Đạo hàm và tiếp tuyến

Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: y=2x+3 một góc 450.. e.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y=-

Trang 1

Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho

Đạo hàm

Dạng 1: Xét tính khả vi tại một điểm

Bài 1 Cho f(x)= x(x-1)(x-2) (x-1994) Tính f'(0).

Bài 2 Cho f(x)= x(x+1)(x+2) (x+2007) Tính f'(-1000).

Bài 3 Cho









=

≠∀

=

0

x nếu 0

0 x

x2

sin (x)

g Tính g'(0)

Bài 4 Cho









=

≤

≠

∀

−

=

0 nếu x 0

1 x và 0

, x

x 1

1









=

≠

∀

−

=

0

x nếu 0

0

x x

cosx

1

a Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0;

b Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0

Bài 5 Cho f(x) =x x + 2 Tính đạo hàm của f(x) tại x=0

Bài 6 Cho f x x x

+

=

1 ) ( Tính đạo hàm của f(x) tại x=0

Bài 7 Cho hàm số

1 3

3 2 2

−

+

−

=

x

x x

CMR: f(x) liên tục tại x=-3 nhng không tồn tại đạo hàm tại x= -3

Bài 8 Cho









=

≠∀

=

0

x nếu 0

0 x f(x)

1 sin

x

và









=

≠

∀

=

0

x nếu 0

0

x x

1 g(x) 2x sin

a Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0;

b Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0

Bài 9 Cho hàm số









=

≠

∀

=

0

x nếu 0

0

x x

1 f(x) nx sin

Xác định n sao cho:

a f(x) liên tục tại x=0

b f(x) có đạo hàm tại x=0

c f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0

Bài 10 CMR: Đạo hàm của một hàm số chẵn là hàm số lẻ còn đạo hàm của một hàm số lẻ là một hàm số chẵn.

Bài 11 CMR: Nếu y= f(x) là hàm tuần hoàn và khả vi trên R thì f’(x) cũng là hàm tuần hoàn.

Dạng 2: Lập công thức đạo hàm

Bài 1 Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=tgx

Bài 2 Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=cotgx

Bài 3 Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=3 x

Trang 2

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số tồn tại đạo hàm tại xo

Bài 1 Cho









≤

∀ +

−

>

∀

− +

=

0 x 1 ax 2x

0 x

x 1)e

(x f(x) Tìm a để f(x) tồn tại đạo hàm tại x= 0

Bài 2 Cho







>

∀ + +

≤

∀

+

=

0 x

1

b ax

0 x bsinx

acosx f(x) Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(0)

Bài 3 Cho









<

∀ +

≥

∀

+

=

1- x bx 2x

1- x

a

2x-f(x) Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(-1)

Bài 4 Cho

[ ]









−∈

∀

−

>

∀ +

+

=

1;

2 ,

2

1

, )

(

2

x x

x b ax

x x

f Tìm a, b để hàm số tồn tại đạo hàm tại x=1

Dang 4: Tính đạo hàm bằng công thức

Tính đạo hàm cấp một của các hàm số sau

y=cos2(x2-2x+2); y=|x2-5x+6| y=(2-x2)cosx+2xsinx

Dạng 5: Tính đạo hàm bằng công thức và định nghĩa

Bài 1: Cho F(x) x ln(1 x ) và f(x) 1 xx

+

= +

−

Dạng 6: Đạo hàm cấp cao

1 Bài 1: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) 1 , ( ≠ 0 )

+

b ax

d cx

b ax y

+

=

c)

x

x y

−

=

1

2

d)

2 3

3 5

2 − +

−

=

x x

x y

e) 3

1 x

x y

+

= f)

6 5

4 7 2

2

−

=

x x

x x y

g)

1 2

2 3

2

− +

+

−

=

x x

y f)

3 2

20 3 5

2

−

=

x x

x x y

Bài 2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a y=sinax b y= cosax c y= sin4x- cos4x d y= sin2xcos5x

Tiếp tuyến

I Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến

1 Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.

