Người ta thường ký hiệu òf x dx là tập hợp các nguyên hàm của f x.
Trang 1CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA HÀM MỘT BIẾN
I/ ĐẠO HÀM:
I1/ Các quy tắc tính đạo hàm:
1/ (u + v ') =u ' v '+ 2/ ( )uv ' = u ' v+ uv '
3/ ( )cu ' = cu ' (c là hằng số) 4/ u u ' v 2uv '
'
-ç ÷ =
ç ÷
ç ÷
çè ø
I2/ Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/ ( )c ' = 0 (c là hằng số) 2/ ( )m m 1
1
t gx '
cos x
1 cot gx '
sin x
=
-7/ ( )x x
e ' = e
9/ ( a )
1 log x '
x ln a
x
=
11/ (arcsin x ') 1 2
1 x
=
1 x
=
1 arctgx '
= +
I3/ Một vài đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp:
f x = x , f x = k k 1 k- - n+ 1 x - (n £ k)
2/ ( ) x ( )n ( ) x
3/ ( ) ( )2k ( ) ( )k (2k 1)( ) ( )k
4/ ( ) ( )2k ( ) ( )k (2k 1) ( ) ( )k
n n
n 1
Trang 26/ ( ) ( ) ( )
n
n 1
-I4/ Các định lý cơ bản về đạo hàm:
1/ Định lý Fremat: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Nếu f có đạo hàm tại
điểm x0 thì f ' x( )0 = 0
2/ Định lý Rolle: Giả sử hàm số f: é ù®ê úa, b R liên tục trên đoạn é ùê úa, b và có đạo
hàm trên khoảng (a, b) Nếu f a( ) = f b( ) thì tồn tại ít nhất một điểm cÎ (a, b) sao
cho f ' c( ) = 0
3/ Định lý Lagrange: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn é ùê úa, b và có đạo hàm trên
khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm cÎ (a, b) sao cho
f b - f a = f ' c b- a
4/ Định lý Cauchy: Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn é ùê úa, b và có đạo
hàm trên khoảng (a, b) Nếu g ' x( ) ¹ 0 với mọi x Î (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
cÎ a, b sao cho
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
-=
-I5/ Ứng dụng của đạo hàm:
1/ Công thức Taylor:
Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn é ùê úa, b và có đạo hàm cấp
n + 1 tren khoảng (a, b) Khi đó tồn tại một điểm cÎ (a, b) sao cho
( )( )
( ) ( )
+
+
-+
2/ Công thức Maclaurin:
Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp (n+ 1) tên một lân cận điểm 0 (tức là
trên một khoảng mở chứa điểm 0) Khi đó :
( ) ( )
( )
n
n
Với ( )
( ) ( )
n 1
n 1 n
+
+
q
Trang 3Hoặc ( )
( )( )
n 1
n n 1 n
n !
+
+
q
= - q < q< (phần dư dạng Cauchy).
3/ Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số:
( )
2 n n 1
+ q
+
2 3 n n 1
n 1
+
+
n
a a a a- a a- a- +
3 5 k 1 2k 1
2k
2 4 6 k 2k
2k 1
II/ NGUYÊN HÀM:
1/ Định nghĩa:
Cho hai hàm sốF x( ), f x( ) xác định trong khoảng (a, b) F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x( ) nếu F ' x( ) =f x , x( ) " Î (a, b)
2/ Định lý:
Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trong khoảng (a, b) thì f x( ) sẽ có vô
số nguyên hàm trong khoảng (a, b) Các nguyên hàm này có dạng F x( ) + c (c là hằng số)
Người ta thường ký hiệu òf x dx( ) là tập hợp các nguyên hàm của f x( ) .
ò
3/ Các nguyên hàm cơ bản:
x x
ò
Trang 4( )
+ +
ò
+
-+
ò
( )7 dx ln x c
ò
a
+ = + +
ò (a ¹ 0)
ln a
( )11' sin ax( b dx) 1cos ax( b) c
a
ò
( )12 òcos xdx = sin x+ c
( )12 ' cos ax( b dx) 1sin ax( b) c
a
ò
( )13 òtgxdx = - ln cos x + c ( )14 òcot gxdx = ln sin x + c
( )15 dx2 tgx c
ò ( )17 2dx 1ln x 1 c
+
-ò
( )17 ' 2dx 2 1 ln x a c
+
-ò
2
dx
ò
ò
ò
II/ TÍCH PHÂN:
1/ Định nghĩa:
Trang 5Cho hàm số f x( ) lên tục trên đoạn é ùê úa, b , F x( ) là một nguyên hàm của f x( )
Tích phân của f x( ) trên đoạn é ùê úa, b là một số thực Kí hiệu: b ( )
a
f x dx
ò và được xác định bởi :
( ) ( ) ( )
b
a
ò
Người ta thường dùng kí hiệu éF x( )ùba
ë û (hoặc F x( ) ba) để chỉ F b( ) - F a( )
b
b a a
f x dx = êéëF x ùúû
ò
2/ Các phương pháp tính tích phân:
a/ Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức ( ) ( )
b
b a a
f x dx = êéëF x ùúû
ò
b/ Phương pháp đổi biến
c/ Dùng công thức tích phân từng phần:
Ta kí hiệu: du = u ' dx ; dv = v ' dx
b a
udv = é ùê úuv - vdu
*Chú ý: Kí hiệu P x( ) là đa thức của x thì :
+ Nếu gặp ( )
x
sin x
P x cos x dx
e
ò thì đặt u =P x( )
+ Nếu gặp òP x ln x dx( ) ( ) thì đặt u = ln x
