Hệ thức lượng trong tam giác 2

§4- CÁC HỆ THỨC LỢNG TRONG TAM GIÁC Tiếp theo Phần 3 Các công thức về diện tích tam giác H Phân 4 Công thức độ dài đờng trung tuyến A... Chứng minh : Gọi AM là đờng trung tuyến ve

KIỂM TRA BÀI CŨ Câu hỏi I : Em hãy phát biểu định lí cosin trong tam giác

Nw ©°

Tra loi : Với mọi tam giác ABC ta có :

aˆ=b“+cˆ- 2bc cosA

c*= a* + b*- 2ab cosC

Câu hỏi 2 : Em hãy phát biéu dinh If sin trong tam giác

Tra loi : Trong tam giác ABC, với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, ta CÓ :

§4- CÁC HỆ THỨC LỢNG TRONG TAM GIÁC

(Tiếp theo )

Phần 3 Các công thức về diện tích tam giác

H

Phân 4 Công thức độ dài đờng trung tuyến

A

3 CAC CONG THUC VE DIEN TICH TAM GIAC

eo

(h,, h, , h, lan lot 1a cac đờng cao kẻ từ các đỉnh A,B,C )

i

Kl

(3) (R1a ban kinh dong tron ngoai tiép )

Cy ,T là BK đờng tròn nội tiếp )

(3) (CT Hé rong)

Chứng minh : 2)

Ta đã biết

màh = AC sinÁCH =b sinACH

nếu góc C nhọn thì ACH =C

VAN"

nếu góc C tù thì ACH = 1809 - €

= sin ACH=sinC =h,=bsinC

Do đó ta có :

Néu C = 90° thi h,= b va sinC = 1

nên ta vẫn có công thức trên

3) Thay ta đợc vào công thức

Ví dụ Ï :

Tính diện tích , bán kính đờng tròn nội tiếp , ngoại tiếp

tam giác ABC có ba cạnh là a= 13,b= 14,c= l5

Giải: Ta có :

= 54

4 CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐỜNG TRƯNG TUYẾN

Định lý : Trong mọi tam giác ABC, ta đều có :

Trong đóm ,m,,m_ là độ dài các đờng trung tuyến lần lợt

kẻ từ các đỉnh A ,B,€ của A ABC

Chứng minh :

Gọi AM là đờng trung tuyến

ve tuA, AM=m, Taco:

(AB + AC) s aM

= AM = (AB + AC + 2 ABAC )

( c? + b? + 2bccosA )

| = T

(ci + b* + b?+Cc?- a?)

| = T

Các đăng thức khác chứng minh tơng tự

Ví dụ 2 : Cho hai điểm A., B cố định Tìm quỹ tích những điểm M

thoả mãn điều kiện : MA” + MBZ= k7 ( k là một số cho trớc )

Giải: Giả sử có điểm M thoả mãn : MA? + MB2= k2

Gọi O là trung điểm đoạn thắng AB, thì OM

là đờng trung tuyến trong A MAB nên : `

Z“ A

Ta xét các trờng hợp :

* Néu 2k? > AB? thi =R

OM? =

Khi do qui tich M la dong tron tam O , ban kinh R

* Néu 2k? = AB? thi OM =0 hay M tring O

* Nếu 2k? < AB? thì quỹ tích là tập rỗng << ñ

* Chú ý :Từ công thức độ dài đờng trung tuyến ta có:

Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD; I, J là trung điểm của AC và BD

a)CM hé thitc : AB* + BC’ + CD“ + DA“ˆ= AC“ + BI“ + 4l“

b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phơng các cạnh bằng tổng bình phơng hai đờng chéo

Giải: a) Áp dụng định lí đờng trungtuyến B

vao A BAC va A DAC , taco:

: ê

DA?*+ DC? = 2DI + =

Cộng hai ĐT trên theo từng vế, ta có :

Nee + BC’+ CD* + DA’? = 2( BP + DI?) +AC?(*)

Ap dung dinh li dong trung tuyén vao A IBD, taco: b

2

BI +DI = 2IJ2?+ " Thay vào (*), ta doc:

AB’ + BC?+ CD? + DA?= AC? + BH“ + 4117

Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I, J là trung điểm của AC và BD

a)CM hệ thức : AB“ + BC“ˆ+ CD“ + DA“ˆ= AC’ + BD’ + 4IJ?

b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình ph

ơng các cạnh bằng tổng bình phơng hai đờng chéo

Giai:

b) Néu ABCD 1a hinh binh hanh thi

I va J trung nhau nén IJ = 0 va ta có: A

AB’ + BC’? + CD? + DA?= AC’ + BD”

Vay :Trong mot hinh binh hanh

tổng bình phơng các cạnh bằng

tổng bình phơng hai đờng chéo

Cung co:

1)Cac cong thttc tinh dién tich tam giac

2)Công thức độ dài đờng trung tuyến

Bài tập về nhà: 4,5,6,7

(trang52)SGK