Bài 1 Cho (Cm): y= x3+mx2-m-1 Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại các điểm cố định của (Cm)

Bài 2 Cho (C) y=x3+1-k(x+1).Viết phơng trình tiếp tuyến (d) tại giao điểm của (C) với Oy Tìm k để (d) chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Bài 3 Cho (C):y=-x4+2x2 Viết phơng trình tiếp tuyến tại A( 2; 0)

Trang 3

Bài 4 Cho (C):

4

9 2 4

1 4 2

−

y Viết phơng trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox

Bài 5 Cho (C):

3

1

−

+

=

x

y Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến vuông góc với (d): y=x+ 2009

Bài 6 Cho (C):

1

2 2 2

+

+ +

=

x

x x

a Điểm A thuộc (C) với xA=a Viết phơng trình tiếp tuyến (da) tại A

b Tìm a để (da) đi qua B(1;0) CMR: có hai giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc nhau

Bài 7 Cho đồ thị (C): y= − 2x+ 1 + 2x2 Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đờng thẳng: y=-1

2 Viết phơng trình tiếp biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc.

Bài 1 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 









12

19

đến (C): y=2x3-3x2+5









 ;−2

9

23

đến (C): y=x3-3x2+2









 ;−1

3

2

đến (C): y=x3-3x+1

Bài 4 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C): y=x3-x-6

Bài 5 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x3+9x

Bài 6 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x3+3x2-1

Bài 7 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x3-3x2+2

Bài 8 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x3-3x2+2

Bài 9 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x3-3x

Bài 10.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x3+3x2-1

Bài 11.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x3

Bài 12 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;

4

5

) đến (C):

1

1 2

+

+ +

−

=

x

x x

Bài 13 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C):

1

1 2

+

+ +

=

x

x x

Bài 14 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C):

1

2 2 2

+

+ +

=

x

x x

3 Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Bài 1 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y= x+m

3

1

Bài 2 Cho (C): y=x3-3x+7

a Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-1

b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2

9

1

+

−

c Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: y=2x+3 một góc 450

Bài 3 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x3+3x biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng: y=-9x+1

Bài 4 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 5y-3x+4=0

Bài 5 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y x

3

1

Bài 6 Cho đồ thị (C): y=2x3-3x2- 12x- 5

a Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-4

Trang 4

b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2

3

1

+

−

c Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: 2

2

1 +

−

y một góc 450

Bài 7 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 2 4

3

1 3 2

− +

−

y

a Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2

b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 600

c Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 150

d.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 750

e.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y=-x+2

f Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y= 2x-3

g Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng y=3x+7 một góc 450

h Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng 3

2

1 +

−

y một góc 300

Bài 8 Cho đồ thị (C): y= x2 − 6x+ 5 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=2x-1

Bài 9 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):

1

1 2

+

−

=

x

x x

y song song với đờng thẳng y=-x

II Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến

1 Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1

Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại một điểm.

Bài 1 Cho A(x0;y0) thuộc đồ thị (C): y=x3-3x+1 Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ điểm B

Bài 2 Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x3- 3x-2 Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A1, B1, C1 Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài 3 Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax3+ bx2 +cx+d Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A1, B1, C1 Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Dạng 2: Cho hàm số y=ax 4 +bx 2 + c (C) Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M.

1) Tìm M để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M.

2) Gọi I là một điểm liên quan đến P, Q Tìm quỹ tích điểm I

Bài 1 Cho (C):

2

5 3 2

1 4 − 2 +

y

a Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với xM=a CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình: (x-a)2(x2+2ax+3a2-6)=0

b Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ

Bài 2 Cho (C): y=x4-2x2 Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C) Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ

Dạng 3: Cho (H):

0

x x

b ax y

−

+

0

2

x x

c bx ax y

−

+ +

= Gọi d 1 , d 2 là hai tiệm cân của (H), d là tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M.A,B là giao điểm của d với d 1 ,d 2 và I là giao điểm của d 1 và d 2

1) CMR: M là trung điểm của A, B

2) CMR diện tích tam giác IAB= const.

3) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

Bài 1 Cho (C):

3 2

5 4

+

−

=

x

y và điểm M thuộc (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B

a CMR: M là trung điểm của A, B

b CMR diện tích tam giác IAB= const

c Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Trang 5

Bài 2 Cho (C):

3

1 3

−

+

=

x

b CMR diện tích tam giác IAB không đổi

Bài 3 Cho (C):

2 2

4 3 2

−

+

−

=

x

x x

b CMR diện tích tam giác IAB không đổi

Bài 4 Cho (C):

2

5

2 2

+

=

x

x x

b CMR diện tích tam giác IAB= const

2 Các bài toán liên quan đến bài toán 2

Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ đợc p tiếp

tuyến đến (C).

Bài 1 Cho (C): y=x3-3x2+2 Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C)

Bài 2 Cho (C): y=x3+ ax2+bx+c Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng đợc một tiếp tuyến đến đồ thị

Dạng 2: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C) và đờng thẳng d: y= αx+ β Tìm M thuộc d sao

cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.

Bài 1 Cho (C): y=x3-3x2+2 Tìm trên đờng thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 2 Cho (C): y=x3-12x+12 Tìm trên đờng thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 3 Cho (C): y=x3-6x2+9x-1 Từ một điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng x=2 kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)

Bài 4 Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x3+3x2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 5 Cho (C): y=-x3+3x2-2 Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 6 Cho (C): y=x3-3x Tìm trên đờng thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 7 Cho (C): y=x3-3x Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

0

x x

b ax y

−

+

0

2

x x

c bx ax y

−

+ +

= và d: y= αx+ β Tìm M thuộc (d) sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc ϕ

Bài 1 Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C):

x

x x

y= 2−3 +2.

Bài 2 Cho (C):

1

2

−

=

x

y Tìm trên đờng thẳng y=4 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450

Bài 3 Cho (C):

1

2 2

−

+

−

=

x

x x

y Tìm trên đờng thẳng y=7 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450

Bài 4 Cho (C):

1

2 2

−

+ +

=

x

x x

y Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị

Bài 5 Cho (C):

1

1 2

+

−

=

x

x x

y Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị

Trang 6

Bài 6 Cho (C):

2

2 2

+

− +

=

x

x x

y Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị

Bài 7 Cho (C):

1

3 3 2

+

+ +

=

x

x x

y Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C)

0

x x

b ax y

−

+

0

2

x x

c bx ax y

−

+ +

= Tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (H)

Bài 1 Cho (C):

1

2

−

=

x

y Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C)

Bài 2 Cho (C):

1

2 2 2

−

+

−

=

x

x x

Bài 3 Cho (C):

2

3 3 2

+

+ +

=

x

x x

3 Các dạng toán liên quan đến hệ số góc

Dạng 1: Cho (C): y= f(x) và đờng thẳng d: y= αx+ β Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai

điểm A, B phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc nhau.

Bài 1 Cho (Cm) :y=f(x)= x3+ 3x2 +mx +1

a Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y=1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc nhau

Bài 2 Cho (Cm) :y=f(x)= x3+ mx2 +1

a Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y=-x+1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc nhau

Bài 3 Cho hàm số (C): y= x3- 3x

a CMR: Đờng thẳng dm: y= m(x+ 1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại A cố định

b Tìm m để dm cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau

Bài 4 Cho (C):y=-x4+2mx2-2m+1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1; 0) vuông góc nhau

Bài 5 Cho (Cm):

m x

m mx x

y

+

−

a CMR: Nếu (Cm) cắt trục hoành tại x=x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là

m x

k

+

−

=

0

2 2

b Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau

Dạng 2: Cho hàm số y= f(x) (C) Tìm M thuộc (C) sao cho:

1) Tiếp tuyến của (C) tại M song song với đờng thẳng d: y= αx+ β.

2) Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng d: y= αx+ β.

3) Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với đờng thẳng d: y= αx+ βmột góc ϕ

4) Tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C):

3

2 3

1 3

+

−

y mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thằng

3

2 3

1

+

−

(NN-2001)

Bài 2 Cho (C): y=x3+3x2-9x+5 Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

3

1 3 2

− +

−

y Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Trang 7

Bài 4 Cho (C): y=x3+3x2-9x+3 CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 5 Cho (C): y=ax3+bx2+cx+d CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và lớn nhất nếu a< 0

Bài 6 Tìm M thuộc (C): y=2x3+3x2-12x-1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ

Bài 7 Tìm điểm M thuộc (C):

1

1 2

−

+ +

=

x

x x

y để tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân

Dạng 3: Cho hàm số y= f(x), (C).

1 CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song với nhau.

2 CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau.

Bài 1 Cho (C): y=x3+3x2+3x+5

a CMR :Không tồn tại hai điểm nào thuộc (C) để hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau

b Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đờng thẳng: y=kx+ m

Bài 2 Cho đồ thị (C): y=x3- 3x2+1 CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định

Bài 3 Cho đồ thị (C): y=ax3+bx2+cx+d CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định

3

1 3+ 2 − +

y Lấy điểm A bất kỳ thuộc phần đồ thị (C) nằm giữa hai điểm cực đại và cực tiểu CMR: Luôn tìm đợc hai điểm B1, B2 thuộc (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B1, B2 vuông góc với tiếp tuyến tại A

Dạng 4: Một số dạng khác

Bài 1 Cho đồ thị (C): y=-x4+2x2-1 Tìm tất cả các điểm A(0;a) thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 2 Cho đồ thị (C): y=x4-x2+1 Tìm tất cả các điểm thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 3 Cho (C): y= x4-4x3+3 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt

Các bài toán về Tiếp tuyến 1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

BT1 (ĐHQG TPHCM 1996)

Cho (Cm) y= f(x) =x3 +mx2 + 1

Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y=-x+1 tại 3 điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau

BT2 (HVCNBCVT 2001)

Cho hàm số (C) y= f(x) =x3 − 3x

1) CMR đờng thẳng (dm) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định

2) Tìm m để (dm) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau

BT3 (ĐH Ngoại Ngữ HN 2001)

Cho (C)

3

2 3

1 ) ( = 3 − +

y Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng

3

2 3

1 +

−

y

BT4 Cho hàm số (C) y= f(x) =x3 − 3x2 + 1

CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm cố định

BT5

Trang 8

Cho hàm số (C) ( ) 3 2 (a # 0 )

d cx bx ax x f

CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm cố định

BT6 (ĐH Ngoại Th ơng TPHCM 1998 )

Cho hàm số (C) y= f(x) =x3 + 3x2 − 9x+ 5

Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất

BT7 (HV QHQT 2001)

3

1 ) ( = 3 − 2 − + −

y

Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất

BT8 (HV CNBCVT 1999 )

Giả sử A,B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C ) y= f(x) =x3 − 3x− 2 Các tiếp tuyến với (C ) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1

CMR Ba điểm A1,B1,C1 thảng hàng

BT9

Cho









− +

−

=

− +

−

=

8 6 5 2 :)

(

4 7 4 :)

(

2 3 2

2 3 1

x x x y C

x x x y

C

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C1) , (C2) tại các giao điểm chung của (C1) và (C2)

BT10 (ĐH KTQDHN 1998 )

CMR trong tất cả các tiếp tuyến của

(C) y= f(x) =x3 + 3x2 − 9x+ 3thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

BT11 (HV Quân 1997 ) Cho (C) y= f(x) =x3 + 1 −k(x+ 1 ) ,

a Viết phơng trình tiếp tuyến (d) tại giao điểm của (C) với Oy

b Tìm k để (d) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

BT12 (ĐH An Ninh 2000 ) Cho (C) y= f(x) =x3 +mx2 −m− 1 ,

a Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua

b Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó

BT13 (ĐH Công Đoàn 2001 )

Tìm điểm M thuộc (C) y= 2x3 + 3x2 − 12x− 1 sao cho tiếp tuyến của (C ) tại điểm M đi qua gốc toạ độ

