hay f(x0) < f(x) ) với mọi điểm x thuộc một

Điểm cực đại và điểm cực tiểu của một hàm số (nếu có) đợc gọi chung là cựctrị Thông thờng để tìm cực trị của một hàm số ta thờng dùng một trong hai

điều kiện sau đây

2.1.3.2 Định lý Giả sử hàm số y = f(x) khả vi trong một lân cận (x 0 - , x 0 + )

nào đó của điểm x 0 và f'(x 0 ) = 0 khi đó nếu hàm f'(x) đổi dấu từ dơng sang âm (hay từ âm sang dơng) khi x tăng chuyển qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực đại (hay cực tiểu) tại x 0 Nếu f'(x) giữ nguyên dấu trong một lân cận nào đó của x 0 thì hàm số không có cực trị tại x 0

2.1.3.3.Định lý Nếu hàm số f(x) thoả mãn f'(x 0 ) = 0 và f"(x 0 ) > 0 (f'(x 0 ) < 0) thì hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại x 0

2.1.4 Hàm số lồi, hàm số lõm

2.1.4.1 Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).

i) Hàm số y = f(x) đợc gọi là lồi trên khoảng (a, b) nếu với mọi

f Dấu bằng khi và chỉ khi x1 = x2

ii) Hàm số y = f(x) đợc gọi là lõm trên khoảng (a, b) nếu với mọi

Kết quả sau đây cho chúng ta nhận biết tính lồi lõm của một hàm số.

2.1.4.2Định lý Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a, b).

Khi đó các mệnh đề sau là đúng.

i) Nếu f"(x) < 0, với mọi x  (a, b) thì hàm số f(x) là lồi trên khoảng (a, b).

ii) Nếu f"(x) > 0, với mọi x  (a, b) thì hàm số f(x) là lõm trên khoảng (a, b).

2.2 Bất đẳng thức tam giác không nhọn

Bài toán 1 Cho tam giác ABC là tam giác không nhọn Hãy tìm

1) Max(sinA + sinB + sinC ).

2) Max( cosA + cosB + cosC ).

Đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi B = C

Hơn nữa vì A + max(A, B, C) nên A ≥

2

 Do đó

2cos

2 tức là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

3) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A  B  C Khi đó

Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra g(t) ≤ g 2 2 2 2 2

 tøc lµ tam gi¸c ABC lµ

tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A

4) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta gi¶ sö A = max(A, B, C) Suy ra A ,

4

  A (7)

Bài toán 2 Cho tam giác ABC, trong đó A 

2



Hãy tìm 1) Max[ sinA + m (sinB + sinC)] với m  0.

®-max sin sin sin

§Ó bæ trî cho phÐp chøng minh bµi to¸n kÕ tiÕp, chóng t«i cÇn kÕt qu¶ sau

Bµi to¸n 3 Cho tam gi¸c ABC kh«ng nhän víi A = max{A, B, C} H·y tÝnh

1) MaxsinA  m (sinB  sinC )

Chøng minh 1) Ta xÐt hai trêng hîp

i) Trêng hîp  ≤ 0, nÕu B  0 th× msin B  +

H¬n n÷a sin sin

Suy ra - cos2A + 2m cosAcos(B - C) + 1 + m ≤ 1 + m (1)

DÊu b»ng trong (1) x¶y ra khi vµ chØ khi A =

2



VËy maxsin2A  m (sin2B  sin2C ) = 1 + m khi vµ chØ khi A = 

áp dụng bổ đề trên với  = 2, 0 ≤  ≤ 2 ta có (sinA) + (

2

 - 1) ≤

2

sin2A

Do đó (sinA) ≤

2

sin2A - (

Suy ra m(sinB) ≤ m

2

 ( 2 )2 -  sin2B - m ( 2 )-  (

Tơng tự msin C ≤ m

2

( 2 )2 -  sin2C - m ( 2 )-  (

sin (sin sin )

DÊu b»ng trong (9) x¶y ra khi vµ chØ khi B =

4



T¬ng tù ta cã

msin

2

C + m( - 1) 2 2

(10)

DÊu b»ng trong (10) x¶y ra nÕu vµ chØ nÕu C =

4



Tõ (8), (9), (10), ta cã sin sin sin

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A 

2



 ≤ 2

A ≤

2

 Khi đó xét hàm số

x và f'(x) = 0 nếu và chỉ nếu x =6



Từ bảng biến thiên

x

6

 4



2



f'(x) 0 +f(x)

ta nhận đợc f(x)  f() = 2 2 - 1,  x  ;  (3)

2) Tính toán tơng tự ta có

cot gA  cot gB  cot gC = cos sin( )

sin sin sin

Từ bảng biến thiên

x

3



2

 

g'(x) 0 +g(x)

ta nhận đợc g(x)  g(

2

) = 2 (6)

Từ (4), (5), (6) ta có cot gA  cot gB  cot gC  2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A