Dạng 2 Viết phơng tiếp tuyến trình theo hệ số góc cho trớc

BT1 Cho (C) y= f(x) =x3 − 3x+ 7 ,

1) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x-1

2) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 2

9

1

+

−

y

3) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y=2x+3 góc 45 0

BT2(ĐH Mỹ Thuật Công nghiệp HN 1999) ho (C) y = f(x) = −x3 + 3x ,

Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= - 9.x + 1

BT3(ĐH Mở TPHCM 1999) Cho (C) y= f(x) =x3 − 3x2 + 2 ,

Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến vuông góc với 5.y-3x+4=0

Trang 9

BT4 Cho (C) y= f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x− 5 ,

1)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x-4

2)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 2

3

1

+

−

y

3)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với 5

2

1 +

−

y góc 45 0

BT5

3

1 3 2

− +

−

1)Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k =-2

2)Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 600

3)Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 150

4)Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 750

5)Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y=3x+7 góc 450

6)Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng 3

2

1

+

−

y góc 300

Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị

BT1 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua 









 ;−1

3

2

A đến y=x3 − 3x+ 1

BT2(ĐH Tổng Hợp HN 1994) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến y=x3 −x− 6

BT3(ĐH Y Thái Bình 2001) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) đến y= −x3 + 9x

BT4(ĐH An Ninh 1998) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến y=x3 − 3x

BT5(HV Ngân Hàng TPHCM 1998) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến y= 3x− 4x3

BT6 (HC BCVT TPHCM 1999)

Cho (C) y= f(x) = −x3 + 3x2 − 2 Tìm các điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C)

BT7 (ĐH D ợc 1996)

Cho (C) y= f x =x3 +ax2 +bx+c

) ( Tìm các điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C)

BT8 (ĐH Ngoại Ngữ 1998)

Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua 











3

4

; 9

4

3

1 3 2

+ +

−

y

BT9 (Phân Viện Báo Chí 2001)

Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến đồ thị (C) y= 2x3 + 3x2 − 5

BT10

Tìm trên đờng thẳng y=2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y= −x3 + 3x2 − 2

BT11( ĐH QG TPHCM 1999)

Tìm trên đờng thẳng x=2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y=x3 −3x2

BT12( ĐH Nông Lâm 2001)

Trang 10

Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y=x3 +3x2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

2)- tiếp tuyến của đa thức bậc bốn BT1 (ĐH Huế khối D 1998) Cho (Cm) y= f(x) = −x4 + 2mx2 − 2m+ 1

Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau

BT2

Cho (Cm)

2

5 3 2

1 ) ( = 4 − 2 +

y

1)Gọi (t) là tiếp tuyến của (C) tại M với xM= a CMR hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình

(x−a)2(x2 + 2a+ 3a2 − 6)= 0

2)Tìm a để (t) cắt (C) tại P,Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ

BT3 (ĐH Thái Nguyên 2001)

Cho đồ thị (C) y= −x4 +2x2 Viết phơng trình tiếp tuyến tại A( 2 ; 0)

BT4(ĐH Ngoại Ngữ 1999)

Cho đồ thị (C)

4

9 2 4

1 4− 2 −

y Viết phơng trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) với Ox

2

1 3

1 4

1 4− 3+ 2+ −

BT6 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) y=x4 − 2x2 + 4x− 1 vuông góc với đờng thẳng 3

4

1 +

−

y

2

1 4 − 3− 2 +

Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=m.x

BT8

Cho đồ thị (Cm ) y=x4 +mx2 −m− 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y=2.x với A là

điểm cố định có hoành độ dơng của (Cm )

2

1 2

1 ) (x x x f

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C)

BT10 (ĐH KT 1997) Cho (C) y = f(x) = ( 2 −x2 ) 2

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0;4) đến đồ thị (C)

BT11 Cho (C)

2

3 3 2

1 ) ( = 4 − 2 +

y

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm 











2

3

; 0

A đến đồ thị (C)

BT12 Cho (C) y= f(x) = −x4 + 2x2 − 1

Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

3)- tiếp tuyến của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

BT1(HVBCVT 1998)

Tiêu đề	Đạo hàm và tiếp tuyến
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu ôn tập
Thành phố	Phú Thọ

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	391 KB